段韻達， 胡恒山

哈爾濱工業(yè)大學航天科學與力學系， 哈爾濱 150001

0 引言

地下和海底巖石都是孔隙介質.孔隙流體中存在的凈剩電荷形成擴散層，而相應異號電荷在固體壁面形成吸附層(Stern，1924)，地震波經過孔隙介質時擴散層相對吸附層運動從而引起電磁波的現(xiàn)象即震電效應(Haines et al.，2007).在孔隙介質的震電耦合波理論建立前，Biot(1956a,b, 1962)導出了孔隙介質中聲波的控制方程組(Biot方程組)，揭示了孔隙介質中存在三類彈性波：快縱波、慢縱波和橫波.Pride(1994)利用體積平均法導出了描述孔隙介質震電效應的彈性波-電磁波耦合的方程組(下文稱之為Pride方程組).當動電耦合系數(shù)等于零時，Pride方程組解耦為關于孔隙介質彈性波的Biot方程組和關于電磁場的麥克斯韋方程組.Pride和Haartsen(1996)在無限大介質中求解了Pride方程組，揭示出孔隙介質中存在四種體波，分別是電磁波、快縱波、慢縱波和橫波，每一種體波均引起電場、固相位移和滲流位移.特別的，快縱波、慢縱波引起電場，而橫波引起磁場和微弱的電場.

震電耦合效應受到了地球物理界的關注.Zhu等(1999)提出震電測井的方法，即充流體井孔中聲源激發(fā)聲場，在井軸上接收來自孔隙地層的反射電磁場.胡恒山和王克協(xié)(1999)推導了孔隙地層包圍的充流體井孔中點聲源引起的井內、外震電波場表達式，并對井內震電波場的進行了數(shù)值計算(胡恒山和王克協(xié)，2000)，結果表明伴隨聲波傳播的電場中縱波的電聲比最大，斯通利波次之，橫波最小.Wang等(2015)在實驗室的模型井中測量了震電信號，結果表明他們所測的電聲比與胡恒山和王克協(xié)(2000)一致，并且震電波場比聲場對滲透率和孔隙度更為敏感，從而震電測井方法有望用于探測儲層滲透率和孔隙度.除了井孔模型中的震電波場，水平分層模型中的震電波場也受到許多學者的關注.Haartsen和Pride(1997)推導了爆炸源在水平分層孔隙地層中引起的震電波場，計算結果表明來自界面的輻射電磁場的幅度隨著遠離界面迅速減小，因而測量輻射電磁場的儀器不應布置在遠離界面地方.Garambois和Dietrich(2002)數(shù)值計算了地震波通過水平分層孔隙地層時引起的界面電磁波場，結果表明界面電磁波主要對界面的孔隙度、滲透率、流體電導率和流體黏度的差異敏感.Haines和Pride(2006)通過有限差分方法數(shù)值模擬了地震波通過水平分層孔隙地層時引起的界面電磁波場，結果表明當?shù)貙雍穸刃∮诘卣鸩ㄩL的二十分之一時，薄層引起的界面電磁波明顯強于單個地層界面引起的界面電磁波.Haines等(2007)針對水平分層孔隙地層，進行了離線幾何測量(源與接收器陣列不共線，相當于井間測量)和共線幾何測量(源與接收器陣列共線，相當于地震勘探測量)的模型實驗，并與有限差分的模擬結果進行了比較，結果表明離線幾何測量更有利于分離界面電磁波和同震電磁場.天然地震時，可能由于巖石動電效應引起同震電磁信號，Gao和Hu(2010)推導出了地震雙力偶點源引起的電磁場；Hu和Gao(2011)模擬了豎直走滑斷層的電磁響應.

流體-孔隙介質界面是海洋地震勘探領域中常見的介質界面.Gao等(2017a)研究了流體中爆炸源對流體-海底界面的震電響應，導出了流體和海底介質中震電波場的表達式，數(shù)值計算表明氣槍震源引起的震電響應的量級達到了儀器可測的程度，從而震電效應有望用來勘探海底儲層.由于球面波可以展開為平面波(Aki and Richards，2002)，所以平面波入射流體-孔隙介質界面的震電響應模型有著重要的實際意義.Stoll和Kan(1981)基于Biot方程組和邊界連續(xù)條件，導出了流體中的聲反射系數(shù)和固體中的聲透射系數(shù)，其中固體中的三類彈性波(快縱波、慢縱波和橫波)都是非均勻平面聲波.崔志文等(2002)簡要介紹了流體-孔隙介質界面上的折、反射問題的研究情況.崔志文等(2004)研究了流體飽和孔隙介質中非均勻平面聲波的能量特征，給出了Biot孔隙介質中的能流表達式，數(shù)值研究了界面上的干涉能流特征.崔志文等(2011)進一步研究了流體飽和孔隙介質中非均勻震電平面波的能流特征，導出了非均勻震電平面波的能流表達式，討論了非均勻震電平面波的能量特征.Schakel和Smeulders(2010)基于全耦合的Pride方程和邊界條件導出了流體-孔隙介質界面的震電反射和透射系數(shù)，并討論了震電反射和透射系數(shù)對地層參數(shù)的敏感性.然而，他們給出的震電反射和透射系數(shù)是通過數(shù)值求解彈性波-電磁波耦合的6×6線性方程組獲得的，從該方程組中難以看出震電反射和透射系數(shù)與孔隙介質中三類彈性體波的物理聯(lián)系和數(shù)值關系.特別的，接收器一般布置在流體中，如果反射電磁波與孔隙介質中三類彈性體波的物理聯(lián)系能夠直接體現(xiàn)在震電反射系數(shù)中，則地下和海底儲層的參數(shù)反演就有了清晰的思路.因此，本文推導流體-孔隙介質界面的震電反射系數(shù)和透射系數(shù)的簡化表達式，以便實現(xiàn)震電波場的簡化計算并為儲層參數(shù)反演提供思路.

1 震電反射和透射系數(shù)的推導及化簡

圖1 流體中平面聲波入射引起的反射波和透射波示意圖Fig.1 Schematic diagram of reflected and transmitted waves caused by a plane acoustic-wave from fluid

本文考慮的平面波入射平面界面模型中，入射波、反射波和透射波既可是均勻平面波，也可是非均勻平面波，這樣不僅能描述均勻平面波入射平面界面的情況，而且能描述球面波入射平面界面的情況(球面波可以展開為均勻平面波和非均勻平面波).對于均勻平面波入射而言，入射角是實數(shù)，對于非均勻平面波入射而言，入射角是復數(shù).圖1是流體中平面聲波入射引起的反射波和透射波示意圖，其中e和em分別表示流體中的反射電磁波和孔隙介質中的透射電磁波，p1、p2和sv分別表示孔隙介質中快縱波、慢縱波和橫波.

1.1 Block的震電反射和透射電磁波的電場式

在推導震電反射和透射系數(shù)前，我們先簡要介紹前人給出的震電反射和透射電磁波的電場式.Block(2004)忽略轉換電場對聲場的影響，利用解耦的Pride方程組和電磁邊界條件，導出了平面波從流體入射孔隙介質界面的震電反射和透射電磁波的電場表達式(為了便于推導，省略了時間簡諧因子exp(-iωt))：

×exp[ike(xsinθe-zcosθe)]，

(1)

×exp[ikem(xsinθem+zcosθem)]，

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中η、L和κ分別為黏滯系數(shù)、動電耦合系數(shù)和滲透率，θp1、θp2和θsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的透射角，wp1、wp2和wsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移的幅度系數(shù)(即滲流位移中除去方向向量和簡諧因子部分)，ks表示孔隙介質中的橫波波數(shù).我們注意到，Block(2004)文中式(4.48b)分子中的θe應寫為θem，這里的式(6)中已更正.

1.2 震電反射系數(shù)

本小節(jié)將利用震電反射系數(shù)的定義式和Block給出的反射電磁波的電場式，先推導震電反射系數(shù)，然后基于一定的前提條件，將其化簡為簡化表達式.

1.2.1 震電反射系數(shù)的推導

流體中反射電磁波的電場可以寫為：

(8)

其中：

ψe=Aeexp[ike(xsinθe-zcosθe)]，

(9)

這里的ψe是與反射電磁波的電場有關的矢量勢，在本文中簡稱其為“反射電磁波的電勢”，但物理意義并不是靜電場中的電勢.

震電反射系數(shù)定義為反射電磁波的電勢與入射聲波的位移勢在界面入射點處的比值：

(10)

其中ψe為流體中反射電磁波的電勢，φf為流體中入射聲波的位移勢，z=0表示入射點位于界面z=0上.

將式(1)和式(9)代入式(8)可得：

(11)

將式(9)、(11)、(3)代入式(10)可得：

(12)

再將式(5)和式(6)代入式(12)得：

(13)

(14)

(15)

(16)

其中φp1、φp2和ψsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的位移勢函數(shù)，αp1、αp2和αs分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移與固相位移之幅度比(Pride and Haartsen，1996；胡恒山，2000)，Tp1、Tp2和Tsv分別為快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù).

將式(14)—(16)代入式(13)得震電反射系數(shù)：

(17)

式(17)中聲波與電磁波的物理參數(shù)是解耦的，在給定介質參數(shù)和入射角且已知三類彈性體波的透射系數(shù)時，由式(17)就能直接計算出震電反射系數(shù).式(17)中快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù)可通過Biot方程組和聲場邊界條件求解(見附錄A).由于Block給出的反射電磁波的電場式是在轉換電場對聲場的影響可忽略的條件下導出的，所以式(17)成立的條件是：彈性波引起的電磁場對彈性波本身傳播的影響可以忽略，而這種影響在地球物理問題中都是可忽略的(Hu and Liu，2002；Haines and Pride, 2006；Guan et al., 2018)，因此式(17)適用于地球物理問題.數(shù)值計算表明式(17)與Schakel和Smeulders(2010)給出的震電反射系數(shù)一致(即式(17)對于所有入射角都成立)，但式(17)比Schakel和Smeulders(2010)給出的震電反射系數(shù)要明確得多，因為他們的方法必須求解彈性波與電磁波耦合的6×6線性方程組，難以從中看出孔隙地層中三類彈性波引起反射電磁波的物理因素.因式(17)中含有透射角、反射角以及快縱波、慢縱波、橫波和電磁波的波數(shù)，形式仍不夠簡潔，所以我們將對震電反射系數(shù)式(17)進步一步化簡.

1.2.2 震電反射系數(shù)的簡化表達式

在化簡震電反射系數(shù)式(17)前，還需引入一定的前提條件.從電磁波數(shù)遠小于聲波波數(shù)的角度考慮，假定電磁波數(shù)也遠小于界面的切向波數(shù)，即：

|ke|?kr, |kem|?kr，

(18)

其中kr為界面的切向波數(shù)(式(17)在直接坐標系和圓柱坐標系下的表達相同，但使用圓柱坐標系更便于描述任意方向入射的平面波，所以這里把切向波數(shù)寫為了kr，下標r的含義是任意徑向方向，且r軸位于oxy面內)，kr可寫為(Brekhovskikh，1960)：

kr=ksinθ，

(19)

(20)

式(17)中的三角函數(shù)可以寫為：

(21)

(22)

其中kp1、kp2和ks分別為孔隙介質中快縱波、慢縱波和橫波的波數(shù).將前提條件式(18)代入式(22)得：

(23)

將式(21)和式(23)代入式(17)得：

(24)

將|kem|?ks和|kem|?kr代入式(24)得：

(25)

×[iαsTsv-(αp1Tp1+αp2Tp2)]，

(26)

其中σ、σf、ε和εf分別為孔隙介質的電導率、流體的電導率、孔隙介質的介電常數(shù)和流體的介電常數(shù).由(26)可知，快縱波、慢縱波和橫波都對震電反射系數(shù)有貢獻，并且貢獻形式都是透射系數(shù)與固-滲位移比的乘積，而動電耦合系數(shù)、電導率和滲透率以乘積形式作為一個整體出現(xiàn)在震電反射系數(shù)中.式(26)形式簡潔，明確表達了孔隙地層中三類彈性波引起反射電磁波的物理因素，這為儲層動電耦合系數(shù)、電導率和滲透率的反演提供了思路.

1.3 震電透射系數(shù)

1.3.1 震電透射系數(shù)的的推導

透射電勢波的電場可以寫為：

(27)

其中：

ψem=Aemexp[ikem(xsinθem+zcosθem)]，

(28)

這里的ψem是與透射電磁波的電場有關的矢量勢，在本文中簡稱其為“透射電磁波的電勢”，但物理意義并不是靜電場中的電勢.

震電透射系數(shù)定義為：

(29)

(30)

將式(2)和式(28)代入式(27)得：

(31)

將式(28)、(31)、(4)代入式(29)得：

(32)

再將式(5)和式(7)代入式(32)得：

(33)

將式(14)—(16)代入式(33)得震電透射系數(shù)：

(34)

式(34)中聲波與電磁波的物理參數(shù)是解耦的，在給定介質參數(shù)和入射角且已知三類彈性體波的透射系數(shù)時，由式(34)就能直接計算出震電透射系數(shù).由于Block給出的透射電磁波的電場式是在轉換電場對聲場的影響可忽略的條件下導出的，所以式(34)成立的條件是：彈性波引起的電磁場對彈性波本身傳播的影響可以忽略，而這種影響在地球物理問題中都是可忽略的(Hu and Liu，2002；Haines and Pride, 2006；Guan et al., 2018)，因此式(34)適用于地球物理問題.數(shù)值計算表明式(34)與Schakel和Smeulders(2010)給出的震電透射系數(shù)一致(即式(34)對于所有入射角都成立)，但式(34)比Schakel和Smeulders(2010)給出的震電透射系數(shù)要明確得多，因為他們的方法必須求解彈性波與電磁波耦合的6×6線性方程組，難以從中看出孔隙地層中三類彈性波引起透射電磁波的物理因素.

1.3.2 震電透射系數(shù)的簡化表達式

將式(21)和式(23)代入式(34)得：

(35)

將|kem|?ks和|ke|?kr代入式(35)得：

(36)

(37)

可見，震電透射系數(shù)的簡化式(37)與震電反射系數(shù)的簡化式(26)有相似之處，即快縱波、慢縱波和橫波都對Tem有貢獻，并以透射系數(shù)與固-滲位移比的乘積形式出現(xiàn).

2 算例檢驗

圖2 10 Hz下和Re隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Re的幅度比較； (b) 和Re的相位角比較.Fig.2 Variation of and Re as a function of the sine of the incidence angle under f=10 Hz(a) Comparison of the amplitudes of and Re； (b) Comparison of the phase angles of and Re.

圖3 10 Hz下和Tem隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Tem的幅度比較； (b) 和Tem的相位角比較.Fig.3 Variation of and Tem as a function of the sine of the incidence angle under f=10 Hz(a) Comparison of the amplitudes of and Tem； (b) Comparison of the phase angles of and Tem.

圖4 10 kHz下和Re隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Re的幅度比較； (b) 和Re的相位角比較.Fig.4 Variation of and Re as a function of the sine of the incidence angle under f=10 kHz(a) Comparison of the amplitudes of and Re；(b)Comparison of the phase angles of and Re.

圖5 10 kHz下和Tem隨入射角的正弦的變化規(guī)律(a) 和Tem的幅度比較； (b) 和Tem的相位角比較.Fig.5 Variation of and Tem as a function of the sine of the incidence angle under f=10 kHz(a) Comparison of the amplitudes of and Tem； (b) Comparison of the phase angles of and Tem.

簡化式Re和Tem成立的入射角范圍由前提條件式(18)的使用范圍確定，而式(18)與式(20)等價，所以臨界入射角為θc也可通過式(20)給出，而式(20)可改寫為：

θ?θc_e,θ?θc_em，

(38)

其中θc_e和θc_em分別為反射電磁波和透射電磁波的臨界角，分別寫為：

(39)

其中c為流體中聲波速度，μ為真空磁導率(流體和孔隙介質中的磁導率一般都近似為真空磁導率).由式(38)知，θc也應遠大于θc_e和θc_em，從而θc可寫為：

θc=n·max{θc_e,θc_em}，

(40)

值得一提的是，我們利用準靜態(tài)電磁近似法(Hu and Liu，2002；Sava and Revil，2012；Gao et al.，2017b；Guan et al., 2018)也導出了簡化表達式(26)和式(37)，但準靜態(tài)電磁近似法無法定量解釋為什么當入射角不是極其小時式(26)和式(37)才成立，因此本文未給出用準靜態(tài)電磁近似法推導式(26)和式(37)的過程.本文方法包含兩條前提假設，其一忽略轉換電場對聲場的影響(見前文對Block公式的介紹)，其二是前提條件式(18)，其含義是將電磁波視為倏逝電磁波(見式(18)到式(23)的分析)；準靜態(tài)電磁近似法也包含兩條前提假設，其一是忽略轉換電場對聲場的影響，其二是電磁波長遠大于源距(源到接收器的距離)；可見本文方法與準靜態(tài)電磁近似法只有一處不同，但這種不同只是表象，其實質上是相通的.因為倏逝波不可能在遠離界面處存在，并且電磁波在水和固體中也不能傳播很遠，所以倏逝電磁波對應的源距不能太大，而這也就意味著源距不能大于電磁波長，因此本文方法與準靜態(tài)電磁法物理含義相通，所以兩種方法都可以導出簡化式(26)和式(37).由于電磁波長遠大于源距時準靜態(tài)電磁近似法適用于震電測井和海洋地震勘探(Gao et al.，2017b；Guan et al., 2018)，而本文方法與準靜態(tài)電磁近似法相通，所以電磁波長遠大于源距時簡化式(26)和式(37)也適用于震電測井和海洋地震勘探.

我以海洋震電模型為例說明簡化式(26)和式(37)的用法，理論模型是球面波入射平面界面，將球面波展開為無窮多個均勻平面波和非均勻平面波(Aki and Richards，2002)，其中的非均勻平面波即倏逝波.當平面聲波的入射角小于電磁波臨界角時，引起均勻平面電磁波(包括反射和透射)，當平面聲波的入射角大于電磁波臨界角時，引起倏逝平面電磁波(傳播方向與界面平行，幅度在垂直界面方向上隨著離開界面的距離按指數(shù)規(guī)律下降).將因子i/kr分別乘以式(26)和式(37)可得反射和透射平面波表達式中的反射和透射系數(shù)(詳見Aki和Richards(2002)中的BOX6.6).因簡化式(26)和式(37)只能描述倏逝電磁波的反射和透射系數(shù)，所以均勻平面電磁波對全波的貢獻被忽略了.當電磁波長遠大于源距時，這種忽略是可行的，因為本文的方法與全耦合法的計算結果一致(全耦合法指基于完整Pride方程計算球面波入射流體-孔隙介質界面時引起的反射和透射電磁波場，見Gao等(2017a)).然而，當電磁波長小于源距或與源距在一個量級時，倏逝平面電磁波衰減嚴重，而均勻平面電磁波的貢獻不可忽略，則可用式(17)和式(34)描述均勻平面電磁波的反射和透射系數(shù)(式(17)和式(34)對于極其小的入射角也成立).

3 孔隙介質中三類體波對震電反射和透射系數(shù)的影響

本節(jié)將研究孔隙介質中快縱波、慢縱波和橫波對震電反射和透射系數(shù)的影響，以便為儲層參數(shù)反演提供一定的思路.

3.1 滲流位移勢與震電反射和透射系數(shù)的關系

注意到震電反射和透射系數(shù)的簡化表達式(26)和式(37)中與快縱波、慢縱波和橫波有關的量是以αiTi的形式出現(xiàn)(i=p1,p2,sv)，所以接下來將對αiTi進行處理.以αp1Tp1為例，αp1是快縱波的滲流位移勢與固相位移勢的比值(Pride and Haartsen，1996；胡恒山，2000)，有：

(41)

其中：

(42)

其中φw_p1為快縱波的滲流位移勢，Aw_p1和Ap1分別為快縱波的滲流位移勢和固相位移勢的幅值系數(shù).

快縱波的透射系數(shù)Tp1為：

(43)

其中φf為流體中入射聲波的位移勢，有φf=Afexp[ik(xsinθ+zcosθ)]，其中Af為入射聲波的位移勢的幅值系數(shù).由界面處切向波數(shù)相等得kr=ksinθ=kp1sinθp1，將該式和式(42)代入式(43)得：

(44)

由式(41)、(42)和(44)得：

(45)

式(45)的形式也適用于慢縱波和橫波，則式(26)和式(37)可分別改寫為：

×(Aw_p1+Aw_p1-iAw_sv)，

(46)

(47)

3.2 滲流位移勢對震電反射和透射系數(shù)的影響

本小節(jié)將通過算例研究快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對Re和Tem的影響.將式(46)寫為Re=Re_p1+Re_p2+Re_sv，其中Re_p1、Re_p2和Re_sv分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對Re的貢獻；將式(47)寫為Tem=Tem_p1+Tem_p2+Tem_sv，其中Tem_p1、Tem_p2和Tem_sv分別為快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對Tem的貢獻.

圖6比較了10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Re|的貢獻，其中圖6a比較了|Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|，圖6b比較了|Re_p2+Re_sv|和|Re|.圖6a表明當sinθ<1.25時，慢縱波的滲流位移勢對|Re|的貢獻最大，而sinθ>1.3時，橫波的滲流位移勢對|Re|的貢獻最大；圖6b表明快縱波的滲流位移勢對|Re|的貢獻可以忽略.圖7比較了10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻，其中圖7a比較了|Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|，圖7b比較了|Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|.圖7a表明當sinθ<1.25時，慢縱波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻最大，而sinθ>1.38時，橫波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻超過慢縱波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻；圖7b表明快縱波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻可以忽略.綜上可知，在地震頻率下(例如f=10 Hz)，快縱波的滲流位移勢對震電反射和透射系數(shù)的影響可忽略，而這一現(xiàn)象未見前人報道.

圖6 10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Re|的貢獻(a) |Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|的比較； (b) |Re_p2+Re_sv|和|Re|的比較.Fig.6 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Re| under f=10 Hz(a) Comparisons of |Re_p1|, |Re_p2|, |Re_sv| and |Re|； (b) Comparison of |Re_p2+Re_sv| and |Re|.

圖8比較了10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Re|的貢獻，其中圖8a比較了|Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|，圖8b比較了|Re_p2+Re_sv|和|Re|.圖8a表明當sinθ<1.25時，慢縱波的滲流位移勢對|Re|的貢獻最大，而sinθ>1.3時，橫波的滲流位移勢對|Re|的貢獻最大；圖8b表明快縱波的滲流位移勢對|Re|的貢獻可以忽略.圖9比較了10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻，其中圖9a比較了|Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|，圖9b比較了|Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|.圖9a表明當sinθ<1.25時，慢縱波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻最大，而sinθ>1.38時，橫波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻超過慢縱波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻；圖9b表明快縱波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻可以忽略.綜上可知，在測井頻率下(例如f=10 kHz)，快縱波對震電反射和透射系數(shù)的影響可忽略.此外，我們通過計算知在實驗室超聲頻率下(例如f=0.5 MHz)，快縱波對震電反射和透射系數(shù)的影響也可忽略，但這里不再給出詳細結果.

4 結論

本文利用Block(2004)給出的震電反射和透射電磁波的電場式，導出了震電反射和透射系數(shù)的表達式，在給定介質參數(shù)和入射角且已知三類彈性體波的透射系數(shù)時，就計算震電反射和透射系數(shù).本文的震電反射和透射系數(shù)與前人的震電反射和透射系數(shù)的計算結果一致，對于所有入射角都成立.相比前人給出的震電反射和透射系數(shù)，本文的震電反射和透射系數(shù)表達式中聲波與電磁波的物理參數(shù)是解耦的，表達式形式更為簡單.

圖7 10 Hz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻(a) |Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|的比較； (b) |Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|的比較.Fig.7 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Tem| under f=10 Hz(a) Comparisons of |Tem_p1|, |Tem_p2|, |Tem_sv| and |Tem|； (b) Comparison of |Tem_p2+Tem_sv| and |Tem|.

圖8 10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Re|的貢獻(a) |Re_p1|、|Re_p2|、|Re_sv|和|Re|的比較； (b) |Re_p2+Re_sv|和|Re|的比較.Fig.8 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Re| under f=10 kHz(a) Comparisons of |Re_p1|, |Re_p2|, |Re_sv| and |Re|； (b) Comparison of |Re_p2+Re_sv| and |Re|.

圖9 10 kHz下快縱波、慢縱波和橫波的滲流位移勢對|Tem|的貢獻(a) |Tem_p1|、|Tem_p2|、|Tem_sv|和|Tem|的比較； (b) |Tem_p2+Tem_sv|和|Tem|的比較.Fig.9 Contributions of seepage potentials of the fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave to |Tem| under f=10 kHz(a) Comparisons of |Tem_p1|, |Tem_p2|, |Tem_sv| and |Tem|； (b) Comparison of |Tem_p2+Tem_sv| and |Tem|.

基于電磁波數(shù)遠小于界面切向波數(shù)的前提條件，本文將震電反射和透射系數(shù)的表達式化簡為了簡化表達式.震電反射和透射系數(shù)的簡化式中，與快縱波、慢縱波和橫波有關的量均以透射系數(shù)與滲-固位移比的乘積的形式出現(xiàn)，而動電耦合系數(shù)、電導率和滲流率以乘積的形式作為一個整體出現(xiàn).當入射角θ大于一個極其小的臨界角θc時(即入射角不是極其小時)，震電反射和透射系數(shù)的簡化式適用于地震、測井和實驗室超聲頻段，其中θc不超過1.4°(對應f=10 Hz)，并且θc隨著頻率的增大而減小.快縱波、慢縱波和橫波通過滲流位移勢影響震電反射和透射系數(shù)；快縱波對震電反射和透射系數(shù)的影響可以忽略.本文導出的震電反射和透射系數(shù)的簡化表達式，不僅可以簡化震電波場的計算，而且明確表達了快縱波、慢縱波和橫波引起反射和透射電磁信號的物理因素，從而為地下和海底儲層的參數(shù)反演提供了思路.

附錄A 透射系數(shù)的確定

忽略轉換電場對聲場的影響，則Pride方程組中的聲場與電磁場解耦，從而聲場部分可通過Biot方程組(Biot，1962)和聲場邊界條件獨立求解，即得快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù).流體-孔隙介質界面的聲場邊界條件為：

(A1)

其中ufz、uz、wz、pf、p、σzz和τzx分別是流體的法向位移、孔隙介質中固相的法向位移、孔隙介質中法向滲流位移、流體壓強、孔隙流體壓強、法向正應力和界面處切應力.

將Biot方程組(Biot，1962)代入邊界條件式(A1)可得：

M·A=B，

(A2)

其中A是由反射和透射系數(shù)構成的向量(Rm為流體中聲波反射系數(shù)，Tp1、Tp2和Tsv分別是快縱波、慢縱波和橫波的透射系數(shù))，B是源向量，它們寫為：

(A3)

(A4)

其中：

m11=kz，m12=kp1_z(1+αp1)，m13=kp2_z(1+αp2)，m14=kr(1+αsv)；