雷改良

(湖北省武漢經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第二中學(xué),430056)

近幾年中考網(wǎng)格作圖經(jīng)常出現(xiàn)軸對稱的影子.相較于網(wǎng)格作圖中的作分點、作垂線、作平移、作角平分線而言,網(wǎng)格中的作對稱要稍微難一點.很多問題不是直接要我們作對稱,而是將對稱性的作圖意圖雜糅在頗為棘手的看似與對稱無關(guān)的問題里面,導(dǎo)致學(xué)生對作圖的核心把握不準,更不能將平時提煉的基本模型直接運用到該問題上.本文分類例說如何利用作對稱的常用策略解決網(wǎng)格的有關(guān)經(jīng)典作圖問題.

一、作對稱的常用策略

策略1利用軸對稱性質(zhì)直接作對稱

例1如圖1～圖3,作點A關(guān)于MN的對稱點.

基本方法對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.

分析先過點A作對稱軸的垂線,垂足是格點(如圖1～圖2)，則直接倍長.若垂足不是格點,則可想辦法構(gòu)造中位線模型,如圖3,連結(jié)AM并將其倍長至點C,再過C作對稱軸MN的平行線交對稱軸的垂線于一點B即為所求.

例2如圖4,?ABC是邊長為1正方形網(wǎng)格中的格點三角形.

(1)畫點A關(guān)于BC的對稱點D;

(2)連結(jié)AD交BC于E點,畫點E關(guān)于AC的對稱點F.

分析(1)過點A作對稱軸BC的垂線,垂足不是格點,則先將AB倍長至點M,再過點M作對稱軸BC的平行線交對稱軸的垂線于點D即為所求.

(2)因為點E為非格點,且∠BAC=45°，則可利用后面的策略3,構(gòu)造?ACH與?ACB全等,再作CH邊上的高AF,即可得點E關(guān)于AC的對稱點F.

策略2利用對稱軸作對稱

例3(2020年武漢中考題)在8×5的網(wǎng)格中建立如圖5的平面直角坐標系,四邊形OABC的頂點坐標分別為O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖,并回答問題:

(1)將線段CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出對應(yīng)線段CD;

(2)在線段AB上畫點E,使∠BCE=45°(保留畫圖過程的痕跡);

(3)連結(jié)AC,畫點E關(guān)于直線AC的對稱點F,并簡要說明畫法.

基本方法軸對稱圖形兩對對稱點交叉相連的交點在對稱軸上.

分析第(1)、(2)問如圖6.第(3)問,因為四邊形ABCD是菱形,則對角線AC為對稱軸,且點O與點B關(guān)于AC對稱,連結(jié)OE與對稱軸AC交于點M,連結(jié)BM并延長與AO的交點即為所求的對稱點F(如圖7).

策略3利用全等作對稱

例4圖8是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點.?ABC的頂點在格點上,僅用無刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖,畫圖過程用虛線表示,畫圖結(jié)果用實線表示,按步驟畫出BC關(guān)于AC對稱的線段CD.

基本方法由點或線段所在三角形的對稱圖形,得到相應(yīng)的對稱點或?qū)ΨQ邊.

分析易知∠BAC=45°.如圖8,構(gòu)造?ACD與?ACB全等,即可得CB關(guān)于AC對稱的線段CD.

例5如圖9,?ABC是邊長為1正方形網(wǎng)格中的格點三角形.

(1)畫?ABC的角平分線BF;

(2)畫點A關(guān)于BF的對稱點G.

分析(1)利用三角形三個角平分線交于一點的性質(zhì).如圖9,作出∠BAC和∠ACB的角平分線的交點E,連結(jié)BE并延長交AC于點F，BF即為?ABC的角平分線.

二、常用策略應(yīng)用

類型1利用對稱求最值

例6如圖10,在CD上確定一點P,使PA+PB的值最小.

分析本題求最值,本質(zhì)則是作對稱.如圖10,利用策略1,找到點A關(guān)于CD的對稱點E,連結(jié)BE交CD于點P即為所求.

類型2利用對稱作角相等

例7(2019年武漢中考題改編)圖11是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點.四邊形ABCD的頂點在格點上,請選擇適當(dāng)?shù)母顸c,用無刻度的直尺在邊AB上畫一點G,使∠AGD=∠BGC.(保留連線的痕跡,不要求說明理由)

分析要找到滿足條件的點G,使∠AGD=∠BGC,可利用策略1.如圖11,作D點關(guān)于AB的對稱點E,連結(jié)CE交AB于點G即為所求.

類型3利用對稱作線段相等

例8如圖12,?ABC中,AB=AC,B,C為格點.

(1)P為邊AB上一點,用無刻度直尺在AC上找一點Q,使AQ=AP；

(2)M為BC上任意一點,在BC上找一點N，使CN=BM.

分析(1)此問可利用策略2解決.如圖12(1),連結(jié)CP交對稱軸于點D,連結(jié)BD并延長與AC的交點Q即為所求.

(2)可仿照問題(1),先在AC上取點E,在AB上找到點E關(guān)于對稱軸的對稱點F,再連結(jié)ME,與對稱軸交于點H,連結(jié)FH并延長與BC的交點即為N(如圖12(2)).

類型4利用對稱作全等

例9如圖13,點A,B,C都在格點上,僅用無刻度的直尺,將?ABC沿BC邊翻折,畫出翻折后的?DBC.

分析要求畫出翻折后的三角形,其核心是找到點A關(guān)于BC的對稱點D,可利用策略1解決.如圖13,先倍長AC到點E,作EF∥CB,再作BC的垂線AM,則AM與EF的交點即為點D.

類型5利用對稱作切線

例10圖14是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,A,B,C三個格點都在圓上.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.

(2)畫出格點E,使EA為⊙O的一條切線,并畫出過點E的另一條切線EF,切點為F.

分析(1)略.(2)如圖14,要求畫出過點E的另一條切線EF,其核心就是作點A關(guān)于OE的對稱點.因為OE所在直線是圓O的對稱軸,只需要利用策略1,過點A作OE的垂線并延長,與圓O的交點即為點F.(因為OE為橫5.5豎1的直角三角形的斜邊,導(dǎo)致很多學(xué)生沒有想到過點A作橫1豎5.5的直角三角形的斜邊與OE垂直.)

三、結(jié)束語

網(wǎng)格作圖題靈活多變、豐富多彩,平面幾何中很多問題都能借助網(wǎng)格來呈現(xiàn).網(wǎng)格自身具有的幾何特征和數(shù)值特征,使圖形的一般幾何性質(zhì)得以特殊化和數(shù)量化.因此,網(wǎng)格作圖為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題提供了多角度探究的空間.網(wǎng)格作圖不僅能提高學(xué)生的識圖和作圖能力,還能多維度地培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力、計算能力、幾何直觀能力以及綜合運用知識解決問題的能力.

初中數(shù)學(xué)中的尺規(guī)作圖操作方法多種多樣,教學(xué)中往往只注重操作方法,缺少對作圖依據(jù)的合理闡釋,這樣會讓學(xué)生知其然而不知其所以然,一旦遇到新問題仍是束手無策.網(wǎng)格作圖問題其本質(zhì)和常規(guī)尺規(guī)作圖相同,作圖原理并沒有發(fā)生改變,只是采用的作圖工具由直尺圓規(guī)變成了網(wǎng)格和無刻度的直尺,相當(dāng)于是問題的載體發(fā)生了變化,因此在課堂教學(xué)中我們應(yīng)更注重知識的生成過程,梳理相關(guān)內(nèi)容的邏輯,幫助學(xué)生構(gòu)建完善的知識體系,這樣才能有助于學(xué)生在應(yīng)用知識時進行知識的正遷移.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出,核心素養(yǎng)反映的是數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想,是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的,具有綜合性、整體性和持久性.這就要求教師在課堂教學(xué)中不能按部就班地教學(xué)生獲得問題的答案,而應(yīng)啟發(fā)學(xué)生挖掘問題內(nèi)涵,讓學(xué)生去主動思考解決這個問題應(yīng)該使用哪些學(xué)過的數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)思想方法.教師只有在平時教學(xué)中滲透這樣的數(shù)學(xué)思想方法,才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).