孫兆瓏， 任克亮， 紀(jì)華， 丁麗宏， 張亞婷， 王婷， 楊佳， 李佶敏

(寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院， 銀川 750021)

生產(chǎn)生活中廣泛使用的金屬材料，大多是由不規(guī)則形狀的眾多晶粒組成的多晶體，晶粒之間的邊界稱為晶粒邊界或晶粒間界，簡稱晶界[1]。在多晶體的形成過程中，晶界區(qū)域總會(huì)包含一些雜質(zhì)原子，這些雜質(zhì)原子會(huì)削弱或強(qiáng)化晶界處的結(jié)合力,進(jìn)而影響材料的整體性能[2]。

對(duì)于多晶材料來說，晶界結(jié)構(gòu)的強(qiáng)弱與分布情況是影響其材料性能的重要因素之一，針對(duì)這一問題，學(xué)者們分別從實(shí)驗(yàn)、數(shù)值模擬等手段對(duì)其進(jìn)行研究分析。路君等[3]通過總結(jié)前人實(shí)驗(yàn)結(jié)果，討論分析了晶粒大小與各類多晶材料力學(xué)性能之間的關(guān)系，給出了Hall-Petch公式的適用范圍。辛存[4]通過晶體塑性有限元法(crystal plasticity finite element modeling，CPFEM)對(duì)Voronoi多晶體模型收拉伸載荷的情況進(jìn)行了模擬，發(fā)現(xiàn)晶界處會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中、接觸壓力劇變等現(xiàn)象。戴澍等[5]將晶粒簡化為正六邊形，利用有限元法對(duì)多晶材料晶界處的應(yīng)力情況進(jìn)行了模擬分析，給出了晶界上正應(yīng)力分布情況與晶界和外載荷方向夾角的關(guān)系。楊靜等[6]通過有限單元法中的內(nèi)聚力單元模擬多晶材料的晶界屬性，對(duì)多晶材料的疲勞損傷破壞進(jìn)行了模擬，預(yù)測(cè)了裂紋的萌生擴(kuò)展情況。楊丹[7]用分子動(dòng)力學(xué)方法探究了不同晶粒尺寸、孿晶含量等因素對(duì)納米多晶Al的力學(xué)性能與變形機(jī)制的影響。盧敏[8]分別通過分子動(dòng)力學(xué)方法、有限元方法對(duì)NiTi合金的沿晶和穿晶斷裂行為進(jìn)行了模擬分析，結(jié)果表明，晶粒尺寸越小，材料的斷裂韌性越好。

在目前較為成熟的研究手段中，通過具體實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃羁陀^地獲取晶粒結(jié)構(gòu)與各項(xiàng)材料參數(shù)之間的關(guān)系，但成本較高。用有限元方法模擬時(shí)，能夠較好地得到材料內(nèi)部的應(yīng)力分布情況，但在模擬裂紋擴(kuò)展時(shí)，要在裂紋尖端設(shè)置奇異單元、加密網(wǎng)格，求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，確定裂紋擴(kuò)展方向，并同時(shí)要求裂紋頂點(diǎn)和裂紋邊與有限元的節(jié)點(diǎn)單元邊重合，相應(yīng)的網(wǎng)格必須重新劃分，使計(jì)算的效率和精度同時(shí)降低。同時(shí)，多晶材料隨機(jī)多變的晶粒組織構(gòu)型也對(duì)網(wǎng)格劃分造成了一定的難度。利用分子動(dòng)力學(xué)方法對(duì)多晶材料進(jìn)行分析時(shí)，可以得出微觀尺度下原子的行為和受力、能量物理參數(shù)，材料的晶體結(jié)構(gòu)，并能夠給出外界載荷作用下微裂紋的演化過程，但分析過程需要消耗大量的計(jì)算資源。

Silling[9]于2000年提出了近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)(peridynamic)方法。該方法是一種基于非局部思想的無網(wǎng)格方法，通過積分方程求解代替微分方程求解，對(duì)解決損傷、斷裂等不連續(xù)、多尺度問題時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)，目前已廣泛運(yùn)用于各類材料的破壞分析中[10-11]。Askari等[12]通過近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)微彈性本構(gòu)模型對(duì)多晶硅破壞過程進(jìn)行了模擬，其結(jié)果相對(duì)傳統(tǒng)數(shù)值方法更接近實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。伊航[13]基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論對(duì)功能梯度材料的破壞過程進(jìn)行了模擬，分析了材料梯度對(duì)試件起裂與完全破壞之間的關(guān)系。姜曉偉等[14]基于常規(guī)態(tài)型近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)，引入基于能量的失效判斷準(zhǔn)則，對(duì)復(fù)合材料的分層擴(kuò)展過程進(jìn)行模擬，其結(jié)果能夠較好地捕捉到“指甲蓋形”的分層前沿，與試驗(yàn)結(jié)果達(dá)到了較好的一致性。孫杰等[15]通過在傳統(tǒng)鍵型近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)本構(gòu)模型中引入非局部長程作用力強(qiáng)度尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項(xiàng)，部分消除了傳統(tǒng)鍵型近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型對(duì)泊松比的限制，并對(duì)多裂紋脆性板的破壞過程進(jìn)行模擬分析，給出了初始裂紋數(shù)量、位置和方向?qū)Y(jié)構(gòu)破壞形式、擴(kuò)展路徑和承載能力的影響規(guī)律。

因此，現(xiàn)針對(duì)多晶金屬材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的多樣性和損傷破壞過程的復(fù)雜性，基于Voronoi圖基本思想，在Fortran環(huán)境下對(duì)多晶材料的晶粒組織結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬，建立晶粒大小、均勻度可控的晶粒組織模型。結(jié)合近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法在處理不連續(xù)、多尺度等問題的優(yōu)勢(shì)，對(duì)外界載荷作用下多晶材料內(nèi)部裂紋擴(kuò)展及結(jié)構(gòu)破壞過程進(jìn)行模擬，對(duì)晶界強(qiáng)度、晶粒大小等因素影響下多晶材料的斷裂性能進(jìn)行研究。

1 多晶材料破壞分析的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論的基本思想是在某一空間域R內(nèi)，將實(shí)體模型離散成一系列包含著周圍實(shí)體模型的體積、密度等信息的物質(zhì)點(diǎn)。這些物質(zhì)點(diǎn)分別與近場(chǎng)域Hx(近場(chǎng)域半徑δ)內(nèi)的其他物質(zhì)點(diǎn)之間存在相互影響，這種影響被稱為“鍵”[11]，鍵的強(qiáng)度通過力密度f進(jìn)行描述，如圖1所示。

u′、u為相鄰物質(zhì)點(diǎn)位移矢量；x′、x為相鄰物質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置矢量；t為當(dāng)前時(shí)刻圖1 物質(zhì)點(diǎn)間矢量關(guān)系Fig.1 Vector relations between points of matter

f=f(u′-u,x′-x,t)

(1)

根據(jù)牛頓第二定律可得其運(yùn)動(dòng)方程

(2)

在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法中，為了描述材料的破壞，需要定義“鍵”的伸長率s和極限伸長率s0。在式(2)中令x′-x=ξ，u-u′=η，其中ξ表示相鄰物質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置矢量，η表示相鄰物質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移矢量，則伸長率s可表示為

(3)

“鍵”的極限伸長率s0，其大小與該材料楊氏模量E、斷裂時(shí)的臨界能量釋放率Gc以及近場(chǎng)域半徑δ的選取有關(guān)，具體表達(dá)式[16]為

(4)

式(4)中：Gc與材料的斷裂韌性KIC存在以下關(guān)系：

(5)

在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)分析中，通過引入一個(gè)與時(shí)間t相關(guān)的標(biāo)量函數(shù)μ(ξ,t)來描述鍵的破壞，其形式為

(6)

當(dāng)物質(zhì)點(diǎn)之間鍵的伸長率s超過極限伸長率s0時(shí)，則定義“鍵”斷裂，此后該物質(zhì)點(diǎn)對(duì)之間不再產(chǎn)生相互作用，此時(shí)μ(ξ,t)的值為0，反之為1。

在材料破壞分析中，通過求解某一物質(zhì)點(diǎn)與其相鄰物質(zhì)點(diǎn)間的破壞鍵的數(shù)量與初始鍵總數(shù)的比值來定義物質(zhì)點(diǎn)x在t時(shí)刻的損傷度，其函數(shù)形式為

(7)

1.2 多晶材料晶界影響

多晶材料由很多個(gè)單晶顆粒與包圍單晶顆粒的晶界組成，由于晶界偏聚等現(xiàn)象致使材料在晶粒內(nèi)部和晶界附近有不同的強(qiáng)度系數(shù)，材料在外界載荷作用下將發(fā)生晶間或穿晶破壞。為了考慮晶界對(duì)多晶材料斷裂性能的影響，通過引入晶界強(qiáng)度系數(shù)β[12]，并建立關(guān)系式為

(8)

對(duì)于同一晶粒內(nèi)的物質(zhì)點(diǎn)之間的“鍵”的破壞情況仍用式(6)判別；若兩物質(zhì)點(diǎn)屬于不同晶粒，即結(jié)合式(8)，采用以下布爾函數(shù)[式(9)]判別。

(9)

相應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn)的損傷判定則定義為

(10)

1.3 基于Voronoi圖的多晶材料幾何模型

在基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法研究多晶材料的斷裂性能時(shí)，模型結(jié)構(gòu)中必須包含材料的微觀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。Voronoi圖能夠基于一組可控的特定點(diǎn)將對(duì)平面進(jìn)行分隔，能很好地反映晶體的微觀結(jié)構(gòu)，目前被廣泛用于復(fù)雜問題的處理中[4,18]。用Voronoi方法來建立多晶體微觀結(jié)構(gòu)圖，在保證晶粒隨機(jī)分布的同時(shí)，使得晶格內(nèi)的每一點(diǎn)到晶粒中心點(diǎn)位置距離最短，在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，把同一晶格內(nèi)的所有物質(zhì)點(diǎn)的屬性設(shè)定與中心點(diǎn)相同。

盡管Voronoi圖可以在Arcgis、Sketchup等軟件內(nèi)自動(dòng)生成等，但為了建立基于Voronoi圖的多晶材料破壞分析的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，需要在Fortran環(huán)境下編寫生成Voronoi圖的程序結(jié)構(gòu)，具體過程如下。

(1)通過隨機(jī)抽樣并結(jié)合幾何模型尺寸，確定的一系列隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)位置(xi,yi)作為構(gòu)建泰森多邊形的特征點(diǎn)，同時(shí)賦予這些特征點(diǎn)一個(gè)不同的顏色作為區(qū)分。根據(jù)Voronoi圖定義，這些點(diǎn)代表著晶粒的中心位置。

(2)在幾何模型尺寸范圍內(nèi)以均勻分布的形式生成近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)物質(zhì)點(diǎn)。

(3)計(jì)算每個(gè)物質(zhì)點(diǎn)與所有特征點(diǎn)之間的距離，篩選出與當(dāng)前物質(zhì)點(diǎn)距離最短的特征點(diǎn)，并賦予相同的顏色。

(4)對(duì)求解域內(nèi)的所有物質(zhì)點(diǎn)重復(fù)步驟(3)，可將多晶材料的實(shí)體模型轉(zhuǎn)化為可用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法分析的Voronoi多晶材料模型。

通過控制特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)及最小間隔，就可以控制晶體材料中晶粒大小及均勻度，如圖2為設(shè)置不同特征點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)晶粒大小變化情況。其中不同顏色用于區(qū)別每個(gè)獨(dú)立的晶粒組織，其目的主要表征在顏色不同的色塊間存在晶界。

圖2 不同晶粒個(gè)數(shù)的晶體結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Crystal structure diagram of different number of grains

2 數(shù)值計(jì)算

為了研究多晶金屬材料的斷裂性能，以7xxx系高強(qiáng)度鋁合金為研究對(duì)象，材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

其中計(jì)算模型結(jié)構(gòu)為長×寬=1 mm×1 mm，厚度0.002 mm的正方形板；在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)分析中,取物質(zhì)點(diǎn)間距Δx=0.002 mm, 近場(chǎng)域半徑δ=3.015Δx, 物質(zhì)點(diǎn)的數(shù)量是250 000，時(shí)間步長Δt=0.25 ns，在模型中心預(yù)制長度為0.2 mm中心穿透裂紋并在豎直方向施加40 m/s速度載荷后，分別對(duì)不同晶界強(qiáng)度系數(shù)和不同晶粒大小所對(duì)應(yīng)的模型的斷裂過程進(jìn)行分析。

2.1 不同晶界強(qiáng)度系數(shù)時(shí)的斷裂特性

為了研究晶界強(qiáng)度對(duì)多晶材料斷裂性能的影響，在計(jì)算模型內(nèi)隨機(jī)生成大小形狀不同的600個(gè)晶粒后(其中平均晶粒直徑d=46 μm)，對(duì)晶界強(qiáng)度系數(shù)β分別取1、2、4和0.5時(shí)多晶材料的斷裂過程進(jìn)行模擬研究，得到了如圖3～圖6所示的損傷云圖。

從圖3～圖6所示的損傷云圖中，通過觀察物質(zhì)點(diǎn)的損傷度變化情況，可較為清晰的反映裂紋擴(kuò)展的動(dòng)態(tài)過程，當(dāng)β=1時(shí)，晶界強(qiáng)度與晶內(nèi)強(qiáng)度一致，可認(rèn)為模型是均質(zhì)材料，晶界的存在不產(chǎn)生影響。此時(shí)隨著加載，模型中裂紋呈對(duì)稱形式沿水平方向兩端擴(kuò)展，直到2 950時(shí)間步完全貫通模型；當(dāng)β=2、β=4時(shí)，隨著加載，裂紋的擴(kuò)展會(huì)受到晶界的阻礙，在晶界處會(huì)產(chǎn)生小幅偏轉(zhuǎn)及分叉，由于晶界分布的隨機(jī)性導(dǎo)致裂紋不再呈現(xiàn)對(duì)稱性，表現(xiàn)為穿晶破壞。與β=1相比，如果取相同加載時(shí)間，裂紋在β=2、β=4時(shí)擴(kuò)展尺寸較短，結(jié)構(gòu)完全破壞所需時(shí)間較長；當(dāng)β=0.5時(shí)，材料在晶界處強(qiáng)度較低，隨著加載，裂紋會(huì)沿晶界擴(kuò)展，表現(xiàn)為晶間破壞，與β≥1情形相比，裂紋擴(kuò)展速度最快，材料完全破壞用時(shí)短。

圖3 β=1時(shí)裂紋擴(kuò)展過程Fig.3 Damage cloud of the model when β=1

圖4 β=2時(shí)裂紋擴(kuò)展過程Fig.4 Damage cloud of the model when β=2

圖5 β =4時(shí)裂紋擴(kuò)展過程Fig.5 Damage cloud of the model when β=4

圖6 β =0.5時(shí)裂紋擴(kuò)展過程Fig.6 Damage cloud of the model when β=0.5

在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法中，通過判定某物質(zhì)點(diǎn)與其相鄰物質(zhì)點(diǎn)間“鍵”的破壞來模擬裂紋擴(kuò)展。同時(shí)，也可以用每個(gè)物質(zhì)點(diǎn)的損傷度進(jìn)行累計(jì)來反映模型的破壞情況。如圖7所示，在晶界強(qiáng)度系數(shù)取不同值時(shí)，加載初期，材料損傷度均為水平直線，表示材料還未出現(xiàn)新的損傷。隨著加載的繼續(xù)，損傷度開始增加，對(duì)應(yīng)裂紋開始擴(kuò)展，擴(kuò)展速率較慢，當(dāng)繼續(xù)加載，裂紋進(jìn)入快速擴(kuò)展期。晶界強(qiáng)度系數(shù)不同，裂紋起裂時(shí)間不同。當(dāng)β<1，裂紋開始擴(kuò)展時(shí)間較早，β≥1時(shí)裂紋開始擴(kuò)展時(shí)間較晚。

圖7 不同晶界強(qiáng)度系數(shù)累計(jì)損傷度隨時(shí)間變化Fig.7 Cumulative damage curves of different grain boundary strength coefficients over time

2.2 不同晶粒大小時(shí)的斷裂特性

為了研究晶粒大小對(duì)多晶材料斷裂性能的影響，在計(jì)算模型中，分別對(duì)晶粒平均直徑取65、46、38、33 μm 4種情況的斷裂性能進(jìn)行了研究。由于實(shí)驗(yàn)中7xxx系鋁合金多以準(zhǔn)解理斷裂為主[19]，即脆性穿晶斷裂，本文選取其晶界強(qiáng)度系數(shù)β=4，對(duì)比分析了4種晶粒大小對(duì)應(yīng)的損傷特性。

如圖8所示，隨著晶粒平均直徑的減小，晶界成分在模型中占比提高，對(duì)裂紋擴(kuò)展的阻礙作用也在增強(qiáng),在相同速度載荷下，裂紋完全貫穿模型所需時(shí)間增加,即材料的抗斷裂性能越好。

圖8 不同晶粒尺寸累計(jì)損傷度隨時(shí)間變化Fig.8 Cumulative damage curves of different grain sizes over time

在相同速度載荷作用下，通過求解不同晶粒大小所對(duì)應(yīng)的材料完全破壞時(shí)間步，建立完全破壞時(shí)間步與晶粒平均直徑d倒數(shù)的平方的關(guān)系曲線如圖9所示，結(jié)果發(fā)現(xiàn)晶體材料的抗斷裂性能與晶粒平均直徑倒數(shù)的平方呈線性關(guān)系，且晶粒細(xì)化有助于提高多晶材料的力學(xué)性能。

圖9 晶粒尺寸對(duì)模型完全破壞時(shí)間的影響Fig.9 Effect of grain size on complete failure time of the model

3 結(jié)論

以近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，引入Voronoi圖方法建立多晶材料的晶體結(jié)構(gòu)圖，以Voronoi圖的特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)來控制晶體的大小，通過晶界強(qiáng)度系數(shù)來區(qū)別晶粒內(nèi)部和晶界處的強(qiáng)度關(guān)系，建立了描述晶體結(jié)構(gòu)破壞的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)7xxx系鋁合金的拉伸破壞過程進(jìn)行模擬，得到以下結(jié)論。

(1)通過控制晶界強(qiáng)度系數(shù)β，該模型能夠模擬多晶材料穿晶斷裂或晶間斷裂兩種不同的斷裂模式，同時(shí)模擬結(jié)果表明材料在穿晶斷裂時(shí)的抗斷裂性能要優(yōu)于晶間斷裂的抗斷裂性能。

(2)通過對(duì)不同晶粒大小模型的裂紋擴(kuò)展模擬發(fā)現(xiàn)，在穿晶斷裂模式下，完全破壞時(shí)間步與晶粒平均直徑d倒數(shù)的平方呈正相關(guān)線性關(guān)系，即晶粒細(xì)化有助于提高材料的抗斷裂性能。