尹東亮, 崔國恒, 黃曉穎, 張 歡

(海軍工程大學(xué)作戰(zhàn)運(yùn)籌與規(guī)劃系, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

多屬性決策作為一種常用的決策方法,由于決策人知識(shí)水平等方面的局限和事物本身的模糊性,往往難以用精確值對(duì)事物進(jìn)行評(píng)價(jià)。針對(duì)這一問題,1965年Zadeh首次提出模糊集以對(duì)信息的不確定性進(jìn)行刻畫。Atanassov在其基礎(chǔ)上擴(kuò)展,提出了包含隸屬度、非隸屬度和猶豫度的直覺模糊集(intuitive fuzzy sets, IFS),三者總和為1。但當(dāng)隸屬度、非隸屬度分別由決策人獨(dú)立給出時(shí),由于決策本身的模糊性和事物刻畫的細(xì)致程度不同,可能就會(huì)存在其總和大于1的情況。因此,Yager等提出畢達(dá)哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy set, PFS),隸屬度、非隸屬度的平方和不大于1,拓展了其空間范圍。而隨著決策復(fù)雜性和不確定性不斷提高,決策人可能難以用一個(gè)具體值準(zhǔn)確給出隸屬度或非隸屬度。

針對(duì)該情況,結(jié)合區(qū)間數(shù)的相關(guān)知識(shí),區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集(interval-valued Pythagorean fuzzy set, IVPFS)的概念被提出,可用區(qū)間的形式表示隸屬度或非隸屬度。在多屬性決策領(lǐng)域,文獻(xiàn)[9]基于IVPFS對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)要求和客戶需求進(jìn)行衡量和排序,結(jié)合質(zhì)量功能展開 (quality function deployment，QFD)在太陽能光伏發(fā)電發(fā)展應(yīng)用過程中開展評(píng)估決策;文獻(xiàn)[10]針對(duì)共享電動(dòng)自行車回收供應(yīng)商選擇問題,定義了區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊偏好關(guān)系(interval-valued Pythagorean fuzzy preference relation, IVPFPR)的概念,提出一種考慮信任程度的畢達(dá)哥拉斯模糊決策方法;文獻(xiàn)[11]針對(duì)如何有效分析和提取網(wǎng)絡(luò)評(píng)論中相關(guān)意見,引入IVPFS來表示區(qū)間值,提出了一種結(jié)合特征-意見IVPFS的產(chǎn)品排序方法;文獻(xiàn)[12-14]利用IVPFS中隸屬度、非隸屬度的相關(guān)測(cè)度,分別對(duì)無人駕駛汽車風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、可持續(xù)供應(yīng)商選擇以及高技術(shù)項(xiàng)目組合評(píng)價(jià)等問題開展了決策分析和研究。

以往研究中,一般都假設(shè)決策人是完全理性的,未考慮其偏好習(xí)慣等因素對(duì)決策的影響;同時(shí)區(qū)間值之間難以精確比較,給決策帶來不便。前景理論針對(duì)決策人面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)“有限理性”的心理狀態(tài),以前景價(jià)值函數(shù)的形式來體現(xiàn)決策人由于損益表現(xiàn)出的主觀感受價(jià)值,在多屬性決策中應(yīng)用廣泛;得分函數(shù)可以將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為精確單一數(shù)值,便于對(duì)比決策。文獻(xiàn)[20]針對(duì)PFS現(xiàn)有得分函數(shù)的不足,定義了一種新得分函數(shù),提出了基于新得分函數(shù)和累積前景理論的畢達(dá)哥拉斯模糊熵權(quán)逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS);文獻(xiàn)[21-22]針對(duì)IVPFS環(huán)境,利用得分函數(shù)進(jìn)行排序優(yōu)選開展了多屬性決策工作。

從相關(guān)研究可以看出,得分函數(shù)雖然便于對(duì)比,但并未考慮猶豫度對(duì)決策的影響,一般決策人希望最優(yōu)決策的猶豫度越小越好,同時(shí)猶豫度往往會(huì)偏向于受支持程度較大的方案,這都會(huì)對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

綜上,本文針對(duì)得分函數(shù)未體現(xiàn)猶豫度的問題,提出了改進(jìn)后的新得分函數(shù),涵蓋猶豫度對(duì)決策的兩方面影響,并證明了其相關(guān)定理和性質(zhì),同時(shí)引入前景理論描述決策人的主觀感受對(duì)決策的影響,在區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下,基于TOPSIS法,假設(shè)決策屬性的權(quán)重已知,利用前景價(jià)值函數(shù)得出正負(fù)理想方案的新得分函數(shù)值,對(duì)不同備選方案和理想方案的得分函數(shù)貼近度進(jìn)行分析,得出各方案的綜合損益值和損益比,對(duì)損益比進(jìn)行排序,確定最優(yōu)決策結(jié)論。最后,利用算例對(duì)本文改進(jìn)方法進(jìn)行正確性和有效性驗(yàn)證,并與以往其他方法對(duì)比分析,證明該方法的優(yōu)越性。

1 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)為一個(gè)論域,則該論域中的一個(gè)PFS可表示為

={〈,(),()〉|∈}

(1)

一個(gè)PFS的某一元素((),())稱為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)(Pythagorean fuzzy numbers, PFN),也可表示為=(,)。

(2)

1979年,Kahneman和Tversky提出了前景理論,定義前景價(jià)值由價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)確定。1992年,兩人又提出價(jià)值函數(shù)的定義如下:

16令表示某一參考點(diǎn),數(shù)偏離的大小為Δ,則Δ≥0表示相對(duì)于獲得收益,Δ≤0表示相對(duì)于有所損失,設(shè)置的價(jià)值函數(shù)為

(3)

式中:>0,表示決策人對(duì)收益的敏感度;<1,表示決策人對(duì)損失的敏感度;>1,表示相對(duì)于收益,一般對(duì)損失更敏感。

2 區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊得分函數(shù)

2.1 現(xiàn)有得分函數(shù)分析

(4)

由于該得分函數(shù)在某些情況下難以區(qū)分IVPFN的大小,Zhang提出了精確函數(shù)的定義：

(5)

在現(xiàn)有得分函數(shù)和精確函數(shù)計(jì)算都存在一定特例難以區(qū)分IVPFN大小的情況下,Garg提出了現(xiàn)有方法并沒有考慮區(qū)間猶豫度對(duì)IVPFN大小的影響,將區(qū)間猶豫度引入了精確函數(shù)中,定義了考慮區(qū)間猶豫度的精確函數(shù):

(6)

該函數(shù)中猶豫度越小,精確函數(shù)越大,體現(xiàn)了不論受支持或反對(duì)的事件必定期望其猶豫度越小越好。而在實(shí)際決策中,猶豫度一般受到隸屬度和非隸屬度的影響。隸屬度占比越大,說明該事件受支持的概率更大,則猶豫度往往會(huì)偏向于支持,對(duì)隸屬度存在一定的激勵(lì)作用,反之亦然。式(6)這種判斷方法并未考慮這一影響,故在一定條件下會(huì)存在與常理相悖的情況。

2.2 改進(jìn)得分函數(shù)

通過對(duì)上述得分函數(shù)和精確函數(shù)的分析,現(xiàn)有研究主要存在以下不足:① 計(jì)算步驟多,遇到特殊情況,一般要通過3次計(jì)算判斷才能區(qū)分IVPFN的大小;② 由于式(4)～式(6)都是通過平方計(jì)算對(duì)值進(jìn)行比較的,一定程度上數(shù)值通過平方后會(huì)被壓縮而偏小,值比較時(shí)差距也更接近,故依然存在一定的特殊情況無法區(qū)分;③ 式(6) 僅體現(xiàn)了受支持的事件必定期望其猶豫度越小越好,并未體現(xiàn)出猶豫度對(duì)隸屬度或非隸屬度的激勵(lì)或懲罰作用。

為解決這一問題,本文提出一種改進(jìn)后的新得分函數(shù),既涵蓋現(xiàn)有得分函數(shù)和精確函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),又彌補(bǔ)其不足。

(7)

整體來看,改進(jìn)后的新得分函數(shù)僅需要1步計(jì)算即可判斷IVPFN的大小,不需要兩次比較,也考慮了決策人一般都希望決策事件的猶豫度越小越好的心態(tài)和猶豫者的從眾心理,解決了上述現(xiàn)有得分函數(shù)的問題。下面對(duì)改進(jìn)后的得分函數(shù)相關(guān)性質(zhì)和定理進(jìn)行證明,以驗(yàn)證該函數(shù)的正確性。

(8)

證畢

證畢

藝體類術(shù)課與技能技巧課程：不斷加大學(xué)生自學(xué)自訓(xùn)的任務(wù)與要求，以獲得核心技能技巧或技能技巧的核心環(huán)節(jié)在技能技巧形成過程中的遷移能力并進(jìn)行自學(xué)自訓(xùn)為主要目標(biāo)。

證畢

3 基于前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法

根據(jù)本文提出的改進(jìn)后新得分函數(shù)的相關(guān)定義和性質(zhì),可將IVPFN轉(zhuǎn)換為改進(jìn)后的得分函數(shù),從而開展決策工作。而區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策一般都是假設(shè)決策人完全理性的,但在實(shí)際決策中,人是有一定的主觀判斷和非理性心理的,尤其是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好所造成的得失心理對(duì)決策影響較大。因此,依據(jù)本文提出的新得分函數(shù),利用前景理論考慮決策人的主觀感受,提出了基于改進(jìn)得分函數(shù)和前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法,具體描述如下。

(9)

(10)

確定正理想方案和負(fù)理想方案相對(duì)應(yīng)的得分函數(shù)集()、()。由于得分函數(shù)已將區(qū)間模糊數(shù)精確化,且具有一定的單調(diào)性,故不需要再對(duì)效益型屬性和成本型屬性進(jìn)行區(qū)分,可直接得出()、()如下:

令Δ表示各個(gè)備選方案與正理想方案得分函數(shù)集()的貼合矩陣如下:

(11)

由于各備選方案相對(duì)于正理想方案的貼合度表示損失值,相對(duì)于負(fù)理想方案的貼合度表示收益值,則根據(jù)前景理論價(jià)值函數(shù)的定義,結(jié)合各屬性權(quán)重由式(3)可得各備選方案的綜合損失值()和綜合收益值() 如下:

(12)

(13)

由文獻(xiàn)[16]可知,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù),一般取==088、=225。

4 算例分析

算例分為兩部分:① 以校企間研發(fā)項(xiàng)目合作為對(duì)象,利用本文方法對(duì)備選研發(fā)項(xiàng)目進(jìn)行多屬性決策,得出項(xiàng)目排序以供校企合作參考,驗(yàn)證本文方法的正確性和適用性;② 以上述數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),將本文方法與基于原得分函數(shù)的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法,即式(4)相對(duì)比,驗(yàn)證本文方法的有效性。

4.1 多屬性決策應(yīng)用

為進(jìn)一步促進(jìn)科研成果轉(zhuǎn)化,加強(qiáng)校企合作,某高校和企業(yè)之間計(jì)劃開展一系列研發(fā)項(xiàng)目,現(xiàn)有4個(gè)備選研發(fā)項(xiàng)目={,,,},依據(jù)5個(gè)決策屬性戰(zhàn)略、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、資源、風(fēng)險(xiǎn)開展多屬性決策,屬性權(quán)重已知且相等,均為02。

首先,以區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯數(shù)給出各備選研發(fā)項(xiàng)目在各屬性下評(píng)價(jià)信息,如表1所示。

表1 備選研發(fā)項(xiàng)目在各屬性下的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯數(shù)評(píng)價(jià)信息Table 1 Evaluation information of interval Pythagorean number under each attribute of candidate research and development projects

再次,確定正負(fù)理想研發(fā)項(xiàng)目的得分函數(shù)集()=(1860,0228,1295,1045,0334)、()=(-1846,-1686,-0769,-1417,-1846),繼而由式(11)得出貼合矩陣Δ、Δ,根據(jù)式(12)和式(13)得出各備選項(xiàng)目的綜合損益值和綜合損益比如表2所示。

表2 備選研發(fā)項(xiàng)目綜合損益值Table 2 Comprehensive profit and loss value of alternative research and development projects

最后,根據(jù)綜合損益比對(duì)各備選項(xiàng)目進(jìn)行排序,順序?yàn)?>>,最佳項(xiàng)目為。根據(jù)結(jié)果進(jìn)行分析,可以看出本文方法能有效區(qū)分各備選研發(fā)項(xiàng)目,得出其中比較具有優(yōu)勢(shì)的項(xiàng)目,差異度明顯,驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。

4.2 得分函數(shù)改進(jìn)前后對(duì)比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性,采用第4.1節(jié)原數(shù)據(jù),基于原得分函數(shù)式(4),以第3節(jié)方法為依據(jù)開展多屬性決策得出各備選項(xiàng)目綜合損益值和綜合損益比,如表3所示。

表3 基于原得分函數(shù)的備選研發(fā)項(xiàng)目綜合損益值Table 3 Comprehensive profit and loss value of the candidate research and development projects based on the original score function

根據(jù)綜合損益比,同樣得出排序?yàn)?>>,最佳項(xiàng)目為,與本文方法一致。對(duì)兩種方法所得綜合損益比進(jìn)行分析,如圖1所示。

圖1 得分函數(shù)改進(jìn)前后綜合損益比對(duì)比圖Fig.1 Comparison chart of comprehensive profit-loss ratio before and after score function improvement

對(duì)圖1進(jìn)行分析可以看出,雖然兩種方法所得項(xiàng)目排序一致,但基于原得分函數(shù)的計(jì)算方法所得各項(xiàng)目綜合損益比值之間的差距較小,難以確定最佳項(xiàng)目。在特定情況下,可能會(huì)存在各項(xiàng)目綜合損益比難以區(qū)分的問題。而本文方法最佳項(xiàng)目的區(qū)分度較為明顯,綜合損益比遠(yuǎn)大于其他備選項(xiàng)目,具有較高的有效性。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)多屬性決策過程一般未考慮決策人偏好習(xí)慣的問題,在區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下引入前景理論,為解決現(xiàn)有得分函數(shù)忽略區(qū)間猶豫度對(duì)決策影響的情況,對(duì)得分函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),在假設(shè)決策權(quán)重已知的前提下,提出了基于改進(jìn)得分函數(shù)和前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法。

與以往研究相比,本文研究的主要?jiǎng)?chuàng)新之處為:① 針對(duì)現(xiàn)得分函數(shù)的不足,考慮區(qū)間猶豫度對(duì)多屬性決策的影響,提出了一種改進(jìn)后的新得分函數(shù),并證明了相關(guān)定理和性質(zhì);② 針對(duì)以往決策中假設(shè)決策人一般都是完全理性的,引入前景理論價(jià)值函數(shù)來體現(xiàn)決策人由于損益表現(xiàn)出的主觀感受價(jià)值;③ 借鑒TOPSIS法,優(yōu)化多屬性決策流程,利用綜合損益比來進(jìn)行方案排序優(yōu)選,更符合實(shí)際決策過程。