朱 振

(江蘇省徐州市睢寧縣第二中學(xué),221200)

本文以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“勾股定理的證明”教學(xué)為例,分享數(shù)學(xué)思維自然生長(zhǎng)的課堂教學(xué)中的點(diǎn)滴經(jīng)驗(yàn).

一、備課思考

1何以想到

教材內(nèi)容先是制作直角邊分別為a,b,斜邊為c的四張全等直角三角形紙片.利用四張直角三角形紙片拼成邊長(zhǎng)為c的正方形,它的面積為c2,試用另一種方法計(jì)算其面積,你有什么發(fā)現(xiàn)?然后,教材設(shè)置小明用這4張直角三角形紙片拼成邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形,你能仿照上面的方法,證明勾股定理嗎?最后,教材設(shè)置總統(tǒng)證法的背景圖,讓學(xué)生嘗試?yán)妹娣e法證明勾股定理.

教材設(shè)置利用面積法證明勾股定理,符合學(xué)生的認(rèn)知水平.學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)利用面積法證明完全平方公式和平方差公式,所以他們具有構(gòu)圖證明等式的數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn).但是,不論是哪一種證明方法,思維最大困惑點(diǎn)是如何想到利用面積法證明的呢?每一種證明方法能不能有機(jī)整合呢?如何讓學(xué)生的思維鮮活地自然生長(zhǎng)出來(lái)呢?能否在原有的基礎(chǔ)上另辟蹊徑?這一系列問(wèn)題,才是本節(jié)課教學(xué)要突破的地方.

2.何以解決

卜以樓老師在生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)主張中說(shuō):思維就是營(yíng)造一種思維場(chǎng)景,讓學(xué)生自然而然地產(chǎn)生能夠想到解決問(wèn)題的思維.教學(xué)中,首先要關(guān)注的是讓學(xué)生思維自然地生長(zhǎng)到“想得到”,其次才是讓學(xué)生思維生長(zhǎng)到“想得妙”,最后才有可能讓學(xué)生思維生長(zhǎng)到“想得透”[1].可見(jiàn),數(shù)學(xué)教學(xué)要針對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容選好思維支持和干預(yù)的切入點(diǎn),創(chuàng)設(shè)自然、連貫、有效的數(shù)學(xué)活動(dòng),在探究的過(guò)程中讓學(xué)生明白想的起源、途徑.經(jīng)過(guò)思考,本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)思路如下:

從“式”特征聯(lián)想“形”特征→確定行動(dòng)方案→嘗試拼圖→利用面積法嘗試證明→觀察并尋找圖形間內(nèi)在聯(lián)系→深度思考,另辟蹊徑.

3. 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過(guò)最近聯(lián)想、拼圖、方法類(lèi)比,探尋勾股定理的證明方法;

(2)經(jīng)歷勾股定理證明的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考和合情說(shuō)理能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想;

(3)通過(guò)對(duì)勾股定理證明的歷史了解,感受數(shù)學(xué)文化的魅力,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情.

二、教學(xué)過(guò)程

1.證明方法初探

教師引導(dǎo)語(yǔ):上一節(jié)課我們?cè)谡叫尉W(wǎng)格線(xiàn)中利用面積之間的關(guān)系,從特殊到一般歸納出了勾股定理,這一節(jié)課我們探究勾股定理的證明.

已知:如圖1,在Rt?ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,∠C=90°,求證:a2+b2=c2.

問(wèn)題1根據(jù)求證的式子特征,你能最近聯(lián)想到什么?

問(wèn)題2由c2想到邊長(zhǎng)為c的正方形面積,即由“數(shù)”的特征想到了“形”的特征,那么由此你能聯(lián)想到勾股定理證明的可能性方法嗎?

問(wèn)題3在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中是否有利用面積來(lái)證明等式的?

問(wèn)題4如果將方法遷移,怎樣才能出現(xiàn)邊長(zhǎng)為c的正方形呢?

(預(yù)設(shè):用4個(gè)圖1中的直角三角形紙片可以拼出邊長(zhǎng)為c的正方形)

嘗試學(xué)生順著思路動(dòng)手拼圖嘗試,獨(dú)立思考,確定勾股定理的證明思路.

展示學(xué)生用磁鐵將拼成的圖形展示在黑板上.圖2中大正方形是邊長(zhǎng)為c的正方形,圖3中小正方形是邊長(zhǎng)為c的正方形.

說(shuō)理在圖2與圖3中,嘗試?yán)妹娣e法證明勾股定理.

小結(jié)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽、鄒元治分別在圖2、圖3中利用等積法證明勾股定理,為中國(guó)古代以“形”證“數(shù)”、數(shù)形統(tǒng)一樹(shù)立了一個(gè)典范,推動(dòng)了代數(shù)與幾何的同步發(fā)展.

教學(xué)說(shuō)明方法初探的主體思路:先由式子特征聯(lián)想形的特征,再確定行動(dòng)方案,最后拼圖嘗試證明.教學(xué)設(shè)計(jì)有別于常規(guī),很多教師教學(xué)時(shí)都是直接給出直角三角紙片,參照教材進(jìn)行拼圖證明,忽略了為什么能想到利用等積法證明?為什么能想到利用直角三角形紙片進(jìn)行拼圖?此教學(xué)過(guò)程在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)提出開(kāi)放性問(wèn)題串,引發(fā)學(xué)生的最近聯(lián)想,感受聯(lián)想的起因.通過(guò)聯(lián)想、猜測(cè)、回顧、拼圖、類(lèi)比遷移尋找證明勾股定理的可行性方法,整體探究過(guò)程自然生成,學(xué)生的思維自然生長(zhǎng).

2.證明方法再探

問(wèn)題5在觀察式子的特征時(shí),有的同學(xué)最近聯(lián)想到了完全平方公式,由此能否尋找到證明勾股定理的方法呢?

操作嘗試拼出邊長(zhǎng)為(a+b)或(b-a)的正方形,

展示學(xué)生用磁鐵將拼成的圖形展示在黑板上.(可以拼出圖2與圖3的正方形,部分學(xué)生拼出如圖4的正方形)

思考能否尋找新的方法證明勾股定理呢?

交流圖3與圖4都是邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形,利用面積相等建立等式可以證明.

小結(jié)在西方,傳說(shuō)這種證明方法是畢達(dá)哥拉斯給出的,但實(shí)際上他的證明方法已經(jīng)失傳.

教學(xué)說(shuō)明只要是合情合理的假設(shè)、猜想、判斷,我們就可以沿著猜測(cè)進(jìn)行嘗試與深入思考.經(jīng)過(guò)對(duì)勾股定理式子特征的觀察,聯(lián)想到完全平方公式,類(lèi)比方法初探所積累的經(jīng)驗(yàn),想到數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)造正方形,嘗試?yán)玫确e法證明勾股定理.通過(guò)對(duì)圖3和圖4的對(duì)比、觀察,自然發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系,從而尋找到問(wèn)題解決的可能途徑.

3.深度思考,另辟蹊徑

問(wèn)題6請(qǐng)同學(xué)們觀察圖2、圖3,兩幅圖之間有什么聯(lián)系與共性?

交流它們都是由四個(gè)全等的直角三角形拼合而成;圖2、圖3中四個(gè)直角三角形沿斜邊c向外或向內(nèi)翻折可以互相得到;它們都不是軸對(duì)稱(chēng)圖形;每一幅圖都可以由一個(gè)直角三角形繞中心旋轉(zhuǎn)90°得到;將圖2、圖3中的任意兩個(gè)直角三角形紙片拼圖看成一個(gè)整體,整個(gè)圖形都分成兩個(gè)全等的圖形.

小結(jié)同學(xué)們從圖形的翻折、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、全等的角度審視了圖形自身的屬性或圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

問(wèn)題7能不能利用圖5、圖6證明勾股定理呢?

思考交流

(1)如圖5,連結(jié)AD,利用梯形面積直接求與間接求,建立等式,化簡(jiǎn)即可證明勾股定理(介紹“總統(tǒng)”證法).

(2)利用圖6能不能證明勾股定理呢?

引導(dǎo)大家可以從圖形之間內(nèi)在的結(jié)構(gòu)聯(lián)系尋找方法.

視角1圖6是由圖2變來(lái)的.在圖2中我們利用邊長(zhǎng)為c的正方形面積有兩種算法建立等量關(guān)系,那么在圖6中能不能利用邊長(zhǎng)為c的等腰直角三角形的面積有兩種算法建立等量關(guān)系呢?

視角2圖2與圖3通過(guò)翻折可互變,同樣圖5與圖6也有這樣的內(nèi)在聯(lián)系.因此在證明方法上是不是類(lèi)似呢?

學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考、嘗試、分析、交流,給出了以下證明方法.

方法1在圖7中,利用?ABD的面積兩種算法可以證明勾股定理.

方法2在圖8中,利用四邊形ABDE的面積兩種算法可以證明勾股定理.

方法3類(lèi)比圖5證法,在圖8中,利用梯形ACDE的面積兩種算法也可證明勾股定理.

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)對(duì)圖形的觀察、空間想象發(fā)現(xiàn)圖形的特征及圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生幾何變換的直觀感受能力,也在圖形的幾何變換中萌發(fā)出新的思路猜想,從而引發(fā)思考,深入探究,將數(shù)學(xué)思考引向深層.在利用圖6證明勾股定理的過(guò)程中,學(xué)生利用圖形內(nèi)在的結(jié)構(gòu)聯(lián)系進(jìn)行方法遷移,從不同的維度進(jìn)行嘗試、分析、證明,體現(xiàn)了學(xué)生思維的生長(zhǎng)性、靈活性、延展性.整個(gè)活動(dòng)探索過(guò)程自然發(fā)生、發(fā)展,學(xué)生主體探究真實(shí)而深入,體現(xiàn)了思維的合理性與完整性.

三、教學(xué)思考

1.讓思維的種子在螺旋漸進(jìn)的探究活動(dòng)中自然生長(zhǎng)

本課例探究活動(dòng)分方法初探、方法再探、另辟蹊徑三個(gè)層次.探究活動(dòng)在整合教學(xué)資源的基礎(chǔ)上,以數(shù)形結(jié)合思想為主線(xiàn),以圖形的特征和圖形之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系為思維生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地深入研究勾股定理的證明方法.在這樣自然連貫、螺旋漸進(jìn)的探究活動(dòng)中,學(xué)生的思維也有了層次性、連貫性、深刻性、創(chuàng)新性,從而達(dá)到數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)化、能力化、成長(zhǎng)化.

2.讓思維的種子在思維方式動(dòng)態(tài)交融中自然生長(zhǎng)

在解決問(wèn)題的過(guò)程中,聯(lián)想與猜想、“數(shù)”與“形”、形象與抽象、直覺(jué)與邏輯、整體與局部、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)等思維方式是一個(gè)動(dòng)態(tài)交融的過(guò)程.思維方式的有機(jī)統(tǒng)整、協(xié)調(diào)發(fā)展可引導(dǎo)學(xué)生從不同的途徑尋找信息與問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系,從不同的視角去思考、解決問(wèn)題,培養(yǎng)他們對(duì)信息的分析、比較、聯(lián)想能力,從而確定思維目標(biāo)、思維方向和行動(dòng)方案.本課例在引導(dǎo)學(xué)生有序深入的探究過(guò)程中,由“數(shù)”的特征聯(lián)想“形”的特征、由圖形的靜止到圖形的變換、由圖形的整體到局部、由直覺(jué)猜測(cè)到邏輯說(shuō)理、由圖形的內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)想到方法的類(lèi)比遷移,都體現(xiàn)了思維方式的有機(jī)融合,有效地促進(jìn)了學(xué)生思維的自然生長(zhǎng).

3.讓思維的種子在感悟數(shù)學(xué)思想方法中自然生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)思想方法如根,它是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的源泉,是分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本.沒(méi)有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),是無(wú)根的教學(xué),學(xué)生學(xué)到的是沒(méi)有生長(zhǎng)力的知識(shí),學(xué)會(huì)思考更是奢望[2].因此,教師應(yīng)該在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中,充分挖掘和滲透數(shù)學(xué)思想方法.在充分感悟數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、感知、聯(lián)想、猜測(cè)、類(lèi)比、推理等數(shù)學(xué)思考的基本方法,達(dá)到解決問(wèn)題有方向、思考問(wèn)題有思路、解決問(wèn)題有策略,切實(shí)讓思維的種子在感悟數(shù)學(xué)思想方法中自然生長(zhǎng).