?甘肅省張掖市第二中學 紀相林
在解數(shù)學題時,學生常習慣于“由小到大”的思維模式,就是從較復雜的“大問題”中的“小問題”入手,先解決較簡單的小問題,然后再由小到大,積少成多,逐步擴大戰(zhàn)果.但是這種常規(guī)的方法并非萬能鑰匙,面對有些特殊問題,我們深感運算量大、過程繁雜,甚至還可能陷入半途而廢的困境.這時,不妨換個思路,站在宏觀的角度,把待解決的“大問題”看作是一個整體,通過“聚焦”研究問題的形式、結構與特征,有針對性地采用“代入、聯(lián)想、合設方程”[1]等多種轉化的方法與技巧,最終達到化繁為簡、解決問題的目的.
下面結合典型例題,探討運用“整體思維”解決數(shù)學問題的方法與技巧.
有些問題在求解時,不能(或不需)分別求出各個量的具體值,只需考慮求出這些量所構成的某代數(shù)式的整體值,就能達到解題的目的.
例1已知直棱柱的底面是等腰梯形,且梯形對角線和梯形底邊的夾角為α,棱柱的側面積為Q,設此直棱柱有內(nèi)切圓柱,求該圓柱的側面積.
圖1
解:如圖1,梯形ABCD(AB 2DE=AB+CD. 又根據(jù)切線性質,得 AD+BC=AB+CD. 所以DE=AD=BC,故梯形的周長為4DE. 設棱柱的高為h,圓柱的底面半徑為R,那么 Q=4DE·h. 在Rt△BED中,DE=BE·cotα=2R·cotα. 點評:如果按照常規(guī)解法,首先設直棱柱的高為h,圓柱底面半徑為R,則S圓柱=2πRh,但是如何求Rh的值呢?這是關鍵所在.聯(lián)想到Rt△BED與等腰梯形、直棱柱同高的特點,我們就可以避開直接計算Rh,而是選擇將Rh整體代入的方法.這種避繁就簡的方法在立體幾何中會經(jīng)常用到. 整體觀察就是從宏觀的角度來考察問題的結構與特點,從而找到解決問題的突破口. 解:由原不等式變形,得 該不等式對所有實數(shù)x恒成立的充要條件是 所以a的取值范圍是(0,1). 點評:通過整體觀察,發(fā)現(xiàn)不等式左邊的三個對數(shù)式可以轉化為同一類形式.因此,先把不等式變形化簡后再求解,這樣就避免了繁瑣的運算過程.這顯然比通常利用二次函數(shù)的性質求解簡單得多. 對有些特征明顯的習題,我們可以根據(jù)題型的特點,相應地配出與其相匹配的另一個整體,然后再根據(jù)相互之間的關系求解. ② 所謂整體聯(lián)想,就是通過分析問題的整體結構或特點,找出知識點之間的相似性、相關性等,運用有關知識來解決問題. 因為(α-β)+(β-γ)+(γ-α)=0,所以 tan[(α-β)+(β-γ)+(γ-α)]=0. 整理,可得tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)= tan(α-β)tan(β-γ)tan(γ-α). 展開,整體聯(lián)想,代換,即得 點評:經(jīng)過觀察和聯(lián)想,我們發(fā)現(xiàn)原題待證式中的分式與正切的差角公式相似,而且整個等式又與三角形中的公式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC[3]相似,所以可以仿其形式,采用整體聯(lián)想、合理代換的方法輕松完成證明. 對具有某種性質的兩條曲線,如果把它們的方程從整體上合設成一種表達式,就可以收到化繁為簡的效果. 圖2 求證:|AC|=|BD|. (b2-a2k2)x2-2kma2x-(m2+λb2)a2=0. 設直線與曲線的交點坐標分別為(x1,y1) ,(x2,y2). 所以,兩交點連線段中點的橫坐標為 所以,線段AB和CD的中點重合. 故|AC|=|BD|. 從上述各例的技巧分析中可以看出,運用整體思維法來解決數(shù)學問題,具有極大的優(yōu)越性與實用性.學生如果學會運用整體思維法來思考問題,就能夠不斷地開闊思路,激發(fā)靈感,靈活自如地運用并創(chuàng)新出一些更實用的方法和技巧[4],最終達到提高解題速度與質量的目的.2.2 整體觀察法
2.3 整體配對法
2.4 整體聯(lián)想法
2.5 合設方程法
3 結論