汪勢杰，王 健，代家昆，尤啟龍

（1.國能長源湖北新能源有限公司，湖北隨州 432700；2.武漢大學(xué)動力與機械學(xué)院，湖北武漢 430072）

引言

齒輪箱是機組中故障發(fā)生率最高的部件，故障百分比已超過60%[1]，動力學(xué)分析是進行齒輪傳動系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷的理論基礎(chǔ)。作為齒輪傳動的關(guān)鍵參數(shù)，時變嚙合剛度會引起顯著的振動響應(yīng)特征，因此從嚙合剛度角度出發(fā)對齒輪振動和噪聲的進行研究具有重要的意義。

國內(nèi)外許多學(xué)者針對齒輪的動力學(xué)和系統(tǒng)響應(yīng)做了很多研究。萬志國等[2]提出了一種考慮齒根圓與基圓不重合時嚙合剛度求解方法，建立動力學(xué)模型并求解。WU 等[3]建立了6 自由度動力學(xué)模型，并分析了齒輪剛度隨裂紋程度的變化趨勢。李亞鵬等[4]針對提出了改進的石川公式，同時討論了多齒嚙合時齒輪綜合時變嚙合剛度的計算方法。Chen 等[5]提出了一個融合了齒寬和裂紋深度的裂紋分析模型，以研究齒輪裂紋對齒輪嚙合剛度的影響。針對風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)變速變載的工作特點,謝福起等[6]基于風(fēng)速功率譜密度模型，建立系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型。向玲等[7]采用集中參數(shù)模型建立了風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，結(jié)合時間歷程圖、FFT 頻譜圖、相圖、Poincaré 截面圖、分岔圖及最大Lyapunov 指數(shù)圖分析了系統(tǒng)在隨激勵頻率變化和隨支承剛度變化下的動力學(xué)特性。本研究以一級直齒輪為研究對象，建立了該齒輪副在齒輪裂紋生長的不同階段的時變嚙合剛度模型，并進一步建立了具有扭轉(zhuǎn)和橫向振動的六自由度動力學(xué)模型。通過計算齒輪裂紋不同生長階段下系統(tǒng)的振動響應(yīng)，實現(xiàn)了齒輪裂紋程度與動態(tài)響應(yīng)之間的定性匹配，得到了齒輪裂紋故障對系統(tǒng)傳動性能的影響，能夠為齒輪副的設(shè)計和故障診斷提供一定的理論指導(dǎo)。

1 齒輪裂紋狀態(tài)下的時變嚙合剛度建模

在直齒輪傳動中，存在齒輪單雙齒交替嚙合并導(dǎo)致嚙合剛度會發(fā)生突變，稱為時變嚙合剛度[8]。齒輪的剛度包含為接觸剛度，彎曲剛度以及徑向剛度。其中，接觸剛度往往通過赫茲理論計算，而徑向剛度與齒輪的齒廓參數(shù)有關(guān)，這兩者受裂紋的影響較小。

齒輪的裂紋與發(fā)生是一個緩慢而復(fù)雜的過程，本文在這里對裂紋的生長與表征進行簡化建模。假設(shè)齒輪裂紋的拓展方式如圖1 所示，齒輪裂紋從齒根處開始，與齒輪中心線成一夾角v，假設(shè)v 為一常數(shù)。兩段裂紋與齒輪中心線成中心對稱分布。裂紋的長度為q1,q1從0 逐漸以0.1 mm 的增量增加到與齒輪中心線相交，這時，q1的長度達到其最大值。根據(jù)假設(shè)，q2的長度應(yīng)該與q1相同，但是在實際情況下，齒輪會在q2沒有達到最大值時斷裂，因此，假設(shè)q2最大長度為q1最大長度的60%。

圖1 齒根裂紋示意圖

實際中，齒輪的彎曲剛度剪切剛度較易受裂紋影響。根據(jù)文獻[8]中的結(jié)論，在引入齒根裂紋前后，根據(jù)齒根裂紋發(fā)展的不同階段，可以分為四種情況計算齒輪副的彎曲剛度Kb和剪切剛度Ks。

2 系統(tǒng)振動響應(yīng)的建模及求解

本章建立了具有扭轉(zhuǎn)和橫向振動的單級齒輪系統(tǒng)模型，包括輸入電機，負載電機，輸入軸，輸出軸，輸入小齒輪，輸出大齒輪。系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖2 所示。該系統(tǒng)由輸入電機輸入轉(zhuǎn)矩M1進行驅(qū)動，負載電機負載的轉(zhuǎn)矩為M2?？紤]到本文研究重點為齒根裂紋本身對齒輪傳動造成的影響，因此暫不考慮齒輪對中潤滑與摩擦的影響。

圖2 單級齒輪系統(tǒng)

Y 方向的小齒輪和大齒輪的位移和轉(zhuǎn)矩方程如下：

輸入電機和負載的轉(zhuǎn)矩方程如下：

系統(tǒng)中的力和轉(zhuǎn)矩可以通過下面的等式算出：

在本研究中，由于重點是研究故障下系統(tǒng)的響應(yīng)，因此假設(shè)輸入軸承、彈性聯(lián)軸器的各方向的剛度和阻尼相同。此外，嚙合阻尼系數(shù)ct設(shè)置為與總嚙合剛度kt成正比，即ct=μkt。其中系數(shù)μ 在本研究中設(shè)置為3.99×10-6(s)。齒輪箱系統(tǒng)的其他參數(shù)列于表1 中。

表1 單級齒輪系統(tǒng)主要參數(shù)

齒輪裂紋的長度以0.1 mm 的增量從零開始增長。由于輪齒在裂紋發(fā)展到其全長之前可能會突然斷裂，因此假設(shè)最大裂紋水平為80%。圖4 給出了裂紋水平為28%時嚙合齒輪的動態(tài)響應(yīng)，包含時域歷程曲線和相圖。圖5 給出了裂紋水平為53%時的動態(tài)響應(yīng)，包含時域歷程曲線和相圖。圖3 給出了健康狀態(tài)下的齒輪動態(tài)響應(yīng)。在圖4 中，故障特征在時域表現(xiàn)尚不明顯；與健康的齒輪振動信號（0%裂紋）相比，除了振動幅值小幅上升外，時域歷程曲線幾乎完全相同，而僅僅在相圖上表現(xiàn)為更加混沌。然而，隨著裂紋程度的發(fā)展，如圖5 所示，當(dāng)高于40%的齒根裂紋會使齒輪振動信號產(chǎn)生明顯的變化。隨著裂紋生長水平的增加，時域信號中出現(xiàn)明顯的由裂紋引起的周期性脈沖；該周期性脈沖隨著裂紋的生長越來越明顯。此外，由于齒輪裂紋造成的影響在齒輪轉(zhuǎn)一圈時重復(fù)一次，可以發(fā)現(xiàn)每兩個脈沖之間的持續(xù)時間等于一個軸周期。當(dāng)裂紋以及生長到了后期（裂紋大于50%），系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生的故障特征越發(fā)明顯，而且故障處振動幅值出現(xiàn)了顯著的增長。在相圖中，由于齒根裂紋導(dǎo)致的混沌現(xiàn)象更加明顯。

圖3 健康齒輪嚙合的振動響應(yīng)及相圖

圖4 齒輪在裂紋生長水平為28%時的振動響應(yīng)及相圖

圖5 齒輪在裂紋生長水平為53%的動響應(yīng)及相圖

3 結(jié)論

本研究主要研究了一級直齒輪副在齒輪裂紋生長的不同階段的時變嚙合剛度的計算，以及建立了具有扭轉(zhuǎn)和橫向振動的六自由度單級齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型，對齒輪裂紋不同生長階段齒輪y 方向的振動響應(yīng)和相圖進行了求解。發(fā)現(xiàn)在齒輪裂紋生長初期（28%裂紋時），故障特征在時域表現(xiàn)尚不明顯；與健康的齒輪振動信號（0%裂紋）相比，除了振動幅值小幅上升外，時域歷程曲線幾乎完全相同，而僅僅在相圖上表現(xiàn)為更加混沌。隨著裂紋生長水平的增加，到齒輪裂紋生長到中后期（53%裂紋），時域信號中出現(xiàn)明顯的由裂紋引起的周期性脈沖；該周期性脈沖隨著裂紋的生長越來越明顯。同時齒根裂紋導(dǎo)致的混沌現(xiàn)象在相圖中表現(xiàn)也更加明顯。