呂恩勝

(河南應(yīng)用技術(shù)職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河南 鄭州 450042)

Chua L O 于1983 年提出了著名的經(jīng)典蔡氏電路(Chua’s circuit)，其動(dòng)力學(xué)行為豐富，取得了廣泛的應(yīng)用，成為混沌科學(xué)研究的熱點(diǎn)對(duì)象[1-2]。蔡氏電路最核心之處是蔡氏二極管，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因此物理實(shí)現(xiàn)存在著較多的困難。諸多學(xué)者對(duì)蔡氏二極管的硬件電路設(shè)計(jì)給予了研究:文獻(xiàn)[3]采用標(biāo)度化技術(shù)[4]設(shè)計(jì)了兩類無感蔡氏電路；文獻(xiàn)[5]對(duì)蔡氏二極管的設(shè)計(jì)提出了用分段線性正電阻的設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[6-8]采用憶阻器替代蔡氏二極管的方法設(shè)計(jì)了蔡氏電路；文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階蔡氏電路。上述采用標(biāo)度化技術(shù)的方法符合工程規(guī)范，但不遵循蔡氏電路方程；分段線性電阻設(shè)計(jì)方法，改進(jìn)后的電路還保留電感，這對(duì)集成電路大規(guī)模實(shí)現(xiàn)還存在挑戰(zhàn)；憶阻器、分?jǐn)?shù)階蔡氏電路，還只是在理論層面上的設(shè)計(jì)，目前還沒有實(shí)際可行的硬件電路。盡管蔡氏電路經(jīng)過近40 年的研究，設(shè)計(jì)出的各種電路仍然不夠完善，還存在各種問題。

針對(duì)上述的改進(jìn)方法和出現(xiàn)的問題，在遵循電路方程和參數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)易于用普通電子元件實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成的蔡氏電路方案。本文在研究蔡氏電路方程后，對(duì)非線性單元函數(shù)的元素重新歸類，根據(jù)新的非線性函數(shù)特性曲線，提出3 類三次型非線性函數(shù)，設(shè)計(jì)了功能全同和拓?fù)涞刃У膬深惒淌想娐?，方程?jiǎn)練，硬件調(diào)試方便，適用于混沌保密通信，為大規(guī)模集成實(shí)現(xiàn)提供了理論及技術(shù)基礎(chǔ)。

1 蔡氏電路方程

蔡氏電路是混沌領(lǐng)域工作者取得的第一個(gè)物理成果，它開創(chuàng)了混沌電路的新紀(jì)元，得到了廣泛的研究，歸一化方程為

f(x)為系統(tǒng)函數(shù)的非線性單元，即蔡氏二極管，其中m0=-1/7、m1=2/7，a、b為參數(shù)，典型值分別為:10、15。

2 三次型非線性函數(shù)設(shè)計(jì)

2.1 飽和特性函數(shù)的設(shè)計(jì)

蔡氏電路的實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵是非線性單元的電路設(shè)計(jì)，將式(1b)的m1x部分歸為線性項(xiàng)，式(1a)改為dx/dτ=a(y-m1x-f′(x))，改進(jìn)的式(1b)為

不考慮m0、m1情況下，式(2)表示的蔡氏二極管的核心部分寫為: 0.5(｜x+1 ｜-｜x-1 ｜)，是一種具有飽和特性的函數(shù)，也可寫為式(3)，f′(x)=(m1-m0)h(x)，式(3)的波形是分段線性的三折曲線，如圖1 所示。

圖1 飽和函數(shù)特性曲線

2.2 三次型函數(shù)的設(shè)計(jì)與分析

圖1 所示的h(x)曲線，與最高次為x3的多項(xiàng)式函數(shù)曲線局部相似，中斜外平，這類函數(shù)統(tǒng)稱為三次型，文獻(xiàn)[10]利用集成運(yùn)放的限幅特性來實(shí)現(xiàn)，本文提出的與圖1 近似的三次型曲線有:三次方函數(shù)曲線、Logistic 函數(shù)曲線、反向并聯(lián)二極管伏安曲線，如圖2 所示，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)為式(4)、(5)、(7)。

圖2 三次型函數(shù)特性曲線

三次方函數(shù)

Logistic 函數(shù)

sgm(x)由sigmoid(x)函數(shù)變換而來，起源于生物學(xué)

反向并聯(lián)二極管伏安特性函數(shù)

diode(x)函數(shù)來源于反向并聯(lián)二極管伏安特性函數(shù)

式中，u是二極管端電壓，i(u)是流過二極管的電流，IS為二極管反向飽和電流，在常溫下，kT/q=26 mV，工程實(shí)際中，二極管導(dǎo)通后電壓基本不變，式(7)是反向并聯(lián)二極管的伏安特性的近似公式，適用于在二極管導(dǎo)通電壓“0.7 V”附近的伏安特性函數(shù)，式(8)的電流以指數(shù)顯著變化，不宜直接作為蔡氏二極管的函數(shù)使用。將二極管伏安特性的導(dǎo)通“電壓”歸一化為以數(shù)字表達(dá)的“0.7”，反向并聯(lián)二極管兩端電流-電壓關(guān)系即為式(7)，與式(1b)相比只是“0.7”和“1”差別，Chua L O 在文獻(xiàn)[1-2]設(shè)計(jì)的蔡氏電路，轉(zhuǎn)折點(diǎn)實(shí)際電壓也不是“1”伏，受限于當(dāng)時(shí)的技術(shù)，改變物理電路太難，默認(rèn)為“1”伏，理論上，二極管實(shí)現(xiàn)的蔡氏電路與經(jīng)典蔡氏電路是功能全同的。

式(4)、(5)與式(3)的特性曲線只是在波形上是相似的，函數(shù)只有數(shù)學(xué)意義，而式(7)具有工程背景和明確的物理意義；式(4)函數(shù)的物理硬件實(shí)現(xiàn)需要兩個(gè)乘法器，式(5)函數(shù)在物理上用基本電子元件來實(shí)現(xiàn)目前還比較困難，式(7)函數(shù)只需兩個(gè)二極管反向并聯(lián)即可實(shí)現(xiàn)，十分簡(jiǎn)潔，在物理特性上與經(jīng)典蔡氏二極管一樣同屬電壓控制電流源(VCCS)器件；式(4)、(5)、(7)取代蔡氏二極管函數(shù)式(3)，是非線性單元的另外一種表達(dá)形式，所得方程與蔡氏電路是拓?fù)涞刃У摹?/p>

2.3 三次型混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

在硬件電路實(shí)現(xiàn)之前，用虛擬仿真，獲得定性認(rèn)識(shí)，在混沌電路設(shè)計(jì)上是非常有必要的，式(4)、(5)、(7)替代非線性單元式(3)，得到3 類三次型函數(shù)蔡氏電路混沌系統(tǒng)，用MATLAB 仿真3 類系統(tǒng)，得到的x-y相圖分別如圖3 所示。

圖3 3 類三次型蔡氏電路仿真的x-y 相圖

混沌系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)越大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)越無序，動(dòng)力學(xué)行為越復(fù)雜，對(duì)初值越敏感，有利于保密通信，針對(duì)設(shè)計(jì)的3 類三次型非線性函數(shù)，因?yàn)閟gm(x)函數(shù)以指數(shù)變化，提高了系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)，也符合理論實(shí)際，另外2 類減小了Lyapunov 指數(shù)，總體上差別不大，見表1。

表1 三次型蔡氏電路Lyapunov 指數(shù)

3 三次型蔡氏電路設(shè)計(jì)

所設(shè)計(jì)的三次型蔡氏電路均遵循原方程的主體結(jié)構(gòu)和參數(shù)，考慮到電子元件標(biāo)稱值和實(shí)際值是有誤差的，設(shè)計(jì)的電路原理圖參數(shù)是允許有誤差的，范圍相對(duì)較大，例如，圖4 中電阻R11的理論阻值為667 Ω，實(shí)際選取阻值為650 Ω～680 Ω 均可，電路焊接時(shí)，挑選精度較高，接近原理圖參數(shù)的元件，即可實(shí)現(xiàn)混沌電路。

三次方蔡氏電路:蔡氏電路中的核心具非線性部分電路，由式(4)三次方函數(shù)的電路代替，設(shè)計(jì)的圖4混沌電路與原蔡氏電路是拓?fù)涞刃У?，也是微分同胚的，乘法器增益?.1 V/V。

圖4 三次方蔡氏電路原理圖

二極管蔡氏電路1:電路原理圖如圖5 所示，利用二極管的鉗位作用，反向并聯(lián)二極管聯(lián)接在串聯(lián)電阻R7與電阻R5之間，實(shí)現(xiàn)式(7)函數(shù)的電路，直觀，元件少，理論計(jì)算也容易，電路精度高，該反向并聯(lián)二極管實(shí)現(xiàn)的輸入輸出是電壓-電壓的轉(zhuǎn)換關(guān)系，與式(7)表達(dá)式相同，物理量有所區(qū)別。

圖5 二極管蔡氏電路原理圖1

二極管蔡氏電路2:圖6 中，反向并聯(lián)二極管和電阻R9串聯(lián)，理想二極管的導(dǎo)通電阻是為0 Ω、截止為∞Ω，電阻R9=R10，R9、R10串聯(lián)有分壓功能，輸出的信號(hào)接入集成運(yùn)放A5 的同向端，該反向并聯(lián)二極管的輸入輸出也是電壓-電壓的關(guān)系，如式(9a)或(9b)所示，是式(1b)核心部分的另外一種寫法，具有死區(qū)特性，波形圖如圖7 所示。

圖6 二極管蔡氏電路原理圖2

圖7 并聯(lián)二極管死區(qū)特性曲線

設(shè)計(jì)的如圖5、6 所示的二極管蔡氏電路，與理論是有誤差的，二極管反向不是完全截止的，二極管導(dǎo)通后電壓也并非完全“0.7 V”不變，從工程方面來看實(shí)際影響很小，功能與蔡氏電路是全同的。

3 類三次型蔡氏電路物理實(shí)驗(yàn)相圖如圖8所示。

圖8 三次型蔡氏電路物理電路x-y 相圖

4 混沌保密通信電路設(shè)計(jì)

以本文提出的三次方蔡氏電路為例，采用反饋型驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)式同步混沌保密通信制式[11]進(jìn)行試驗(yàn)，電路原理圖如圖9 所示，由發(fā)送端、接收端和信道三部分組成，發(fā)送端輸出信號(hào)為x1、y1、z1，接收端輸出信號(hào)為x2、y2、z2，以x1信號(hào)為載波，調(diào)制信號(hào)為m，信道傳輸?shù)氖菙y帶調(diào)制信息的混沌信號(hào)x′1，解調(diào)信號(hào)為保密精度高。

圖9 三次方蔡氏電路混沌調(diào)制保密通信原理圖

只要保密通信系統(tǒng)的收、發(fā)電路對(duì)應(yīng)元件的參數(shù)相同，就可以達(dá)到設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)效果。圖10(a)、(b)、(c)是物理電路實(shí)驗(yàn)時(shí)，示波器顯示的收、發(fā)端同步時(shí)x1-x2，y1-y2，z1-z2的相圖，同步得很好。

圖10 混沌調(diào)制保密通信收、發(fā)端同步相圖

圖11(a)是將10 mV 的正弦調(diào)制信號(hào)m加入保密電路時(shí)，輸出的x1-y1相圖，依然是雙渦卷混沌；圖11(b)是系統(tǒng)攜帶加密信號(hào)m時(shí)的發(fā)送端x1波形圖，接收端x2波形圖，觀察不到二者的差別；圖11(c)是調(diào)制信號(hào)波形圖與解調(diào)信號(hào)波形圖，完全一致。此外，蔡氏電路的狀態(tài)變量以電壓形式輸出，單位是伏特，調(diào)制信號(hào)是毫伏級(jí)，因此該保密通信電路噪聲系數(shù)小于10-3，保密系統(tǒng)可靠。

圖11 調(diào)制解調(diào)過程波形圖

5 結(jié)語

1983 年Chua L O 提出的經(jīng)典蔡氏電路，是混沌電路工程的典范，具有里程碑意義，非線性單元為核心部分，屬于三次型函數(shù)，是分段線性的三折曲線，為后續(xù)分段線性混沌系統(tǒng)帶來許多啟示[12]。

(1)本文針對(duì)非線性單元的核心部分，在遵循蔡氏電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)的前提下，提出3 類三次型函數(shù)，設(shè)計(jì)了3 類蔡氏電路，均易于搭建實(shí)際混沌電路。

(2)本文提出的三次型蔡氏電路，是全同或者拓?fù)涞刃У牟淌想娐?，方程?jiǎn)練，分析方便。

(3)本文提出的三次型蔡氏電路，適合于混沌保密通信，尤以主從式反饋型驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)式混沌調(diào)制保密通信為優(yōu)。