陳立云

(福建省莆田市莆田第十一中學)

作為連接高中數(shù)學代數(shù)與幾何圖形的樞紐,平面向量發(fā)揮著重要的作用.它是高考數(shù)學考查頻率較高的內(nèi)容,其中平面向量的最值問題尤為常見,短小精悍的問題往往蘊含著“數(shù)”與“形”的深層意義,解答策略和思路靈活多變,因此需要學生熟練掌握求解平面向量最值問題的常用策略.本文結(jié)合具體例題,分析不同的解題策略的應(yīng)用思路與解題步驟.

1 借助坐標運算求解

借助坐標運算求解平面向量最值問題的關(guān)鍵在于建立平面直角坐標系,利用坐標運算建立函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)定義域求對應(yīng)的最值.運用坐標運算策略解題時,要先建立合適的平面直角坐標系,對未知動點進行假設(shè),再結(jié)合問題所給條件,將所求的向量運用坐標表示,并進行運算得到相關(guān)函數(shù)解析式,最后在函數(shù)定義域內(nèi),求出函數(shù)對應(yīng)的最值.

圖1

解 建立如圖2 所示的平面直角坐標系,則B(2,0),C(2,1),D(0,1).設(shè)Q(x,1),P(2,y)(0≤x≤2,0≤y≤1).

圖2

圖3

解 如圖4所示,以點A為原點,邊AB所在直線為x軸,邊AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,設(shè)點

圖4

2 構(gòu)造幾何圖形求解

構(gòu)造幾何圖形策略解答平面向量最值問題,主要是根據(jù)問題中的已知條件構(gòu)造三角形、圓等幾何圖形,賦予問題具體的幾何意義,運用幾何性質(zhì)和定義解答.構(gòu)造幾何圖形求解這一類問題,常見的解題步驟為分析題意,根據(jù)所給條件構(gòu)造對應(yīng)的幾何圖形,使問題具有具體的幾何意義,再探索最值對應(yīng)的幾何圖形情況,運用幾何性質(zhì)或定理求出最值.

圖5

圖6

圖7

平面向量最值問題靈活多變,根據(jù)內(nèi)容形式的不同可以采取不同的解題策略.坐標運算、構(gòu)造幾何圖形等都是解答平面向量最值問題較為常見的解題策略,也都是學生需要熟練掌握的策略.合理運用這些策略,能使較為復(fù)雜抽象的問題簡單化、直觀化,從而提高解題效率.