張海江，文家燕*，謝廣明,2，景永年

（1.廣西科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣西 柳州 545616；2.北京大學(xué) 工學(xué)院，北京 100871；3.黑芝麻智能科技有限公司，廣東 深圳 518005）

0 引言

近年來(lái)多智能體的編隊(duì)控制問(wèn)題作為一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。環(huán)形編隊(duì)作為編隊(duì)控制的一個(gè)基準(zhǔn)問(wèn)題而備受學(xué)者關(guān)注。Ⅹu等給出了環(huán)形編隊(duì)的具體定義，并證明了環(huán)形編隊(duì)的可行性。Wang等針對(duì)在環(huán)形編隊(duì)過(guò)程中的智能體排序和碰撞問(wèn)題進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的通信協(xié)議以保證環(huán)形編隊(duì)可實(shí)現(xiàn)。

上述控制方法是假設(shè)系統(tǒng)中智能體之間的通信信道具有足夠大的帶寬或容量。但在實(shí)際系統(tǒng)中，數(shù)字網(wǎng)絡(luò)通信會(huì)受到不同程度的帶寬和容量限制。針對(duì)這一問(wèn)題，F(xiàn)rasca 等提出了基于數(shù)據(jù)量化的通信算法，通過(guò)使用靜態(tài)量化器來(lái)完成智能體之間的信息交換。在此基礎(chǔ)上，Carli等提出了一種動(dòng)態(tài)編解碼量化算法，設(shè)計(jì)了一種基于編碼-解碼器的量化器并在量化器中引入一個(gè)標(biāo)度函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)在有限量化級(jí)別上的一致性。此后，量化算法得到了快速發(fā)展，形成了不少理論成果。Li等設(shè)計(jì)了一種可以對(duì)稱(chēng)補(bǔ)償?shù)牧炕椒ǎㄟ^(guò)調(diào)整量化器自身相應(yīng)參數(shù)，將每個(gè)數(shù)字通道傳輸?shù)谋忍財(cái)?shù)減少到只有1 bit。

在系統(tǒng)實(shí)際工作中，有時(shí)無(wú)需對(duì)系統(tǒng)的控制輸入信息進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，尤其是在某些資源受限的工況下。基于此，Guo 等將事件觸發(fā)機(jī)制引入多智能體系統(tǒng)中，相對(duì)于時(shí)間驅(qū)動(dòng)機(jī)制，這種方法可以有效降低系統(tǒng)的更新頻率，減少不必要的通信資源損耗。事件觸發(fā)機(jī)制也被進(jìn)一步應(yīng)用于一般線性系統(tǒng)、二階系統(tǒng)以及非線性系統(tǒng)中。此外，在實(shí)際物理系統(tǒng)中存在輸入受限的工程約束，這是控制理論面向工程實(shí)現(xiàn)所必然要面對(duì)的問(wèn)題。蔡旭等考慮了多智能體系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中存在的輸入飽和現(xiàn)象，并給出了系統(tǒng)闡述。

綜上可知，在多智能體系統(tǒng)研究中，綜合考慮輸入受限、通信帶寬有限和節(jié)約有限資源消耗等約束在一起的環(huán)形編隊(duì)控制問(wèn)題，仍是一個(gè)熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題。為此，本文針對(duì)一階帶有輸入限制的多智能體動(dòng)力學(xué)模型，圍繞耦合考慮系統(tǒng)資源有限、通信帶寬限制等問(wèn)題，提出基于事件觸發(fā)控制策略和量化通信機(jī)制的控制律，在保證系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)環(huán)形編隊(duì)的前提下，探究對(duì)系統(tǒng)有限資源的節(jié)約和通信所需帶寬的減小。

1 問(wèn)題描述

1.1 代數(shù)圖論

令R、N 和Z分別表示實(shí)數(shù)集、自然數(shù)集和正整數(shù)集。表示矩陣的轉(zhuǎn)置，‖‖表示矩陣的范數(shù)。列向量1∈R，0∈R表示向量?jī)?nèi)所有元素分別等于1和0，為自然數(shù)。

對(duì)于一個(gè)加權(quán)有向圖=(,E,A)，其中={,,…,v}表示節(jié)點(diǎn)集，={1,2,…,}為節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)集。E?×表示邊集，(v,v)∈E表示智能體到智能體的單向通信信道。 A=[a]∈R 為加權(quán)鄰接矩陣，如果a≠0則表示智能體與智能體之間存在相應(yīng)權(quán)重的信息交換，a=0則表示智能體與智能體之間不存在信息交換。矩陣=- A為對(duì)應(yīng)拓?fù)鋱D的Laplace 矩陣，其中矩陣是有向圖的度矩陣（為對(duì)角陣）。

1.2 環(huán)形編隊(duì)問(wèn)題描述

考慮由(≥2)個(gè)智能體組成的系統(tǒng)，每個(gè)智能體都是相互獨(dú)立的個(gè)體。所有智能體的初始位置都隨機(jī)分布在一個(gè)圓上且不發(fā)生重合。規(guī)定每個(gè)智能體只能與其逆時(shí)針?lè)较虻泥従舆M(jìn)行信息交互。

如圖1所示，為了更易于解釋環(huán)形編隊(duì)的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，將按照逆時(shí)針?lè)较驅(qū)λ械闹悄荏w從1到(≥2)進(jìn)行編號(hào)，即()=[(),(),…,x()]，其中（t）表示智能體在時(shí)刻的角度位置狀態(tài)。所有智能體初始位置均滿足如下條件：

圖1 智能體在環(huán)上分布圖

如圖1所示，所有的智能體始終都在固定的圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)，且每個(gè)智能體僅能感知到逆時(shí)針?lè)较蜞従拥男畔?；因此，為不失一般性，作如下定義：

其中，為智能體逆時(shí)針?lè)较蚓o鄰的智能體，為智能體順時(shí)針?lè)较蚓o鄰的智能體。令d表示智能體與其鄰居智能體之間的期望角度間距；因此，期望的環(huán)形編隊(duì)相對(duì)間距可以由式（2）的向量確定：

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮一個(gè)具有輸入限制的個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，其一階動(dòng)力學(xué)模型描述如下：

其中，x()為智能體的當(dāng)前狀態(tài)，u()為智能體的控制輸入。sat(*)為非線性的對(duì)稱(chēng)輸入飽和函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為：

令y∈(0,2π)表示智能體與其逆時(shí)針?lè)较蜞従又g的實(shí)際角度距離，其表達(dá)式如下：

環(huán)形編隊(duì)定義：對(duì)于一個(gè)給定的可容許的期望環(huán)形編隊(duì)，通過(guò)設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議u()=u(y,d)，=1,2,…,，使得在滿足式（1）的初始條件下，系統(tǒng)（3）的解始終收斂到某個(gè)平衡點(diǎn)，且滿足=，即可實(shí)現(xiàn)環(huán)形編隊(duì)。

其中()表示矩陣I-去掉第一行第一列的一個(gè)子矩陣，則有如下關(guān)系成立：

3 基于事件觸發(fā)與量化通信的控制律設(shè)計(jì)

首先，借助環(huán)形編隊(duì)控制問(wèn)題的相關(guān)做法，基于事件觸發(fā)的環(huán)形編隊(duì)控制協(xié)議設(shè)計(jì)如下：

其次，將介紹在有限通信帶寬下，多智能體系統(tǒng)中任意2個(gè)相鄰的智能體間的量化通信的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。對(duì)于每個(gè)智能體，其中∈{1,2,…,}，其對(duì)應(yīng)的基于事件觸發(fā)編碼器φ設(shè)計(jì)如下：

其中：ξ()∈R 為編碼器φ的內(nèi)部狀態(tài)；s()為智能體傳輸給其鄰居的當(dāng)前信息；(-1) ＞0是一個(gè)衰減函數(shù)；q()表示具有有限量化級(jí)數(shù)的均勻量化器，其作用是把智能體當(dāng)前狀態(tài)的偏差值映射為離散的量化器所對(duì)應(yīng)的量化層級(jí)。q()如下所示：

式中：為量化器的量化間隔；≥1 為量化層級(jí)。在每次智能體進(jìn)行信息傳遞時(shí)，其通信信道的傳輸比特?cái)?shù)為log(2+1)比特。此外，在智能體之間進(jìn)行信息交換時(shí)必須保證量化器始終處于不飽和狀態(tài)。

當(dāng)智能體接收到智能體傳遞過(guò)來(lái)的當(dāng)前狀態(tài)信息s()時(shí)，需要通過(guò)對(duì)應(yīng)的解碼器ψ將智能體的狀態(tài)值估計(jì)出來(lái)。解碼器ψ數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

為便于分析，在分布式控制協(xié)議（6）的基礎(chǔ)上，引入中間變量以簡(jiǎn)化后續(xù)的理論證明，其變換如下：

綜上設(shè)計(jì)與分析，聯(lián)合式（11）、編碼器（8）、解碼器（10），對(duì)控制協(xié)議（6）進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以得到基于事件觸發(fā)與量化通信機(jī)制的分布式控制協(xié)議，具體如下：

4 環(huán)形編隊(duì)可實(shí)現(xiàn)性與量化器設(shè)計(jì)合理性分析

4.1 環(huán)形編隊(duì)可實(shí)現(xiàn)性理論證明

證明系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議（12）的作用下，可以實(shí)現(xiàn)期望的環(huán)形編隊(duì)。具體包括2個(gè)方面：一是系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件（7）下是穩(wěn)定的；二是證明系統(tǒng)在前述條件作用下，環(huán)形編隊(duì)可以實(shí)現(xiàn)。具體如下：

將式（12）代入式（3），可以得到如下結(jié)果：

根據(jù)式（13）可以將個(gè)智能的系統(tǒng)模型寫(xiě)成緊湊形式，具體如下：

考慮如下合適的Lyapunov函數(shù)：

沿著時(shí)間變量對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，得到：

令Δ＜0，可以得到如下不等式：

根據(jù)范數(shù)的運(yùn)算法則可以將式（15）改寫(xiě)為：

綜上，證明了系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件（7）和控制協(xié)議（12）下是穩(wěn)定的。根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的定理1 可知，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)≤1 時(shí)，在所給出的控制協(xié)議（12）下，可以實(shí)現(xiàn)任意一個(gè)期望的環(huán)形編隊(duì)。

4.2 量化器設(shè)計(jì)合理性分析

由于量化器一旦出現(xiàn)飽和則無(wú)法確定此時(shí)傳遞的信息是否為智能體的真實(shí)狀態(tài)信息，因此，如何通過(guò)合理設(shè)計(jì)相應(yīng)參數(shù)，保證所設(shè)計(jì)的量化器在任意時(shí)刻都不會(huì)飽和是十分必要的。

則基于量化通信的環(huán)形編隊(duì)可以實(shí)現(xiàn)，且智能體之間進(jìn)行信息交互時(shí)，量化器始終不會(huì)出現(xiàn)飽和。

證明：結(jié)合編碼-解碼器對(duì)表達(dá)式可以得到：

定義矩陣J= Iξ，其中向量為引理1 中矩陣的第一行，則JL= LJ=0 成立。結(jié)合式（18）可得：

為了使證明過(guò)程更加清晰明了，將分2個(gè)步驟來(lái)證明系統(tǒng)工作過(guò)程中所有的量化器不會(huì)飽和：

由式（23）中的結(jié)果可知，當(dāng)=0 時(shí)，系統(tǒng)中所有量化器均不飽和。

2）當(dāng)≥1，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)=0,1,…,，假定如下關(guān)系成立：

在式（26）中，可將復(fù)雜關(guān)系式分三部分進(jìn)行整理，具體如下：

結(jié)合給出的的存在條件以及式（24）與式（30）可得：

根據(jù)式（31）的結(jié)果可知，如果存在（2+1）量化電平數(shù)的量化器滿足式（17）與式（31）的條件時(shí)，那么在系統(tǒng)運(yùn)行的整個(gè)過(guò)程中，所有智能體對(duì)應(yīng)的量化器都不會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。至此，量化器合理性得證。

5 數(shù)值仿真與驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出算法的有效性，本節(jié)將給出基于Matlab的數(shù)值仿真驗(yàn)證?？紤]由6個(gè)智能體組成多智能體系統(tǒng)，智能體初始狀態(tài)為滿足條件（1）的任意位置，智能體之間的期望環(huán)形編隊(duì)的角度差由滿足條件（2）的向量確定，具體如下：

設(shè)定量化器的相關(guān)參數(shù)為=0.05，=10，=0.982 88。仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）連續(xù)時(shí)間觸發(fā)下各智能體的狀態(tài)信息

圖3 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）事件觸發(fā)下各智能體的狀態(tài)信息

通過(guò)觀察圖2 和圖3 中的仿真結(jié)果可知，在系統(tǒng)允許的誤差范圍內(nèi)，事件觸發(fā)控制策略能有效地降低智能體之間的通信頻率，達(dá)到節(jié)省系統(tǒng)有限通信資源的目的。

本文在文獻(xiàn)[16]的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮系統(tǒng)中存在輸入飽和限制，結(jié)果如圖4、圖5所示。對(duì)比圖4 和圖5 可以看出，雖然系統(tǒng)中控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間會(huì)受到輸入飽和限制的影響而增加，但系統(tǒng)中的每個(gè)智能體都能在所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議下使自身狀態(tài)保持在一個(gè)很小的誤差范圍內(nèi)，使得多智能體運(yùn)動(dòng)至期望編隊(duì)位置。

圖4 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）輸入不受限時(shí)各智能體的狀態(tài)信息（詳見(jiàn)文獻(xiàn)[16]）

圖5 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）輸入受限時(shí)各智能體的狀態(tài)信息

文中設(shè)定的量化器量化間隔=0.05。從圖6中可以清晰地看到，在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，各個(gè)智能體的量化器都沒(méi)有出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，證實(shí)了本文所設(shè)計(jì)的量化通信方案可行。

圖6 （網(wǎng)絡(luò)版彩圖）各智能體的量化誤差（β=0.05）

6 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一階帶有輸入飽和限制的多智能體系統(tǒng)事件觸發(fā)量化通信環(huán)形編隊(duì)問(wèn)題，其中智能體與其鄰居之間的通信和狀態(tài)更新由事件觸發(fā)機(jī)制控制。考慮實(shí)際工程中存在輸入飽和、系統(tǒng)資源受限和通信帶寬受限等問(wèn)題，設(shè)計(jì)了帶有輸入飽和的事件觸發(fā)機(jī)制與量化通信方式相結(jié)合的控制策略，在保證任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上所有量化器均不飽和的前提下使系統(tǒng)達(dá)到期望的環(huán)形編隊(duì)。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提出控制策略的有效性。未來(lái)的工作將更加關(guān)注實(shí)際系統(tǒng)中的問(wèn)題，例如將量化通信與輸入飽和限制推廣到一般線性或者異構(gòu)系統(tǒng)中。