郭樹敏，李甘民，徐子豪

（1.韶關學院 數學與統(tǒng)計學院，廣東 韶關 512005； 2.河南理工大學 數學與計算科學學院，河南 焦作 454003）

近十年來，全球時有新型的傳染病出現，對人類的生存和發(fā)展產生了嚴重的影響［1-4］.為了更好地遏制病毒的傳播，常見的應對方法之一就是研制疫苗［5-7］.因此，掌握疫苗接種后傳染病的傳播規(guī)律，對尋找更有效的控制策略具有現實意義.目前已有專家用數學模型來分析其傳播動力學.其中文獻［8］分析了2020年1月29日之前的新型冠狀病毒數據，并估計了每日的有效傳染率，預測了當感染率低于1時，疾病的傳播規(guī)律，以及流行病何時會達到高峰；文獻［9］采用同倫分析變換的方法，研究了新冠疫情的部分病例數據來參數化模型，在卡普托衍生物的框架內建立了系列解.但是這些研究所用的數據已經滯后，而且均未考慮注射疫苗對疫情傳播的影響，根據疫情最新情況建立前瞻性的疫情動態(tài)模型將有助于更好地了解和控制其傳播.

筆者建立并分析了基于隔離和疫苗接種的傳染病的數學模型.主要內容安排如下：第1節(jié)建立模型，第2節(jié)討論模型論平衡點的局部和全局穩(wěn)定性，第3節(jié)用最優(yōu)控制進行分析，最后對結果進行了詳細的分析并給出結論.

1 模型

通過分析近年來出現的新型傳染病的傳播特性和病例特征，可知一旦有新型傳染病出現，人群中除了極少部分人能夠自主產生天然免疫力，大部分人會被病毒感染.且感染病毒后通常不會立即發(fā)病，會有幾天的潛伏期，在此期間染病者也有一定概率會產生免疫力. 而染病者發(fā)病后也未必立即就有染病的癥狀，通常無癥狀狀態(tài)會持續(xù)幾天時間. 注射疫苗可以讓人產生對新型病毒的免疫力，但疫苗也有一定的免疫失敗幾率. 根據新型流行病的傳播特性，結合已發(fā)表關于疫苗注射的傳染病模型的文獻［10］和文獻［11］，筆者構造了一個SEAIVR模型：設S（t）表示易感者的數量，E（t）表示潛伏者的數量，A（t）表示無癥狀感染者的數量，I（t）表示已發(fā)病的染病者的數量，V（t）表示接種疫苗者的數量，R（t）表示移出者的數量基于上述假設，模型中各個參數的含義分別為：δ為人口出生率；π為未接種或未免疫的新生兒；β為接觸率；k為發(fā)病的感染者比無癥狀感染者傳染性增強的比率；ξ為已注射疫苗但并未產生免疫力的比率；v1為易感個體自主產生免疫力的比率；μ為自然死亡率；σ為無癥狀感染者的恢復率；γ為潛伏者轉移為無癥狀感染者的比率；v2為潛伏者的康復率；α為無癥狀感染者發(fā)病的比率；v3為接種個體產生免疫的比率.系

統(tǒng)公式為：

2 模型分析

系統(tǒng)（1）滿足初始條件：S（0）＞0，E（0）＞0，A（0）＞0，I（0）＞0，V（0）＞0，R（0）＞0，系統(tǒng)有無病平衡點X0=（S0，0，0，0，V0，0），其中：.

由文獻［12］可得系統(tǒng)（1）的基本再生數為：

當病毒在人群中傳播時，系統(tǒng)有地方病平衡點X*=（S*，E*，A*，I*，V*，R*），其中：

顯然S*＞0，E*＞0，A*＞0，I*＞0，V*＞0，R*＞0.由于0≤N≤δ/μ，因此A*＞0.而且A*滿足：

其中：m1=γβσ（μ+kα）-β（γ+μ+v2）（μ+kα）（α+μ+σ）＜0，μ（v1+μ）（γ+v2+μ）（α+μ+σ）（ξ+μ+v3）.

當R0＞1且γ＞μ時，系數m2＞0，容易得出定理1.

定理1當R0＞1且γ＞μ時，方程（3）有正根，系統(tǒng)（1）有唯一的地方病平衡點.

筆者接著討論無病平衡點的局部和全局漸近穩(wěn)定性.系統(tǒng)（1）的Jacobian矩陣為：

則在X0對應的特征方程為：

顯然，λ=-μ，λ=-（v1+μ），λ=-（ξ+μ+v3）特征根為負.由Routh-Hurtwiz判據，方程（5）的第四項系數需要滿足a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0，則所得特征值有負實部.通過分析表達式，可得當R0＜1且γ＜μ時，有a3＞0成立，則有：

其中：m=γ+v2+μ，n=μ+α+σ.當R0＜1且γ＜μ時，式（6）為正，特征方程（5）的特征值有負實部，無病平衡點局部漸近穩(wěn)定.下面由文獻［13］的方法分析無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性，系統(tǒng)（1）可寫為：

其中X=（S，V，R），Z=（E，A，I）.X∈R3和Z∈R3分別表示未感染的和已感染的人類數量.無病平衡點表示為Q0=（X0，0），X0=（S0，V0）.

（H1）和（H2）必須滿足條件才能保證全局漸近穩(wěn)定：（H1）：對于=F（X，0）=0，X0是全局漸近穩(wěn)定 的；，其 中B=DZG（X0，0）是M矩 陣（B的非對角元素是非負的），Ω是模型具有生物學意義的區(qū)域.因此，引理1成立：

引理1當模型（1）滿足條件R0＜1，并滿足假設（H1）和（H2），則點Q0=（X0，0）是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2當R0＜1且γ＜μ時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

證當X=（S，V，R），Z=（E，A，I），Q0=（X0，0）其中X0=（S0，V0）.則有：

若S（t）=S0，V（t）=V0，F（X，0）=0，則：.當t→∞，X→X0

時，X0=（S0，V0）是全局漸近穩(wěn)定性.且：

3 最優(yōu)控制分析

將控制變量應用于模型（1）.控制變量u1代表個體的預防意識，u2代表接種，θ代表易感者接種疫苗.目標是減少易感者、潛伏者的總人數，并最大限度地增加康復和接種疫苗的人數.為此，給出了目標函數：

且滿足：

在目標函數（8）中，S（t），E（t），A（t），I（t）是狀態(tài)變量.u1（t），u2（t）表示控制變量.平衡系數為C1，C2，C3和C4，分別用于保持易感者、潛伏者、無癥狀感染者和有癥狀性感染者在目標函數上的平衡，B1和B2分別是控制變量u1和u2的權重約束.目的是找到控制變量，使：

因此控制變量為：Γ=｛J（u1，u2）|u1，u2為可量化的，0≤u1≤1，0≤u2≤1｝.

接下來，通過考慮系統(tǒng)（9）在t=0時具有的初始條件來研究最優(yōu)控制問題的存在性.首先，需要為模型控制模型（9）和（10）找到 Lagrangian L和Hamiltonian H.將控制問題的L定義為：L（S，E，A，I，u1，.為了求Lagrangian的最小值，定義了控制問題H，即：

其中g11，g12，g21，g22為懲罰乘數，C1，C2，C3，C4是伴隨變量.且g11，g12滿足g11（p11-u1）+g12（u1-q11），g21，g22滿足g21（p22-u2）+g22（u2-q22），從而得到最優(yōu)控制問題的定理3和定理4.

定理3在控制系統(tǒng)（9）的初始條件下，最優(yōu)控制滿足：=max｛J（u1，u2）|（u1，u2）∈Γ｝.

證按照文獻［14-15］中給出的方法證明最優(yōu)控制問題的存在.所有的控制和狀態(tài)變量都是非空的.根據定義，控制變量集合u1，u2∈Γ是閉合的和凸的.因此，最優(yōu)控制如果存在必定是緊致的.目標函數（8）中的被積函數是：.其在控制集合Γ下是凸的. 現在使用著名的Pontryagin最大原理來獲得控制系統(tǒng)（9）的最優(yōu)解.設（y，u）表示最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解，則λ=（λ1，…，λn）的非平凡函數存在，滿足條件：

通過將必要條件應用于H，在定理4中給出了伴隨系統(tǒng)和控制特性.

定理4假設S，E，A，I，V，R滿足用狀態(tài)系統(tǒng)的控制變量表示其解，因此存在伴隨變量：，橫截性條件為：λi［Tf］=0，i=1，2，3，4，5，6.且：.

證運用最優(yōu)控制和Hamiltonian得到伴隨方程：

則u1（t），u2（t）的最優(yōu)控制特性為：.

通過分析可知，控制參數達到定理4要求時，可以實現最優(yōu)的控制效果，即在一定的成本和資源的作用下獲得最優(yōu)控制效果，使得一定時間內染病者人數最少的同時，投入最低的成本.

4 結語

本文討論了接種疫苗后的傳染病模型，分析了模型的穩(wěn)定性，以及基本再生數R0.證明了當R0＜1且γ＜μ時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定，即病毒在人類中消失；當R0＞1且γ＞μ時，有唯一的地方病平衡點，即病毒在人類中形成地方病.由R0的表達式，易于觀察出病毒的傳播是由疾病的傳染率決定的.最有效的控制措施就是降低感染者與易感人群之間的傳播率.此外，結果表明提高疫苗接種率也可以有效地控制疾病的傳播.選擇u1，u2為控制變量，其中u1表示個體的預防意識，u2表示疫苗接種.進行了最優(yōu)控制問題的目標函數和存在性控制分析，導出了伴隨系統(tǒng)和最優(yōu)控制特性.

新加坡國立大學的Dickens曾經在國際醫(yī)學期刊《柳葉刀》在線發(fā)表了一篇文章，研究了隔離對新冠疫情傳播的影響［16］.作者以人口規(guī)模400萬的城市為例，假設基本傳染數為2，時間為疫情暴發(fā)最初4個星期.通過模型模擬，與沒有防控措施的相比，家庭隔離可將疫情高峰推遲8天且在高峰期內減少7 100例感染，在整個疫情周期內減少190 000例感染；集中隔離可將疫情高峰推遲18天且在高峰期內減少 18 900例感染，整個疫情周期內減少546 000例感染.由此可以看出，采用隔離措施可以有效減少疾病在家庭和社區(qū)傳播.此外，疫苗接種也有利于疫情防控，根據美國疾控中心官網發(fā)布的數據，2020年12月14日至2021年4月13日，美國已有超過7 500萬人完成了新冠疫苗接種.接種疫苗后，感染新冠且死亡的概率不到百萬分之一（＜0.000 1%），未接種疫苗者感染率約萬分之一（約0.007 75%），總人口中的自然感染率比接種人群中的感染率高了幾個數量級.由于本文研究模型的傳染病傳播特性和病理特征多與新型冠狀病毒一致，例如：感染新型冠狀病毒后會有一段潛伏期，發(fā)病后會有一部人會成為無癥狀感染者，有癥狀的感染者和無癥狀的感染者都會有傳染性，疫苗能夠在一定程度上預防感染等，由此文獻［16］的結論驗證了本文結論的有效性.