江蘇省天一中學(xué)(214101)安愷凱

無錫市東北塘中學(xué)(214101) 沈丹丹

雙變量范圍問題一直是各類考試中的熱門問題,這類問題知識層面廣泛、思維視角發(fā)散、方法應(yīng)用多樣,即常涉及不等式、函數(shù)、方程等高中重點知識,又常涉及矩陣變換、偏導(dǎo)數(shù)、二次曲線的一般理論等高等數(shù)學(xué)知識.符合新高考突出考查關(guān)鍵能力、深入考查思維品質(zhì)、加強(qiáng)試題選拔功能的命題導(dǎo)向,因此在新高考中亦然深受命題人青睞,2022年新高考Ⅱ卷的多選壓軸題便是一個例證.對其解題思路與方法進(jìn)行多角度的探究,有利于創(chuàng)新思維、開闊視野、加深理解,更好發(fā)揮新高考真題對日常解題教學(xué)的指導(dǎo)性.

1 試題呈現(xiàn)

試題(2022年全國新高考Ⅱ卷第12 題)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

2 思維方法

2.1 思維視角一 不等式思維

評注基本不等式是高中階段得到和、積、平方和之間不等量關(guān)系的基本路徑.只要教師在平時的教學(xué)活動中確切立足于四基,即引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗,學(xué)生便不難由此路徑獲得結(jié)果.

解法2(配方法)由x2+y2-xy=1,得

評注配方法處理主要是根據(jù)題目中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,從不同視角來合理配方,再根據(jù)需求的代數(shù)式范圍來確定放縮部分.對于用配方法求選項A、B 中一次式x+y的范圍,須先將x+y通過平方轉(zhuǎn)化為二次式,筆者在下面方法3中針對x+y給出另外一種轉(zhuǎn)化為二次式的方法.

解法3(0 的妙用)由x2+y2-xy-1=0,可得

又可得

故A 錯誤、B 正確.

評注方法3 分別通過巧加0 和巧減0,將一次式“x+y”有效轉(zhuǎn)為二次式,繼而配方求得最值.

2.2 思維視角二 換元思維

故C 正確、D 錯誤.

評注三角換元法首先結(jié)合題目條件中的關(guān)系式進(jìn)行合理配方,使得對應(yīng)的數(shù)式恒等1,從而引入三角函數(shù),進(jìn)行三角換元,繼而合理的三角恒等變形以及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.三角換元法是處理一些具有明顯特征的雙變量范圍問題(這里兩數(shù)之和為1)時比較常用的一種技巧方法.

解法5(和差換元)令x=a - b,y=a - b, 則x2+y2- xy=a2+3b2=1, 從而a ∈[-1,1],b ∈于是x+y=2a ∈[-2,2], 故A 錯誤、B 正確;x2+y2=2a2+2b2=2-4b2∈,故C 正確、D 錯誤.

評注和差換元法可以有效相除xy項,相當(dāng)于坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn).

從而x+y ∈[-2,2],故A 錯誤、B 正確;

故C 正確、D 錯誤.

評注比值換元法結(jié)合線性換元引入?yún)?shù),可以有效地將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,繼而轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而巧妙利用相應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性來分析與處理.

2.3 思維視角三 方程思維

解法7(判別式法)記x+y=m,x2+y2=n.若方程組有解,等價于方程3x2-3mx+m2-1=0 的判別式Δ=9m2-12(m2-1)≥0, 解得-2 ≤m≤2,故A 錯誤、B 正確;由于

亦等價于n≥2|n-1|,解得故C 正確、D 錯誤.

評注通過所求代數(shù)關(guān)系式的整體化處理,引入?yún)?shù).對于A、B 選項,代入條件中的關(guān)系式進(jìn)行合理消元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程,再結(jié)合方程有解的前提條件,通過判別式的構(gòu)建來確定參數(shù)m的取值情況;對于C、D 選項,則用參數(shù)n分別表示雙變量的平方和與積,再結(jié)合基本不等式,來確定參數(shù)n的取值情況.

2.4 思維視角四 坐標(biāo)變換思維

解法8(極坐標(biāo)變換)故C 正確、D 錯誤;又因為

所以x+y ∈[-2,2],故A 錯誤、B 正確.

評注在極坐標(biāo)下,二次曲線上點的坐標(biāo)(ρ,θ)所滿足的條件更容易表示,代數(shù)變化也更加直接.

解法9(矩陣旋轉(zhuǎn)變換)考慮如下的變換(其幾何意義是將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)):

評注通過旋轉(zhuǎn)變換化簡二次曲線是數(shù)學(xué)專業(yè)大一的解析幾何課程教學(xué)內(nèi)容之一,有興趣的讀者可參看相關(guān)教科書了解更多的細(xì)節(jié).

2.5 思維視角五 高觀點思維

解法10( 拉格朗日乘數(shù)法)記f(x,y)=x+y, 構(gòu)造L(x,y,λ)=x+y+λ(x2+y2-xy-1).令

由①②可得x=y,代入③解得x=y=1 或x=y=-1.所以當(dāng)x=y=1 時,f(x,y)取得最大值2;當(dāng)x=y=-1時,f(x,y)取得最小值-2.故A 錯誤、B 正確.記g(x,y)=x2+y2,構(gòu)造L′(x,y,λ)=x2+y2+λ(x2+y2-xy-1).

令

評注拉格朗日乘數(shù)法可以有效將約束條件x2+y2-xy=1 融入目標(biāo)函數(shù)中,即將關(guān)于雙變量(x,y)的條件最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于三變量(x,y,λ)的無條件最值問題,繼而令偏導(dǎo)數(shù)為0 求得的點稱為穩(wěn)定點.對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高、創(chuàng)新意識較好的學(xué)生,基于導(dǎo)數(shù)知識體系,來理解偏導(dǎo)數(shù)并非難事.若要繼續(xù)判斷穩(wěn)定點是否為極大(小)值點,需要驗證二階偏導(dǎo)數(shù)組成的Hesse 矩陣在穩(wěn)定點處的正定性,不適宜再向高中生推廣,但這并不影響學(xué)生通過對全部穩(wěn)定點處的函數(shù)值進(jìn)行大小比較來求得最值.

解法11(不變量法)文獻(xiàn)[1]指出,一般地,由二元二次方程Γ:Ax2+2Bxy+Cx2+2Dx+2Ey+F=0(A,B,C不能全為0)所表示的圖形稱為二次曲線,稱

為Γ 的不變量.借助于不變量,可對Γ 進(jìn)行如下分類:

①若I2＞0 且I1I3＜0,則Γ 為橢圓;

②若I2＜0 且I3≠0,則Γ 為雙曲線;

③若I2=0 且I3≠0,則Γ 為拋物線.

解析對于二次曲線Γ:F(x,y)=x2-xy+y2-1=0,有因為I2＞0 且I1I3＜0, 所以Γ 為橢圓.由F(x,y)=F(-x,-y), 可得Γ 關(guān)于原點對稱; 由F(x,y)=F(y,x), 可得Γ 關(guān)于y=x對稱; 由F(x,y)=F(-y,-x), 可得Γ 關(guān)于y=-x對稱.進(jìn)而聯(lián)立橢圓Γ 與對稱軸方程, 可得橢圓的四個頂點分別為A(1,1),B(-1,-1),

由此可得, 如圖1, 當(dāng)直線y=-x+b與Γ 有公共點時,-2 ≤b≤ 2, 即-2 ≤x+y≤2, 故A 錯誤、B 正確.

圖1

設(shè)Γ 上任意一點到原點距離為d, 則有即故C 正確、D 錯誤.

評注二次曲線方程在高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的不變量法給出了曲線類型的清晰明確的判斷方式,但與高中解析幾何知識體系相距較遠(yuǎn),故不宜向?qū)W生介紹.然而,若教師在平時教學(xué)中確切做到由“知識立意”向“能力立意”轉(zhuǎn)變,學(xué)生由此養(yǎng)成較好的獨立思考能力,便不難通過二次曲線Γ 關(guān)于原點、直線y=x、y=-x對稱的幾何特征,以及二次曲線Γ 與對稱軸的交點畫出圖像,繼而由數(shù)形結(jié)合“秒殺”本題.

3 結(jié)束語

2022年新高考數(shù)學(xué)試卷學(xué)生普遍反饋頗有難度,反映出學(xué)生對新高考命題思路和考試方位的不適應(yīng)性.新高考更注重對思維品質(zhì)的考查,強(qiáng)調(diào)獨立思考和創(chuàng)新意識;更加注重對關(guān)鍵能力的考查,強(qiáng)調(diào)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能.在解題教學(xué)過程中,注重培養(yǎng)學(xué)生對一類問題多思維剖析,注重尋找一類問題的多種解法,能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新型和發(fā)散性,能有效提高學(xué)生獨立思考能力和深度思考能力,從而幫助學(xué)生更好適應(yīng)新高考帶來的變化.