石金誠，肖勝中

(1.廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300； 2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科研處，廣東 廣州 510507)

Saint-Venant原理在數(shù)學(xué)與力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而解的空間指數(shù)衰減估計是Saint-Venant原則的一個重要性質(zhì)，在研究解的Saint-Venant原則時，需要添加一個解在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處趨于零的限制.近年來，許多學(xué)者開始研究解的空間衰減估計或Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果.經(jīng)典的Phragmén-Lindel?f定理指出:調(diào)和方程的解從圓柱面有限的一端到無窮遠(yuǎn)處必須隨距離呈指數(shù)增長或指數(shù)衰減.后來, Payne 和Schaefer[1]將研究由調(diào)和方程推廣到雙調(diào)和方程上來, 得到了雙調(diào)和方程在3個不同區(qū)域的Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果. 文獻(xiàn)[2-5]利用各種方法研究了雙調(diào)和方程的空間性態(tài). 對于與時間相關(guān)的雙調(diào)和方程的解的性態(tài)研究可見Liu等[6]，作者采用二階微分不等式的方法得到與時間相關(guān)的Stokes方程的Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果. 上述文獻(xiàn)所考慮的方程均是單個方程, 由于雙調(diào)和方程研究的難度較大, 導(dǎo)致研究雙調(diào)和方程組的文獻(xiàn)較少.

1 問題描述

在如下無界區(qū)域Ω0內(nèi)考慮，其中Ω0為

Ω0={(x1,x2)|x1>0,0

(1)

其中h是一給定的正常數(shù).同時引入下面的記號

LZ={(x1,x2)|x1=Z≥0,0≤x2≤h}.

(2)

在文獻(xiàn)[14]中，作者采用C0-半群方法，研究了如下含有熱現(xiàn)象波板系統(tǒng)方程組解的分析性態(tài).

ρ1utt-Δu-μΔut+λΔv=0,

(3)

ρ2vtt+γΔ2v+λΔu+mΔθ=0,

(4)

τθt-κΔθ-mΔvt=0,

(5)

其中u表示彈性模的垂直擾度，v表示彈性板的垂直擾度，θ表示溫度差，ρ1,ρ2,μ,λ,κ,γ,τ,m均為非負(fù)數(shù)，Δ表示Laplace算子，Δ2表示雙調(diào)和算子.上述模型可以用來描述由彈性膜和彈性板組成的系統(tǒng)板的演化過程.

文中考慮(3)～(5)系統(tǒng)中當(dāng)λ=0的情形，由于此時u未與其他方程耦合,因此考慮如下雙曲拋物耦合系統(tǒng).

ρvtt+γΔ2v+mΔθ=0,

(6)

τθt-κΔθ-mΔvt=0.

(7)

方程(6)和(7)滿足如下初邊值條件：

(8)

gi(x2,t),i=1,2,3是給定函數(shù)并滿足如下的相容性條件：

(9)

此外，解在無窮遠(yuǎn)處添加如下限制條件：當(dāng)z→∞時，

v,vt,vα,vαt,vαβ,vααβ,θ,θα→0.

(10)

本文,得到雙調(diào)和方程組 (6～7)的解在條件(8～10)下的空間衰減估計.

2 能量表達(dá)式 φ(z,t)

首先需要推導(dǎo)出能量表達(dá)式.

在式(1)兩邊同時乘以exp(-ωt)vt并積分，可得

(11)

定義函數(shù)φ1(z,t)如下：

(12)

聯(lián)合式(11)和(12)，可得

(13)

在式(7)兩邊同時乘以exp(-ωt)θ并積分，可得

(14)

定義函數(shù)φ2(z,t)如下：

(15)

聯(lián)合式(14)和(15)，可得

(16)

在式(7)兩邊同時乘以exp(-ωt)vt并積分，可得

(17)

定義函數(shù)φ3(z,t)如下：

(18)

聯(lián)合式(17)和(18)，可得

(19)

在式(6)兩邊同時乘以exp(-ωt)θ并積分，可得

(20)

定義函數(shù)φ4(z,t)如下：

(21)

聯(lián)合式(20)和(21)，可得

(22)

在式(6)兩邊同時乘以exp(-ωt)vαα并積分，可得

(23)

定義函數(shù)φ5(z,t)如下：

(24)

聯(lián)合式(23)和(24)，可得

(25)

定義一個新的能量函數(shù)φ(z,t)：

(26)

其中k1,k2是大于零的任意常數(shù).

3 空間衰減估計

這一節(jié)將得到如下的空間衰減估計：

定理1假設(shè)(v,θ)為初邊值問題(6～9)的經(jīng)典解，則

其中，E(z,t)是大于零的函數(shù)，k3是大于零的常數(shù).

證明聯(lián)合式(12)和(15)，可得

(27)

由式(18)和(21)，可得

(28)

由式(24)，可得

(29)

式(28)，由Schwarz不等式，可得

(30)

其中ε2是大于零的任意常數(shù).

式(29)，由Schwarz不等式，可得

(31)

聯(lián)合式(26)、(27)，(30)和(31)，可得

(32)

在式(32)中，取

(33)

聯(lián)合式(13)，(16)，(19)，(22)和(25)，可得

(34)

式(34),由Schwarz不等式和式(33)，可得

(35)

其中k3為可計算的大于零的常數(shù).

式(35)，可寫為

(36)

積分式(36)，可得

(37)

其中φ(0,t)可以通過初始數(shù)據(jù)來控制,省略其估計過程.

由式(33)，可知

(38)

由式(37)和(38)，可得

(39)

式(39)即是所需的空間衰減估計.