陳龍珠，顧曉強(qiáng)

（1. 上海交通大學(xué) 船建學(xué)院土木工程系，上海 200240；2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院地下建筑與工程系，上海 200092）

0 引 言

在場(chǎng)地地震安全性評(píng)估、地基抗震加固和環(huán)境振動(dòng)治理等工程中，通常需要采用動(dòng)三軸試驗(yàn)和共振柱試驗(yàn)測(cè)定地基土的動(dòng)剪切模量、阻尼比與剪應(yīng)變幅的關(guān)系曲線。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)測(cè)試原理基于線性振動(dòng)理論的共振柱試驗(yàn)，試樣最大應(yīng)變幅不高于1×10-3，而動(dòng)三軸試驗(yàn)適用的應(yīng)變幅范圍則不低于1×10-4，1×10-4～1×10-3常是它們的交疊區(qū)間。因此，將這兩種試驗(yàn)的測(cè)試結(jié)果整合起來(lái)，便可為試樣提供較為完整的動(dòng)剪切模量、阻尼比與動(dòng)應(yīng)變幅的關(guān)系曲線[1-2]。

根據(jù)材料力學(xué)基本理論，對(duì)固結(jié)后高度為hc、截面直徑dc的圓形實(shí)心截面試樣，若已知在其頂端受到的扭矩T及其相對(duì)于底端的扭轉(zhuǎn)角θ等參數(shù)，則試樣的剪切模量可由理論公式來(lái)計(jì)算。利用這個(gè)原理直接測(cè)定試樣的剪切模量，必須精密測(cè)定試樣受到的扭矩及其產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角，但這在以往卻并不容易做到，直到近些年隨著測(cè)量傳感器的進(jìn)步才被開(kāi)發(fā)應(yīng)用[3-4]。我國(guó)目前仍普遍采用傳統(tǒng)的共振柱試驗(yàn)技術(shù)[5-6]，即對(duì)類似于動(dòng)三軸試驗(yàn)的試樣，在其頂端施加一系列振動(dòng)頻率的扭矩，同時(shí)測(cè)定試樣頂端水平安裝的加速度計(jì)電壓信號(hào)，再由其幅頻關(guān)系曲線的峰點(diǎn)頻率確定試樣的共振頻率和動(dòng)剪切模量，并由轉(zhuǎn)換而得的扭轉(zhuǎn)角位移幅頻曲線的峰點(diǎn)頻率及其兩側(cè)半功率點(diǎn)之間的頻差計(jì)算試樣的阻尼比。這種穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)法確定試樣的動(dòng)剪切模量，避免了精確測(cè)量試樣所受動(dòng)扭矩的困難。在共振柱試驗(yàn)中，也可以瞬間卸除使試樣頂端產(chǎn)生預(yù)期轉(zhuǎn)角的扭轉(zhuǎn)激勵(lì)，讓試樣轉(zhuǎn)為自由振動(dòng)狀態(tài)，再由所記錄到的試樣扭轉(zhuǎn)振動(dòng)衰減時(shí)程曲線來(lái)確定它的阻尼比，這是自由振動(dòng)法。

目前常見(jiàn)的共振柱儀可分為底端固定頂端自由、底端固定頂端受彈簧支承兩類，其中前者的試樣與頂端激振和測(cè)振傳感器附加質(zhì)量整體系統(tǒng)的動(dòng)力特性求解相對(duì)簡(jiǎn)單，本文將以此為對(duì)象，并結(jié)合《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50123—2019）[5]的相關(guān)規(guī)定，進(jìn)行分析討論。試樣頂面的扭轉(zhuǎn)角振幅θ0及其對(duì)應(yīng)的動(dòng)剪應(yīng)變幅γ，通常是由加速度計(jì)測(cè)到的水平向線加速度經(jīng)計(jì)算得出：θ0=U0/(4d1βπ2f2)、γ=θ0dc/(3hc)，其中d1、U0、β和f依次為加速度計(jì)到試樣軸線的距離、加速度計(jì)電壓振幅、加速度計(jì)標(biāo)定系數(shù)和振動(dòng)頻率。顯然，試樣頂面的加速度計(jì)電壓U0或扭轉(zhuǎn)角加速度振幅與扭轉(zhuǎn)角速度振幅扭轉(zhuǎn)角振幅隨振動(dòng)頻率而變化的關(guān)系，彼此之間是不同的。因此，它們的幅頻曲線峰點(diǎn)頻率、峰點(diǎn)兩側(cè)半功率點(diǎn)頻率及其差值，彼此之間也會(huì)存在差別。共振柱試驗(yàn)測(cè)定試樣動(dòng)剪切模量Gd的理論計(jì)算公式為：

式中：ρ0為試樣的質(zhì)量密度；fnt是試樣的固有頻率；βs為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的無(wú)量綱頻率因數(shù)。但是，根據(jù)其第30.3.4條中的第3點(diǎn)和第30.4.2條，《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)其式（30.4.2）或本文式（1）中的fnt，采用了U0-f曲線和曲線的峰點(diǎn)頻率（扭轉(zhuǎn)角加速度共振頻率）f，同時(shí)也由此按其式（30.4.1-1）計(jì)算對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變幅。另外，該標(biāo)準(zhǔn)確定試樣阻尼比tλ的式（30.4.6-2），涉及的則是θ0-f曲線的峰點(diǎn)頻率fθp（扭轉(zhuǎn)角共振頻率，該標(biāo)準(zhǔn)采用符號(hào)fn）。由此可見(jiàn)，需要弄清和fθp的相對(duì)大小狀況，才能判斷由該標(biāo)準(zhǔn)方法確定的試樣動(dòng)剪切模量、動(dòng)剪應(yīng)變幅和阻尼比的數(shù)值是否合理和可靠。本文主要從理論上對(duì)此進(jìn)行辨析與討論。

1 黏彈性試樣扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)解與應(yīng)用

1.1 理論解答

對(duì)圖1所示的坐標(biāo)系，圓柱試樣底端固定，頂端安裝有總質(zhì)量為 am的激振壓板和量測(cè)傳感系統(tǒng)。假設(shè)土為線性黏彈性材料，則試樣扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 共振柱試驗(yàn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)力學(xué)模型Fig. 1 Mechanical model of torsional vibration for resonant column test

式中：θ(z,t)是與試樣底端距離為z處截面隨時(shí)間t而變化的轉(zhuǎn)角；tη為試樣扭轉(zhuǎn)振動(dòng)阻尼系數(shù)；T(t)為試樣頂端外加扭矩；δ為奇異函數(shù)。

式（2）所采用的模型，假設(shè)了阻尼效應(yīng)與試樣的動(dòng)剪切模量成正比，屬于一種瑞利阻尼，由此根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知，試樣的強(qiáng)迫振動(dòng)可按振型疊加法求解。因試樣相鄰振型的固有頻率間距較大，對(duì)共振柱試驗(yàn)的頻率范圍而言，可僅考慮第1振型的影響：

其中第1階振型函數(shù)可表示為[1]：是試樣扭轉(zhuǎn)的第1階固有圓頻率。將式（3）代入式（2），且對(duì)各項(xiàng)同乘以A1(z)，然后再對(duì)各項(xiàng)沿試樣高度進(jìn)行積分，可得：

將式（5）代入式（3），可得到試樣頂端扭轉(zhuǎn)角的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)解：

對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，容易寫(xiě)出試樣頂端扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的角速度和角加速度振幅：

1.2 動(dòng)剪切模量計(jì)算

從上述結(jié)果得知，當(dāng)阻尼比λt≠0時(shí)，有也就是說(shuō)，試樣扭轉(zhuǎn)角加速度和角位移的共振頻率均受阻尼比的影響，只有角速度的共振頻率與阻尼比無(wú)關(guān)而與試樣的固有頻率相同。

在共振柱試驗(yàn)所測(cè)試樣阻尼比的常見(jiàn)范圍內(nèi)，表1列出了試樣扭轉(zhuǎn)角幅頻曲線和角加速度幅頻曲線峰頻比的平方隨阻尼比而變化的數(shù)據(jù)。由表中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，當(dāng)阻尼比低于0.10時(shí)，試樣扭轉(zhuǎn)角和角加速度幅頻曲線的峰頻與固有頻率相差很??；但之后隨著阻尼比的增加，兩種峰頻比平方的數(shù)值與1的差距會(huì)越來(lái)越大。對(duì)多種類型的土來(lái)說(shuō)，試驗(yàn)結(jié)果表明，阻尼比會(huì)隨著動(dòng)剪應(yīng)變幅的增大而升高，當(dāng)動(dòng)剪應(yīng)變幅處于1×10-4～1×10-3區(qū)間時(shí)，阻尼比隨動(dòng)剪應(yīng)變幅增大會(huì)快速升高，阻尼比會(huì)進(jìn)入0.10～0.20范圍之內(nèi)[7-8]。由表1可見(jiàn)，當(dāng)阻尼比處于0.10～0.20時(shí)，由角加速度幅頻曲線峰頻替代試樣固有頻率計(jì)算得出的動(dòng)剪切模量，將會(huì)偏高2.0%～8.7%。

表1 試樣扭轉(zhuǎn)角和角加速度幅頻曲線峰頻比平方值Table 1 Squared peak frequency ratios of the amplitudefrequency curves for torsional angle and angular acceleration of specimen

1.3 動(dòng)剪應(yīng)變幅計(jì)算

從本文引言介紹可知，試樣的動(dòng)剪應(yīng)變與扭轉(zhuǎn)角直接關(guān)聯(lián)。因此，宜以扭轉(zhuǎn)角幅頻曲線的峰點(diǎn)來(lái)反映試樣受到的最大動(dòng)剪應(yīng)變幅，而由扭轉(zhuǎn)角加速度幅換算出的扭轉(zhuǎn)角，是與振動(dòng)頻率的平方成反比的。由表1最右一列數(shù)據(jù)可知，當(dāng)阻尼比處于0.10～0.20時(shí)，由替代fθp計(jì)算出的試樣剪應(yīng)變幅將會(huì)偏低3.9%～15.4%，為接近于前述動(dòng)剪切模量誤差的兩倍。

從以上兩點(diǎn)理論分析結(jié)果似可推論，由于阻尼比一般是隨著動(dòng)剪應(yīng)變的增大而增大的，《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》所存在的上述兩點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)共振柱與動(dòng)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)合成繪制動(dòng)剪切模量與動(dòng)剪應(yīng)變幅曲線的連貫性，可能也會(huì)帶來(lái)一些影響。文獻(xiàn)[2]給出的幾種土樣試驗(yàn)曲線表明，在動(dòng)剪應(yīng)變幅交疊區(qū)域，由共振柱試驗(yàn)測(cè)得的動(dòng)剪切模量比動(dòng)三軸試驗(yàn)測(cè)得的略高。但有哪些因素對(duì)此產(chǎn)生了影響，尚待更進(jìn)一步的觀察和分析。

1.4 強(qiáng)迫振動(dòng)法的阻尼比計(jì)算

參照單自由度結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)幅頻曲線特征，在激振頻率接近于固有頻率的范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)振幅受阻尼比的影響極其敏感，阻尼比較小時(shí)尤其如此。因此，對(duì)共振柱試驗(yàn)確定阻尼比的方法，宜盡量做到精準(zhǔn)。利用上面推導(dǎo)出的式（8）、式（11）和式（12），從理論上說(shuō)，可由扭轉(zhuǎn)角、角速度和角加速度幅頻曲線的峰頻來(lái)確定試樣的阻尼比：

但在阻尼比較小時(shí)，要想由這兩個(gè)公式確定阻尼比具有足夠高的精度，則需要在試驗(yàn)時(shí)選用足夠小的激振頻率間隔，以便獲得足夠分辨率的峰頻。

在《地基動(dòng)力特性測(cè)試規(guī)范》[6]中，由共振柱試驗(yàn)測(cè)定試樣阻尼比，只給出了自由振動(dòng)法的算式；而《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》同時(shí)給出了自由振動(dòng)法和穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)法的算式，其中后者的式（30.4.6-2）用本文符號(hào)表示則為：

式中：1f和f2是試樣扭轉(zhuǎn)角幅頻曲線峰點(diǎn)兩側(cè)、振幅為即70.7%的峰值處兩個(gè)半功率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率，其在如圖2所示的F-R曲線上對(duì)應(yīng)于1R和R2。

圖2 確定試樣阻尼比的半功率點(diǎn)Fig. 2 Half power points for the soil damping ratio

將其重新整理，得：

表2 試樣扭轉(zhuǎn)角幅頻曲線半功率點(diǎn)頻率比的精確值Table 2 Exact values of the frequency ratio at half-power point of the amplitude-frequency curve for torsional angle of the specimen

由此可見(jiàn)，若將《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)法算式（30.4.6-2）規(guī)定的試樣扭轉(zhuǎn)角幅頻曲線，改為扭轉(zhuǎn)角速度幅頻曲線，則在理論上相對(duì)更加嚴(yán)密。將表3數(shù)據(jù)代入式（17），所得阻尼比幾乎沒(méi)有誤差。

表3 試樣扭轉(zhuǎn)角速度幅頻曲線半功率點(diǎn)頻率比的精確值Table 3 Exact values of the frequency ratio at half-power point of the amplitude-frequency curve for angular velocity of the specimen in torsion

對(duì)于式（16）的精確算式和表3中的數(shù)據(jù)，容易驗(yàn)證R1R2=1，即由此可以對(duì)實(shí)測(cè)扭轉(zhuǎn)角速度幅頻曲線的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)遇到試樣扭轉(zhuǎn)角速度幅頻曲線的頻率范圍不足以確定R2時(shí)，可以由1R計(jì)算阻尼比：

2 黏彈性試樣扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)解與應(yīng)用

令式（2）中試樣頂端外加扭矩T(t)為0，便是其自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。同樣按振型疊加法求解并僅保留第一振型的影響，則可以得到試樣頂端扭轉(zhuǎn)角位移的自由振動(dòng)解[9]：

圖3 試樣扭轉(zhuǎn)角的自由振動(dòng)時(shí)程信號(hào)示意圖Fig. 3 Schematic curve of rotation angle versus time forspecimen under free vibration

由試驗(yàn)測(cè)得對(duì)數(shù)遞減率后，可由式（20）得到相應(yīng)的阻尼比：

由于自由振動(dòng)隨時(shí)間的推移逐漸減弱，動(dòng)剪應(yīng)變幅會(huì)隨之降低，繼而使得試樣的阻尼比會(huì)發(fā)生變化。因此，在采用自由振動(dòng)法測(cè)定試樣的阻尼比時(shí)，宜對(duì)開(kāi)始階段的時(shí)程曲線進(jìn)行分析。

3 結(jié) 論

本文通過(guò)理論推導(dǎo)和分析，對(duì)現(xiàn)行《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》所含共振柱試驗(yàn)確定試樣動(dòng)剪切模量、動(dòng)剪應(yīng)變幅和阻尼比的方法，提出如下幾點(diǎn)改善意見(jiàn)：

（1）在試樣動(dòng)剪切模量的算式中，應(yīng)采用扭轉(zhuǎn)角速度幅頻曲線的峰頻，即試樣的固有頻率。

（2）在試樣動(dòng)剪應(yīng)變幅的算式中，宜采用扭轉(zhuǎn)角幅頻曲線的峰頻。

（3）在穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)法確定試樣阻尼比的算式中，應(yīng)采用扭轉(zhuǎn)角速度幅頻曲線的峰頻及兩個(gè)半功率點(diǎn)的頻差。

（4）采用自由振動(dòng)法確定試樣的阻尼比，扭轉(zhuǎn)角、角速度和角加速度或加速度計(jì)電壓時(shí)程曲線均可選用。