張倩玉，張宇，陳昊然，段昊宇翔

（650500 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院）

0 引言

近年來(lái)，機(jī)器人技術(shù)在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，對(duì)它的研究也越來(lái)越深入。自從機(jī)構(gòu)被發(fā)明就不可避免地存在機(jī)構(gòu)的奇異問(wèn)題[1]。奇異位形是除了正常工作位形外的一種特殊位形，機(jī)械臂發(fā)生的奇異位形主要分為邊界奇異位形與內(nèi)部奇異位形2 種[2]，它對(duì)于機(jī)械臂完成基本操作和特定任務(wù)起著重要影響。當(dāng)機(jī)械臂發(fā)生奇異位形時(shí)，會(huì)對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生不利影響，如自由度變少而導(dǎo)致機(jī)械手無(wú)法實(shí)現(xiàn)某些特定運(yùn)動(dòng)，靈活性變差致使機(jī)構(gòu)鎖死等問(wèn)題。當(dāng)然，奇異位形也有益處，比如利用極限位置制作一些自鎖機(jī)構(gòu)等。因此，不管是從有利還是不利角度來(lái)說(shuō)，對(duì)機(jī)械臂的奇異性問(wèn)題展開(kāi)研究都是非常必要的。

許多學(xué)者針對(duì)機(jī)械臂奇異性問(wèn)題開(kāi)展了深入的研究。舒曉春[3]利用雅可比矩陣分析了某工業(yè)機(jī)器人奇異位形發(fā)生的原因，提出了在實(shí)際工作過(guò)程中解決奇異位形的常用辦法；于常娟等[4]針對(duì)不同形式驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu),建立了雅可比矩陣，并在ADAMS 中驗(yàn)證所求雅可比矩陣；蔡玉強(qiáng)[5]等利用微分變化法求得三自由度工業(yè)拾取機(jī)械手的雅可比矩陣,并驗(yàn)證了機(jī)械手建立的正確性；張新[6]等用矢量積法解得該機(jī)器人機(jī)械臂的雅可比矩陣，對(duì)奇異位形和工作空間展開(kāi)研究；李憲華[7]等建立了6R 機(jī)械臂的模型，得到了正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并基于連桿速度法建立雅可比矩陣，得出該機(jī)械臂奇異位形的所有情況；李麗[8]等針對(duì)廣數(shù)RB20 機(jī)械臂，運(yùn)用螺旋定理求出該雅可比矩陣，并對(duì)它進(jìn)行了奇異位形分析；劉青松[9]等針對(duì)輪式移動(dòng)抓取機(jī)械手，利用旋量法和隨機(jī)取點(diǎn)法解出相應(yīng)的雅可比矩陣，得出奇異位形并相互印證，最后利用MATLAB 模擬求解出的奇異位形。

本文以桌面型607 串聯(lián)機(jī)械臂為研究對(duì)象，首先采用標(biāo)準(zhǔn)的D-H參數(shù)法求出正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解，并對(duì)其驗(yàn)證；然后，利用MATLAB 分析該工作空間；最后，利用通用的微分變換法得到其雅可比矩陣，并對(duì)其進(jìn)行奇異位形研究，為機(jī)械臂避免奇異位形算法的研究提供理論依據(jù)。

1 機(jī)器人機(jī)械臂坐標(biāo)系建立

桌面型607 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)范圍廣、運(yùn)動(dòng)速度快、再定位精度高，適合高速、高完成度的分揀、抓放料等工作。此機(jī)械臂是由6 個(gè)旋轉(zhuǎn)副組成，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的D-H 參數(shù)法，構(gòu)建連桿坐標(biāo)系。圖1 為桌面型607 機(jī)械臂本體結(jié)構(gòu)，圖2 為機(jī)器臂連桿坐標(biāo)系。按照桌面型607 機(jī)械臂和它對(duì)應(yīng)的連桿坐標(biāo)系，列出此機(jī)械臂對(duì)應(yīng)的D-H 參數(shù)如表1 所示。其中：d1=179 mm，a2=340 mm，a3=53 mm，d4=300 mm。

圖1 機(jī)械臂本體結(jié)構(gòu)Fig.1 Robotic arm body structure

圖2 連桿坐標(biāo)系Fig.2 Linkage coordinate system

表1 機(jī)械臂D-H 參數(shù)表Tab.1 Robotic arm D-H parameters

已知關(guān)節(jié)1—關(guān)節(jié)6 的角度，即已知各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿關(guān)系，則機(jī)械臂后一關(guān)節(jié)坐標(biāo)系相對(duì)于前一關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系通式為：

由式（1）得各連桿轉(zhuǎn)換矩陣如下：

機(jī)械臂總變換，即該末端端點(diǎn)的坐標(biāo)系相對(duì)于該基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣可表示為

驗(yàn)證正解。利用MATLAB 中的函數(shù)T=bot.fkine（zero），用Seriallink 函數(shù)得到矩陣為：

把初始關(guān)節(jié)角zero=[0 0 0 0 0 0] 代入式（2），可得矩陣0T6為

式（3）和式（4）相等，可得此機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解正確。

用MATLAB 輔助模塊機(jī)器人工具箱，搭建數(shù)學(xué)模型，調(diào)用Link 函數(shù)，采用標(biāo)準(zhǔn)D-H 參數(shù)，仿真模型如圖3 所示。

圖3 機(jī)械臂連桿仿真圖Fig.3 Simulation diagram of robot arm linkage

2 工作空間分析

工作空間是它的末端在每個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)能到達(dá)的所有位姿點(diǎn)的表示，它對(duì)機(jī)器人機(jī)械臂控制有重要意義。因此，不管是在機(jī)器人機(jī)械臂設(shè)計(jì)還是應(yīng)用方面，都要對(duì)其工作空間進(jìn)行分析。有4 種方法研究工作空間：解析法、圖解法、數(shù)值法和蒙特卡洛法[10]。蒙特卡洛法是找到機(jī)械臂末端可達(dá)的區(qū)域邊界，由邊界線所組成的區(qū)域整合，然后在此區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，得到隨機(jī)取值點(diǎn)的集合，組成其工作空間。求解此機(jī)械臂工作空間的步驟如下:

（1）由式（2）解得位置向量0P6=[px py pz]；

（2）在每個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)選取隨機(jī)步長(zhǎng)變量：（θnmax-θnmin）rand（j）。有θn=θnmin+（θnmax-θnmin）rand（j）。其中，j=1，2，…，n；n=1，2，…，6。

（3）將步驟（2）中的θn代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求得機(jī)械臂末端端點(diǎn)相對(duì)于極坐標(biāo)系的位置點(diǎn)集合。迭代次數(shù)N的值越大，越能表達(dá)出機(jī)械臂實(shí)際工作空間的準(zhǔn)確性。

（4）利用前3步在MATLAB里編程，然后運(yùn)行，得到機(jī)械臂末端端點(diǎn)能達(dá)到的所有位置點(diǎn)，即工作空間圖，取N=20 000，N=40 000，工作空間云如圖4 所示。圖5 為N=40 000 時(shí)的3 個(gè)方向投影圖。

圖4 不同迭代次數(shù)的工作空間云圖Fig.4 Workspace cloud map for different iterations

圖5 N=40 000 時(shí)的工作空間云圖Fig.5 Workspace cloud map at N=40 000

由圖4 可知，此工作空間大體可看作橢球體，圖形比較飽滿，空間中能達(dá)到的尺寸符合此機(jī)械臂的關(guān)節(jié)參數(shù)，驗(yàn)證了所建機(jī)械臂對(duì)象的正確性，為之后的奇異性研究提供了試驗(yàn)基礎(chǔ)。由圖5 可知，各投影面圖形分布均勻，無(wú)明顯空洞，得到機(jī)械臂末端點(diǎn)在X軸方向運(yùn)動(dòng)的最大范圍和最小范圍到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離分別為640.8 mm 和-640.8 mm，在Y軸方向運(yùn)動(dòng)的最大范圍和最小范圍到坐標(biāo)原點(diǎn)距離分別為642.7 mm 和-642.7 mm，在Z軸方向運(yùn)動(dòng)的最大范圍和最小范圍到坐標(biāo)原點(diǎn)距離分別為823.6 mm 和-465.6 mm。

3 機(jī)械臂雅可比矩陣的求解

雅可比矩陣表達(dá)的是其關(guān)節(jié)速度和末端端點(diǎn)速度的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系，因此可利用微分變換法[11-12]求出雅可比矩陣。由于此桌面型607 機(jī)械臂有6 個(gè)旋轉(zhuǎn)副，故只研究旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的雅可比矩陣求解。

若用x=（x1，x2，…，xn）T表示其末端端點(diǎn)的位置向量，θ=（θ1，θ2，…，θn）T表示其關(guān)節(jié)向量，則x 與θ有如下關(guān)系：

對(duì)式（5）進(jìn)行微分可得式（6）：

可得旋轉(zhuǎn)變換的雅可比矩陣矢量表達(dá)式：

其中，（p×n）z=-pynx+pxny。同理可求（p×o）z及（p×a）z。

與關(guān)節(jié)6 的雅可比列矢量對(duì)應(yīng)的變換矩陣為

分別將對(duì)應(yīng)參數(shù)的n，o，a，p代入式（8），可得相應(yīng)參數(shù)的雅可比矩陣的第6 列矢量：

對(duì)于關(guān)節(jié)5，可在A6基礎(chǔ)上求得其對(duì)應(yīng)變換矩陣為

可求得關(guān)節(jié)5 對(duì)應(yīng)的第5 列矢量：

對(duì)于關(guān)節(jié)4，在A5的基礎(chǔ)上求得4T6：

分別將對(duì)應(yīng)參數(shù)的n，o，a，p代入式（8），可得相應(yīng)參數(shù)的雅可比矩陣的第4 列矢量：

同理可求出關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)1 雅可比矩陣的列矢量如式（15）—式（16）：

則可求得雅可比矩陣的表達(dá)式為

4 奇異位形識(shí)別與仿真

機(jī)械臂的奇異位置有邊界奇異和內(nèi)部奇異2種。一方面機(jī)械臂每個(gè)關(guān)節(jié)都有其運(yùn)動(dòng)范圍，如表1 中機(jī)械臂的每個(gè)關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍所示，在這些范圍邊界處則可能產(chǎn)生關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)極限位形，即奇異位形。當(dāng)機(jī)械臂對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)分別處于θ1=±170°，θ2=±13 2 °，θ3=±6 7 °/-191 °，θ4=±190 °，θ5=±123°，θ6=±360°這些極限位置時(shí)，對(duì)應(yīng)位置為極限位置奇異點(diǎn)，此處只列出關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的極限位置，用MATLAB 仿真模擬極限位置情況，仿真結(jié)果如圖6 和圖7 所示。

圖6 關(guān)節(jié)1 邊界奇異位形Fig.6 Boundary singular posture of Joint 1

圖7 關(guān)節(jié)2 邊界奇異位形Fig.7 Boundary singular posture of Joint 2

關(guān)于內(nèi)部奇異位置，由于機(jī)械臂在內(nèi)部奇異位置時(shí)雅可比矩陣的行列式為零，因此令行列式（18）為零可得其內(nèi)部奇異位置。令│J（θ）│=0，得到

要使式（19）成立，則有以下3 類情形：

(1)當(dāng)s5=0，即θ5=kπ。而θ5∈[-123 °，123°]。則θ5=0°。此種情形下，關(guān)節(jié)4 軸線與關(guān)節(jié)6 軸線處于共線狀態(tài)，用MATLAB 工具箱進(jìn)行仿真分析，如圖8 所示，圖9 為共線示意圖。

圖8 關(guān)節(jié)4 和關(guān)節(jié)6 軸線共線仿真圖Fig.8 Collinear simulation diagram of axis of joint 4 and joint 6

圖9 關(guān)節(jié)4 和關(guān)節(jié)6 軸線共線示意圖Fig.9 Collinear diagram of axis of Joint 4 and Joint 6

（2）當(dāng)d4c3+a3s3=0 時(shí)，得則θ3=arctan（d4/a3）。將a3=53 mm，d4=300 mm 代入，得θ3=1.395 9°。此時(shí)關(guān)節(jié)4、關(guān)節(jié)5 和關(guān)節(jié)6 的運(yùn)動(dòng)軸線交點(diǎn)與關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的軸線屬于同一平面。運(yùn)用MATLAB 對(duì)此奇異位形仿真，結(jié)果如圖10 所示，圖11 為示意圖。

圖10 關(guān)節(jié)4、關(guān)節(jié)5 和關(guān)節(jié)6 的運(yùn)動(dòng)軸線交點(diǎn)與關(guān)節(jié)2 和關(guān)節(jié)3 的軸線屬于同一平面Fig.10 The intersections of motion axes of joint 4,joint 5 and joint 6 belong to the same plane as the axes of joint 2 and joint 3

圖11 示意圖Fig.11 Schematic diagram

（3）當(dāng)d1+a2c2+a3c（2-3）+d4s（2-3）=0 時(shí)，由于其關(guān)節(jié)2 軸線和關(guān)節(jié)3 軸線平行，所以關(guān)節(jié)1 軸線和關(guān)節(jié)4 軸線是共線的，用MATLAB 進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖12 所示。圖13 為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)4 和關(guān)節(jié)6軸線共線圖。

圖12 關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)4 軸線重合Fig.12 Coincident axes of joint 1 and joint 4

圖13 關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)4 和關(guān)節(jié)6 軸線共線圖Fig.13 Collinear diagram of axes of joint 1,joint 4 and joint 6

5 結(jié)語(yǔ)

本文以桌面型607 串聯(lián)機(jī)械臂為研究對(duì)象，首先運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的D-H 參數(shù)法求得其正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解，并對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證；其次，在MATLAB 中創(chuàng)建桌面型607 機(jī)械臂對(duì)象，研究其工作空間，得出其工作空間大體可看作橢球體，圖形比較飽滿，空間中能達(dá)到的尺寸符合此機(jī)械臂的關(guān)節(jié)參數(shù)，驗(yàn)證了所建機(jī)械臂對(duì)象的正確性，為之后的奇異性研究提供了試驗(yàn)基礎(chǔ)；接著利用微分變換法求出該雅可比矩陣，最后利用該矩陣行列式等于0，求得其奇異位形，并用MATLAB 進(jìn)行了仿真模擬，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。

通過(guò)分析仿真，此機(jī)械臂除了邊界奇異點(diǎn)外，主要存在3 種內(nèi)部奇異位形。本文分析研究可幫助此桌面型607 機(jī)器人機(jī)械臂在執(zhí)行任務(wù)時(shí)避免出現(xiàn)奇異位形，對(duì)機(jī)械臂后續(xù)避免奇異位形算法研究提供參考。