彭曉琳

(湖北省宜昌市葛洲壩中學，443000)

在解析幾何中,我們遇到的絕大部分題目都是運用韋達定理來解決,對韋達定理結(jié)構(gòu)的對稱式進行化簡計算,學生是比較熟悉的.但在遇到非對稱式問題時,大部分學生就很不適應,甚至無從下手.本文以一道高三調(diào)研試題為引例,談談非對稱韋達定理問題常見的解法和思路,供參考.

一、試題呈現(xiàn)與解法探究

(1)求橢圓C的方程;

(2)設橢圓C的左、右頂點分別是A,B，點P,Q為橢圓上異于A,B的兩動點,記直線AP的斜率為k1,直線QB的斜率為k2,已知k1=7k2,求證:直線PQ恒過x軸上一定點.

(2)思路1分設兩線直接求解.

解法1由(1)知點A(-2,0),B(2,0),設點P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP的方程為x=t1y-2,直線BQ的方程為x=t2y+2.

評注此法為了回避出現(xiàn)非對稱結(jié)構(gòu),不直接設直線PQ的方程,而是先通過設直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立求出點P的縱坐標,同理得到點Q的縱坐標,再利用k1=7k2和P,D,Q三點共線這兩個條件得到點D的坐標.思路清晰,學生容易接受,但計算量偏大.

思路2韋達定理代入消元法

思路3和積關系轉(zhuǎn)化法

思路4第三定義轉(zhuǎn)化法

二、遷移應用

解法1(和積關系轉(zhuǎn)化法)

評注本題中積與和的關系很容易確定,再聯(lián)立直線AM,BN的方程,由結(jié)論預見聯(lián)立消去y可建立關于交點T的橫坐標的方程,借助積轉(zhuǎn)化為和的結(jié)構(gòu)化簡計算,使問題獲解.

解法2(橢圓的定義)

設點A(x1,y1)B(x2,y2),同解法1可得

評注本題與橢圓的頂點有關,類似于引例,可利用橢圓的定義,直接平方后將y替換下來就可以得到對稱式,進而用韋達定理可求定值.

評注此解法的關鍵是面對不對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu),構(gòu)造對偶式,實現(xiàn)將代數(shù)結(jié)構(gòu)化為對稱形式的目的,進而用韋達定理求解參數(shù).