劉曉玉 唐學寧 雷 蓉

(廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》明確指出,數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng),它既是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段,也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.數(shù)學建模安排在必修課程的主題五和選擇性必修課程的主題四,是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容.因此,如何開展數(shù)學建模教學,并以此來幫助學生提高數(shù)學核心素養(yǎng),是新時期一線教師值得思考的問題.面對新時期的挑戰(zhàn),筆者帶領團隊在建模教學上進行了一些探索和嘗試,并借本文將做法、經(jīng)驗及反思進行總結(jié),拋磚引玉,希望讀者能受到一些啟發(fā).

首先,要選好建模問題.眾所周知,問題是開展數(shù)學教學的重要載體,發(fā)現(xiàn)問題要比解決問題更為重要.在建模教學中,一個好的選題就意味著成功的開始,數(shù)學建模不能等同于教師編一道應用題,教師講題,學生模仿解題的套路.數(shù)學建?；顒右龑W生關(guān)心社會、關(guān)心未來,學會關(guān)聯(lián)、學會交流.筆者的團隊傾向于從社會的熱點問題中尋找數(shù)學建模的題材,社會有很多熱點問題,需要教師篩選出貼近高中學生實際,適合高中學生的認知水平,背景又不會過于復雜,在建模求解過程中無須補充大量的知識就可入手的熱點問題.筆者結(jié)合當前社會熱點問題——新冠肺炎疫情,尋找建模題材.

2020年,一場突如其來的新冠肺炎疫情,對生產(chǎn)和生活造成了極大的影響和沖擊.基于該背景,筆者篩選出了幾個問題.

問題1:奧運會改期,能否通過數(shù)學建模預測:如果奧運會正常舉行,一些我們感興趣的比賽項目成績受到的影響.

問題2:線下復課之后,學校的食堂管理和宿舍管理一定會面臨很大的考驗,能否關(guān)聯(lián)數(shù)學知識,設計出合理的分流方案?

問題3:為抗擊疫情帶來的影響,提升消費熱度,增加城市溫度,包括珠海在內(nèi)的多個城市開展了發(fā)放消費券的活動,能否從這個熱點問題進行數(shù)學關(guān)聯(lián),對消費券的作用做一個預判?

筆者希望選取一個能夠讓學生從多角度關(guān)聯(lián)數(shù)學知識、開放性程度較高的問題,希望學生在建模過程中更能發(fā)揮想象力,開展更有價值的數(shù)學探究活動.基于這些出發(fā)點,團隊最終選擇了問題3,帶領學生研究數(shù)學建模:“券”能“券”智——消費券中的數(shù)學模型(以下簡稱“券能券智”).該案例在首屆廣東省高中數(shù)學建模課堂教學設計優(yōu)秀作品征集交流活動中獲一等獎.

筆者認為,尋找數(shù)學建模問題要注意以下幾點.

第一,問題要源自生活,是學生感興趣的、關(guān)注度高且具有意義的問題;第二,問題難度要適中,有利于大多數(shù)學生參與討淪,學生能夠上手并深度參與.過于簡單或復雜的問題都不利于調(diào)動學生參與建模活動的積極性;第三,問題要具有開放性和挑戰(zhàn)性,營造“問題場”,利于學生展示自己獨到的視角和見解.

其次,合理設計教學.選擇了適當?shù)慕栴}后,如何開展教學? 我們認為,數(shù)學建模教學要把握兩個基調(diào):第一,一定要讓學生真正經(jīng)歷數(shù)學建?！敖ā钡倪^程;第二,教師不能代替學生的工作,不做機械式的解題訓練,不以單邊的傳授教學形式進行建模教學.以“券能券智”的教學為例,完成整個建模過程需要花費大約3周時間,團隊(共3位教師)每位教師帶領2位學生展開研究,教師只起定調(diào)引導作用,建模過程主要由學生在課后及周末完成,集中研究時間4節(jié)課,共有6個環(huán)節(jié):

1)實際問題情境:珠海市開展了以“樂游樂享,惠在珠?！睘橹黝}的“溫暖珠?！毕M節(jié)活動,分5期共向市民派發(fā)1億元消費券,提升消費熱度,促進零售、餐飲、文體旅游等行業(yè)加速復蘇.

在本環(huán)節(jié)里,由于當時疫情嚴重,3位教師6位學生通過騰訊課堂對前期老師們確定的3個課題進行討論,分析其中的優(yōu)劣,引導學生體驗做“券能券智”這個建?；顒拥囊饬x.

2)信息采集:組織學生收集我國各地以往與現(xiàn)在的消費券發(fā)放的有關(guān)信息,比如消費券發(fā)放規(guī)則、消費券使用情況及效果等.

3)將實際問題理想化,進而數(shù)學化.這一環(huán)節(jié)至關(guān)重要,我們將學生分成3個小組,討論數(shù)學關(guān)聯(lián),學生踴躍參與其中,紛紛建言獻策,最終師生達成共識:消費券活動中最重要的一環(huán)就是,消費券的使用到底帶來了多大的消費額? 要想做到“預判”,就要能夠估計最終的消費額,此時可以關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合,也可以關(guān)聯(lián)數(shù)學期望,還可以關(guān)聯(lián)獨立性檢驗等.教師再進一步引導學生突出主要因素,忽略次要因素,將實際問題理想化為統(tǒng)計問題.

4)構(gòu)建數(shù)學模型.給學生兩周的時間,設計問卷,收集數(shù)據(jù),構(gòu)建模型并求解模型.教師引導學生討論各小組的需求,設計一份問卷,并督促和協(xié)助學生做好調(diào)查研究工作,鼓勵學生結(jié)合問題,查閱相關(guān)資料,檢索已有成果,用“頭腦風暴”的形式集思廣益,初步形成解決問題的大致思路和方案,并分析操作的可行性.每周2次用固定時間集體交流的形式對學生建模情況進行指導,每組學生分別向大家介紹自己數(shù)學建模的具體進展情況.

5)模型呈現(xiàn).學生的建模小組共做出了4個模型,教師引導學生,把所得結(jié)果提升為有意義的結(jié)論.

模型1:進行消費券和消費意愿的獨立性檢驗.

表1 消費券與消費意愿2×2列聯(lián)表

結(jié)論:發(fā)放消費券對刺激個人消費有效果,提升了消費熱度,是一項有意義的措施.

模型2:以頻率估計概率(僅保留小數(shù)點后3位),估計各種面值的消費券帶來的消費金額的期望.使用10元面值消費券時產(chǎn)生的消費額的概率分布如表2所示.

E(x1)＝50×0.740＋70×0.140＋90×0.076＋110×0.025＋130×0.003＋140×0.015＝58.88,所以使用10 元面值消費券產(chǎn)生消費額的數(shù)學期望是58.88元.

使用20元面值消費券時產(chǎn)生的消費額概率分布如表3所示.

表3

所以使用20元面值消費券產(chǎn)生消費額的數(shù)學期望是106.27元.

使用50元面值消費券時產(chǎn)生的消費額概率分布如表4所示.

表4

E(x3)＝250×0.749＋350×0.131＋450×0.058＋550×0.033＋650×0.018＋700×0.011＝296.75,所以使用50元面值消費券產(chǎn)生消費額的數(shù)學期望是296.75元.

使用100元面值消費券時產(chǎn)生的消費額概率分布如表5所示.

表5

所以使用100元面值消費券產(chǎn)生消費額的數(shù)學期望是600.4元.

結(jié)論:由于各種面值對消費金額放大的倍數(shù)不一致,放大倍數(shù)最多是100元面值,有6.004倍,放大倍數(shù)最小為20元面值,有5.3135倍,所以估計1億元消費券帶來的消費額的期望最多是6.004億元,最少是5.3135億元.

模型3:消費券使用方向統(tǒng)計圖,如圖1所示.

圖1

結(jié)果顯示,較多的消費券流向受疫情影響較大的餐飲業(yè),民眾愿意外出就餐,說明政府防疫措施有力,民眾信心在增強,服務消費人氣增加.并且餐飲行業(yè)屬于產(chǎn)業(yè)鏈上游帶動作用強、橫向關(guān)聯(lián)行業(yè)多的行業(yè)品類,帶動的行業(yè)越多,引起的“乘數(shù)效應”越明顯.

模型4:消費券與消費金額間的函數(shù)擬合(如圖2).由調(diào)查問卷中提取數(shù)據(jù)列表(如表6),并利用Excel進行回歸分析.

表6

圖2

得到函數(shù)y＝5.1083x,因此,預測1億元消費券可以帶來5.1083億元的消費額.

結(jié)論:消費券活動能夠有效促進消費回補.

6)模型修正.集中學生匯報模型及討論模型的修正.在模型1中,消費券需要市民本人自愿申領,所以根據(jù)這個發(fā)放規(guī)則來看領取消費券的多少會影響市民的消費次數(shù)和消費金額,在進行消費券和消費意愿的獨立性檢驗基礎上,可以再進行其他分類變量的獨立性檢驗,比如根據(jù)調(diào)查問卷的統(tǒng)計結(jié)果判斷性別與消費意愿是否有關(guān)等.另外,由于實際條件的限制,發(fā)放問卷的群體過于集中且樣本容量不夠大,樣本代表性受限,影響預測效果.在模型2中,因為涉及隱私,所以問卷中設計的數(shù)字都是范圍,建模中以區(qū)間中點來代替具體數(shù)字,因此只具有估算的效果.另外,各種面值對消費金額放大的倍數(shù)不一致,能不能通過官方數(shù)據(jù)知道每種面值的消費券的發(fā)放比例? 如果可以的話,把發(fā)放比例考慮進去,那么會更加準確地估計消費金額的數(shù)學期望.在模型3中,消費券的流向中超市的使用應該要細化,若只是使用在生活必需品的消費上,則會影響消費券的“乘數(shù)效應”,若是使用在產(chǎn)業(yè)鏈較長的方面,消費券的“乘數(shù)效應”將會更明顯,統(tǒng)計結(jié)果才會有指導意義.在模型4中,只是對消費券金額與消費金額進行了線性函數(shù)的擬合,若是非線性的擬合,擬合效果會不會更好? 更具有預測的意義呢?并且在模型中預測1億元消費券可以帶來5.1083億元的消費額.預測的目標與所給的數(shù)據(jù)范圍離太遠,大大影響預測結(jié)果的準確性,建議預測10 萬元消費券帶來的消費金額較好.在熱烈的討論中,學生認識到,統(tǒng)計不存在絕對的正確或絕對的錯誤,關(guān)鍵是看設置的標準,標準不同,結(jié)論就會有差異.這樣不僅培養(yǎng)了學生的數(shù)學建模素養(yǎng),也培養(yǎng)了學生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng),使學生對利用統(tǒng)計知識處理問題有了更深刻的認識.

最后,實踐反思,數(shù)學建模課的教學要注意的幾個問題.

1)教師要先于學生做到“用數(shù)學的眼光看世界”.教師在建模課堂中的主導作用很重要,只有教師善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學關(guān)聯(lián),才能引導、啟發(fā)學生去感受建模的魅力.因此教師要不斷提升自己,堅持學習,大處著眼,小處著手,留心觀察,善于聯(lián)想發(fā)掘,從自己熟悉的標準入手,不斷地開發(fā)出更多、更好的情境與問題,從而才能產(chǎn)生教學的創(chuàng)造.

2)教師要做好學生的選題指導工作.因為學生所擁有的數(shù)學知識尚不充分,缺乏研究經(jīng)驗,受研究方法不足等主觀條件限制,或者學生自己選擇的問題中不可預測的因素過多、涉及面太廣等客觀因素,往往會產(chǎn)生對所選問題的難度沒有正確認識的現(xiàn)象,導致自己提出的問題不一定都能進行研究.因此教師應指導學生在選題時不要怕問題小,應選擇自己比較熟悉的、能發(fā)揮自己特長的、變量較少的問題.

3)學生才是建模課堂的主體.數(shù)學建模應該重過程、重參與,更多地表現(xiàn)活動的特性,而不能成為教師講題,學生模仿練習的套路.筆者認為,小組交流起到了承上啟下的作用,既保證了人人動腦、人人發(fā)言、人人參與,同時也為下一步的展示交流做好了準備.學習小組分配方面應充分考慮學生的性格差異和學習能力,以便組內(nèi)能夠積極發(fā)言、充分交流、以優(yōu)帶差、共同進步.教師組織小組討論交流,適當參與、引導薄弱小組的討論,鼓勵人人發(fā)言,并對各小組的研究進度給予指導,培養(yǎng)完整的學習成就感,并啟發(fā)其學習與研究數(shù)學的興趣.

通過教學實踐,筆者對數(shù)學建模教學有了全新的認識,數(shù)學建模教學活動包括:對于給出的問題情境,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學問題、尋找解決問題的思路、具體教學實施、解決問題、檢驗完善提升的全過程.新一輪的教育課程改革給中學數(shù)學建模帶來了前所未有的機遇,雖然仍有很多教師把數(shù)學建模比喻成“陽春白雪”可望而不可即,但是通過專家和同行們對“券能券智”模型的鼓勵和肯定,筆者感悟到,只要教師有熱情、有認識、有追求,迎難而上,勇于實踐,完全可以組織學生做好數(shù)學建模.困難是暫時的,資源和經(jīng)驗是在參與中快速增長的,建模的過程是師生共同成長的過程,教師在建模實踐中積累經(jīng)驗,豐富專業(yè)知識,得到專業(yè)成長,為教育改革奉獻出自己的一份力量.