駱 輝，路世青，冉 靖，呂世鑫，唐光元

(重慶理工大學 機械工程學院， 重慶 400054)

0 引言

數(shù)控機床的整體誤差中，熱誤差占到了40%～70%[1-2]，熱誤差補償對于數(shù)控機床性能提升至關重要。目前國際科研人員對此研究的主要方法是利用溫度同熱誤差之間建立精度高、穩(wěn)健性強的預測模型而加以對機床控制和補償[3-10]，其理論核心是溫度敏感點選擇和建模算法與機床熱特性的匹配性程度[11]。Shi等[12]提出采用模糊c均值聚類和相關分析方法選擇溫度敏感點，并引入鄧恩指數(shù)確定最佳聚類組數(shù)，有效地抑制了溫度測點之間的多重共線性問題。此外還有學者提出粗糙集理論結合灰色關聯(lián)度算法[13]、模糊聚類結合相關系數(shù)算法[14]、平均沖擊值法[15]等用于溫度敏感點選擇。Ramesh等[16-17]采用支持向量機算法進行建模。Miao等[18]提出利用模糊聚類結合灰色關聯(lián)度算法對溫度敏感點選擇，使得溫度敏感點優(yōu)化至2個。隨后，Miao等[19-20]提出了一種主成分回歸(PCR)算法，相關系數(shù)結合嶺回歸算法等建模方法，消除溫度變量之間多重共線性的影響并減少溫度敏感點的變動性，并提出了完整的模型穩(wěn)健性概念。模型穩(wěn)健性表現(xiàn)為所建立的熱誤差預測模型在不同的工況下，依舊能展現(xiàn)出良好熱誤差預測精度，是衡量熱誤差預測模型效果的重要指標之一。Volk等[21]在CIRP綜述論文中將模型穩(wěn)健性概念作為機床模型的五大特征之一。Mayr等[22]提出了一種在五軸加工中心上的定期更新的自適應熱誤差補償模型，且設置運動控制極限作為觸發(fā)條件，當誤差值超過運動控制極限時則加大采集頻率以保證模型的精度。Zimmermann 等[23-24]提出自主更新建模輸入?yún)?shù)的自適應熱誤差補償模型以提高模型的長期有效性，提高生產(chǎn)效率。但是，實時更新的缺陷在于需要在線實時的測量標準件進行模型的重建，所以工況條件比較苛刻。

故此，本文以臺中精機Vcenter-55數(shù)控加工中心與leaderway- 450數(shù)控加工中心為研究對象，針對溫度敏感點變動性，提出了KWG計算溫度敏感點的方法，有效降低溫度敏感點的變動性。針對不同型號機械結構不同的機床熱特性差異，導致直接使用常用的MLR建模算法建立的模型預測效果不佳的問題，提出“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法，該方法通過對熱誤差數(shù)據(jù)進行對稱處理之后再進行建模，MLR模型的預測精度上升約46.6%，其模型應用周期提升至6個月有效期。

1 熱誤差建模算法

溫度測點的分類和優(yōu)選可以降低各溫度測點之間的共線性，提高模型的穩(wěn)健性。本文通過K-means聚類算法對溫度測點進行分類，將相關性強的溫度數(shù)據(jù)分為一類。后續(xù)選擇溫度敏感點時就可以減少不同類的溫度測點之間的共線性干擾，從而增強預測模型的穩(wěn)健性。之后使用灰色關聯(lián)度計算出各類中相對熱誤差權重最大的溫度測點作為溫度敏感點，用于建立預測模型。

本文針對模糊聚類結合灰色關聯(lián)度算法[18]選擇出的溫度敏感點仍具有一定變動性的缺陷，提出K-means聚類算法結合灰色關聯(lián)度算法進行溫度敏感點的選擇。

1.1 K-means聚類算法

K均值聚類算法(K-means clustering algorithm)是一種迭代求解的聚類分析算法。其一般通過歐氏距離進行分類的判定依據(jù)，通過多次的迭代至滿足預定條件，從而獲得最佳分類。

(1)

式中：xi表示x的第i個坐標;yi表示y的第i個坐標。

同時，為了進一步提高建模預測精度，盡可能讓傳感器中包含更多的熱特性信息量，故采用鄧式灰色關聯(lián)度[25-26]在類中進行傳感器優(yōu)化選擇，可進一步提高選擇的傳感器在模型中的權重影響。

1.2 建模算法

本文采用常用的MLR算法建模[19-20]，目的在于驗證通過模型預測精度相互比對分析不同溫度敏感點選擇算法的優(yōu)劣性，以及相互比對2種算法在不同規(guī)律的熱誤差數(shù)據(jù)下建模的精度與穩(wěn)健性。

為驗證所建立的模型預測精度效果，以殘余標準差S作為精度評判標準，將各批次模型進行相互預測。而模型對各批次數(shù)據(jù)的預測殘余標準差S的平均值Smean能夠從整體上反映模型對全部數(shù)據(jù)的預測效果，因此可以用來表征模型的預測精度;S的標準差Sstd則反映了模型對其他批次數(shù)據(jù)預測效果的波動性，因此可以用來表征模型的穩(wěn)健性。

預測殘余標準差S的計算公式為:

(2)

Smean和Sstd的計算公式如下所示

(3)

式中：Si, j表示數(shù)據(jù)預測的殘余標準差，K表示數(shù)據(jù)批次。

2 實驗方案介紹

2.1 測量裝置介紹

本文以Vcenter-55數(shù)控加工中心和leaderway- 450數(shù)控加工中心作為被測對象，實驗方案以臺中精機Vcenter-55數(shù)控加工中心為例，如圖 1所示為Vcenter-55加工中心的正面圖像，包括了機床整體、主軸箱、主軸前端、檢驗棒、位移傳感器夾具等。其中l(wèi)eaderway- 450數(shù)控加工中心的實驗方案與之相同。

圖1 Vcenter-55數(shù)控立式加工中心

2.2 實驗安排

各批次實驗熱誤差測量過程參考國際標準 S0 230-3∶2020，機床主軸以恒定轉速2 500 r/min空轉運行，工作臺沿X、Y軸向以恒定1 500 mm/min的進給速度進行往返運行，每運行5 min 采集一次溫度和熱誤差數(shù)據(jù)，每批次實驗時間持續(xù)6 h 之上。

位移采集使用的是電渦流位移傳感器，通過位移傳感器夾具固定在機床工作臺上，在X軸與Y軸方向上各2個位移傳感器，Z軸方向上一個位移傳感器。溫度采集選用的是DS18B20溫度傳感器，貼放在機床各熱源位置[20]。

2.3 實驗數(shù)據(jù)分析

根據(jù)文獻[11]中提到數(shù)控機床熱誤差模型在不同溫度區(qū)間內(nèi)，建模預測效果差異顯著。因此，為避免由溫度區(qū)間導致的熱誤差模型效果下降帶來的影響，本文選擇全年環(huán)境溫度24 ℃以下的多批次實驗數(shù)據(jù)進行分析。下文中Vcenter-55加工中心選擇了13批次實驗數(shù)據(jù)，分別表示為K1～K13批次。Leaderway- 450數(shù)控加工中心選擇了13批次實驗數(shù)據(jù)，分別表示為K1～K13批次。

2.3.1溫度數(shù)據(jù)分析

繪制Vcenter-55數(shù)控加工中心和leaderway- 450數(shù)控加工中心實測數(shù)據(jù)K1批次的溫度變化趨勢圖，如圖2、圖3所示，可觀察出各溫度數(shù)據(jù)的變化規(guī)律隨著時間緩慢上升，在機床熱平衡之后趨于穩(wěn)定。

圖2 Vcenter-55 第一批次實驗溫度數(shù)據(jù)曲線

圖3 leaderway- 450 第一批次實驗溫度數(shù)據(jù)曲線

不同型號的加工中心，其溫度變化特性趨勢基本一致。而其熱變形特性具體如何，仍需進一步研究。

2.3.2熱誤差數(shù)據(jù)分析

因Vcenter-55和leaderway- 450數(shù)控加工中心在X軸方向與Y軸方向上機床結構近似，并與Z軸方向的熱誤差數(shù)據(jù)進行比較，X軸和Y軸的熱誤差較小，故主要對Z向熱誤差數(shù)據(jù)進行了分析。為分析研究對象的熱誤差變化趨勢以及比較不同型號加工中心的熱誤差趨勢差異，對Vcenter-55數(shù)控加工中心和leaderway- 450數(shù)控加工中心的所有實驗批次的Z軸熱變形進行繪制，結果如圖4、圖5所示。

圖4 Vcenter-55數(shù)控加工中心Z軸熱特性隨時間變化曲線

圖5 leaderway- 450數(shù)控加工中心Z軸熱特性隨時間變化曲線

由圖4分析可知Vcenter-55數(shù)控加工中心13批次實驗數(shù)據(jù)中主軸Z向熱誤差整體趨勢為隨著時間先上升后下降，在機床熱平衡后逐步趨于平穩(wěn)。圖5反映了leaderway- 450數(shù)控加工中心Z軸方向的熱誤差變化趨勢，是隨著時間先上升后在機床熱平衡后逐步趨于平穩(wěn)。相比較后發(fā)現(xiàn)Vcenter-55和leaderway- 450數(shù)控加工中心Z軸方向上所呈現(xiàn)出來的熱特性差異較大，而leaderway- 450這種熱變形規(guī)律在目前為國際已發(fā)表論文中的主流熱變形特征趨勢[12，19-20,27-28]，本文將其稱之為“常規(guī)熱特性趨勢圖”。而將圖4所示熱變形特征趨勢圖稱之為“非常規(guī)熱特性”趨勢圖。

3 溫度敏感點選擇

溫度敏感點的變動性對模型的精度與穩(wěn)健性也有很大影響[19]，為免除建模算法以外的因素影響，本文采用KWG溫度敏感點選擇方法，進一步強化溫度敏感點的穩(wěn)健性，從而增強模型的預測精度與穩(wěn)健性。

因此后文通過KWG方法進行溫度敏感點選擇結果參與建立預測模型，預測模型則為常見的MLR模型，敏感點選擇如表1所示。

表1 使用KWG分別對不同型號機床熱特性數(shù)據(jù)進行溫度敏感點選擇

4 熱誤差建模預測

本節(jié)基于KWG方法選擇的溫度敏感點建立了Leaderway- 450與Vcenter-55加工中心Z軸的熱誤差的多元線性回歸模型。即分別對“常規(guī)熱特性”與“非常規(guī)熱特性”進行建模預測，結果分析發(fā)現(xiàn)相同的算法針對“非常規(guī)熱特性”建立的模型精度與穩(wěn)健性明顯更差，無法滿足工業(yè)應用需求。

為解決“非常規(guī)熱特性”模型精度較差的問題，本文從算法與數(shù)據(jù)的適配性出發(fā)，提出了“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法。并通過與直接建模的預測結果相比較，驗證了“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法建立的模型預測精度與穩(wěn)健性更高。

4.1 熱特性的直接建模

4.1.1針對“常規(guī)熱特性”的預測建模

針對Leaderway- 450加工中心Z軸熱誤差數(shù)據(jù)所展現(xiàn)出來的“常規(guī)熱特性”進行直接建模分析，即使用KWG方法選擇的溫度敏感點參與建立多元線性回歸模型，如表2所示。

表2 “常規(guī)熱特性”MLR模型

其中，模型相互預測之后的預測精度與穩(wěn)健性分別是Smean=6 μm，Sstd=1.39 μm。

為了探究“非常規(guī)熱特性”的建模規(guī)律，采用上述相同的方法對Vcenter-55數(shù)控加工中心熱特性進行預測建模與分析。

4.1.2針對“非常規(guī)熱特性”的預測建模

通過分別進行多元線性回歸和嶺回歸建模并進行數(shù)據(jù)預測，建模情況如表3所示。

表3 “非常規(guī)熱特性”的MLR模型

通過相互預測對評估模型的預測效果，并將“常規(guī)熱特性”與“非常規(guī)熱特性”通過Smean和Sstd分別評價模型的預測精度以及穩(wěn)健性，詳細數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 “常規(guī)熱特性”與“非常規(guī)熱特性”直接建模的模型整體預測精度與穩(wěn)健性 μm

通過表4可以分析得出，“非常規(guī)熱特性”MLR模型精度劣于“常規(guī)熱特性”MLR模型，且整體預測精度在8 μm以上，無法滿足精度要求，對此本文通過分析數(shù)據(jù)變化趨勢，基于穩(wěn)健性建模理論，提出了“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法。

4.2 “非常規(guī)熱特性”的穩(wěn)健性建模

4.2.1“對稱映射”穩(wěn)健性建模分析

通過繪制“非常規(guī)熱特性”K1批次數(shù)據(jù)Z向熱誤差的MLR模型曲線,即由圖6可得出如下結論與看法：Z軸方向的熱誤差變化趨勢呈現(xiàn)出隨著時間先上升然后下降隨后趨于平穩(wěn)的趨勢，MLR模型與熱誤差數(shù)據(jù)的契合度不高，模型整體呈現(xiàn)出隨著時間先快速上升，然后略微下降后就趨于平穩(wěn)，這使得圖中虛線框中的熱誤差數(shù)據(jù)轉折點處模型的殘差值較大，達到10 μm。

圖6 “非常規(guī)熱特性”K1批次實驗Z軸熱誤差MLR模型曲線

故提出采用“對稱映射”數(shù)據(jù)處理方式，將數(shù)據(jù)進行翻轉處理，使其整體趨勢更加平滑，隨后利用“對稱映射”數(shù)據(jù)進行建模，再將模型以相同的方式進行翻轉處理，最后將翻轉后的模型同實驗測量數(shù)據(jù)進行比較。發(fā)現(xiàn)建模效果顯著提升，殘差由原來的正負10 μm的波動提升至正負5 μm的波動，如圖7、圖8所示。

圖7 “對稱映射”數(shù)據(jù)處理曲線

圖8 “對稱映射”處理后的MLR模型曲線

因此，本文根據(jù)上述“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法應用于“非常規(guī)熱特性”其他批次數(shù)據(jù)進行建模預測與分析。

4.2.2“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法驗證

將“非常規(guī)熱特性”的K1～K13批次實驗Z軸的熱誤差數(shù)據(jù)全部進行“對稱映射”數(shù)據(jù)處理，如表5所示，建立MLR模型，并將翻轉MLR模型同實驗測量數(shù)據(jù)通過S值進行相互預測比較。

表5 基于“對稱映射”處理的“非常規(guī)熱特性”的MLR模型

通過比較分析圖 9和表6后發(fā)現(xiàn)，直接使用MLR建模算法對于“非常規(guī)熱特性”趨勢下的熱誤差預測效果不佳且穩(wěn)健性差。而使用“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法進行MLR模型建立，其預測精度與穩(wěn)健性都得到了較大提升，該方法通過對熱誤差數(shù)據(jù)進行相應處理之后再進行建模，其MLR模型的預測精度上升約46.6%，穩(wěn)健性提升60%。

圖9 “對稱映射”數(shù)據(jù)處理后MLR模型相互預測曲線

表6 “非常規(guī)熱特性”采用不同建模方法的模型整體預測精度與穩(wěn)健性

MLR模型雖然應用廣泛，但因其穩(wěn)健性問題，大多數(shù)情況被摒棄。對于本文采用“對稱映射”方法進行建模時，卻意外發(fā)現(xiàn)MLR算法預測精度也得到了相應的提高，穩(wěn)健性也有所提高。因此本文得出結論：對于許多算法在面對特殊規(guī)律的數(shù)據(jù)時，可以讓算法產(chǎn)生變化使其重新獲得有效的應用。通過本文的思路與方法，拓展了MLR建模算法的有效應用范圍，使其能更好地使用。

5 結論

針對數(shù)控機床溫度敏感點存在隨著季節(jié)變化而變動，導致預測模型的精度隨之改變，模型穩(wěn)健性下降的問題。提出了使用KWG方法，優(yōu)選出穩(wěn)健性較高的溫度敏感點，并進行實驗證明KWG方法選擇的溫度敏感點變動性低。同時針對研究對象所表現(xiàn)的不同于一般規(guī)律的熱特性提出了“對稱映射”穩(wěn)健性建模預測方法，解決了特殊熱變形規(guī)律與現(xiàn)有模型算法穩(wěn)健性適用范圍不匹配的問題，有效提高了模型的預測精度與穩(wěn)健性。本文使用“對稱映射”穩(wěn)健性建模預測方法后，該方法通過對熱誤差數(shù)據(jù)進行相應處理之后再進行建模，其MLR模型的預測精度上升46.6%，穩(wěn)健性提升60%。

此外，目前大多數(shù)研究團隊面對數(shù)據(jù)建模時都具有一定的盲目性，導致選擇的建模算法與數(shù)據(jù)的適用范圍不匹配等問題。本文通過“對稱映射”穩(wěn)健性建模方法研究發(fā)現(xiàn)不同的建模算法對參與建模的數(shù)據(jù)存在“適配性”問題，當參與建模的數(shù)據(jù)與建模算法“適配度”越高，所建立的模型精度會更高。

對于算法適配性的問題，后期將繼續(xù)進行研究。