廣東省廣州市第二中學(510000) 黃廣兵

1 試題的基本描述

題目(2022年新高考I卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明: 存在直線y=b, 其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

本題考查的知識點主要有導數(shù)、極值、最值、零點存在性定理,試題簡潔明了,由幾個常見的問題綜合起來,要求學生有序地、分層次地解決即可得到最后的結(jié)果,有別于往年令人眼花繚亂的證明不等式或求參數(shù)范圍問題.充分體現(xiàn)了“高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)閮r值引領,素養(yǎng)導向,能力為重,知識為基”[2].事實上,本題是非常通透的,恰如其分地考查了學生直觀感知,但最后的落腳點必須是理性證明.“通過考生的答題過程判斷考生是否真正理解數(shù)學概念、是否真正掌握數(shù)學思維方法”[3].

2 答題情況

2.1 主要解法歸納

同理,可得x0是函數(shù)g(x)-b在(0,1)的唯一零點.ex0是函數(shù)g(x)-b在(1,+∞)的唯一零點,因此直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)從左到右共有三個不同的交點(lnx0,b),(x0,b),(ex0,b),因為ex0+lnx0=2x0,所以這三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

第(2)問解法2 由(1)知,當x趨于無窮時,f(x),g(x)均趨于正無窮.并且f(x)=ex-x在(-∞,0)上嚴格單調(diào)遞減,在(0,+∞)上嚴格單調(diào)遞增,g(x)=x-lnx在(0,1)上嚴格單調(diào)遞減,在(1,+∞)上嚴格單調(diào)遞增,從而y=b與它們最多有4 個交點.若b≤1 時,y=b與兩條曲線y=f(x)及y=g(x)至多有兩個公共點,不合題意,從而b ＞1.此時且f(x)在(0,1)上嚴格單調(diào)遞增,g(x)在(0,1)上嚴格單調(diào)遞減,因此y=f(x)與y=g(x)在(0,1)上有唯一交點,即存在x0∈(0,1), 使得f(x0)=g(x0), 取b=f(x0)=g(x0),滿足題意,即

使得直線y=b與曲線y=f(x)及y=g(x)共有三個公共點,其橫坐標從小到大記為x1,x0,x2,則x1＜0＜x0＜1＜x2, 滿足f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)=b, 注意到f(lnx)=g(x), 所以有f(x1)=g(x0)=f(lnx0), 而由x1＜0,lnx0＜0,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減知

同理可得

因此由①②③得x1+x2=lnx0+ex0=2x0,所以存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

2.2 典型錯誤

第(1)問典型錯誤及所占比例

1.規(guī)范性不足(所占比例: 9.60%)

求函數(shù)最小值時, 缺少單調(diào)性的論述.如: 直接令f′(x)=0 得x=lna, 接著默認f(x)的最小值為f(x)min=f(lna).而論述單調(diào)區(qū)間時候, 部分考生并沒有把x的范圍求出來.如: 當a ＜ex時,f(x)在(-∞,ex)單調(diào)遞減.

2.極值與極值點的概念混淆(所占比例: 5.67%)

3.論證不夠嚴密(所占比例: 14.00%)

由方程a-alna=1+lna,直接得到a=1,缺乏對方程解的唯一性的論述.

4.不會解指數(shù)方程(所占比例: 4.93%)

令f′(x)=ex-a=0 得x=x1,后續(xù)運算帶著x1,最終無法解決問題.

5.邏輯錯誤(所占比例: 3.67%)

令a=1,直接展開做題.

6.缺乏分類意識,直接默認a ＞0 展開解題(所占比例:92.6%)

第(2)問典型錯誤及所占比例

1.依賴幾何直觀,缺乏代數(shù)運算(所占比例: 48.39%)

學生直觀得到f(x)與g(x)有交點x0,缺乏對x0的存在性和唯一性的嚴格論證.

2.缺乏解題目標, 做無用的代數(shù)變形(所占比例:28.23%)

由b=ex1-x1=ex0-x0=x0-lnx0=x2-lnx2,反復移項最后得到x1+x2=2x0.事實上,若沒有x1=lnx0,x2=ex0則無法推出結(jié)論,即學生省略了不可或缺的推理步驟.

3.邏輯欠嚴密(所占比例: 29.23%)

由f(x1)=f(lnx0)直接得到x1=lnx0,缺乏對f(x)的單調(diào)性進行論述或討論方程f(x)=b解的情況.

2.3 得分情況

得分分布表

由上表得分及對應比例可以看出此題入口寬,但是難以準確論證,對于良好和中等的學生區(qū)分度不明顯.

3 題源及變式

本題主要是源于互為反函數(shù)的函數(shù)圖像關于直線y=x對稱.水平直線y=b與f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx的圖像有四個交點A,B,C,D,如圖1 所示.

圖1

從而有b=ex-x,b=x-lnx,即ex=x+b,lnx=x-b,轉(zhuǎn)化為如下情形,如圖2 所示,直線y=x+b與f(x)=ex圖像交 于 點A(x1,ex1)、C(x3,ex3), 直線y=x - b與g(x)=lnx圖像交于點B(x2,lnx2)、D(x4,lnx4).因為A、B兩點關于直線y=x對稱, 所以x1=lnx2, 因為C、D兩點關于直線y=x對稱, 所以x4=ex3, 從而x1+x4=lnx2+ex3=x2-b+x3+b=x2+x3.

圖2

基于此原理,可以命制如下的變式題:

變式一已知函數(shù)f(x)=ex -x,g(x)=x-lnx,證明: 存在直線y=b, 其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點, 從左到右的四個交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,x4,且x1+x4=x2+x3.(若x2=x3,即成為2022年新高考I卷第22 題.)

考慮運行策略和投資主體利益的電轉(zhuǎn)氣容量雙層優(yōu)化配置//許志恒,張勇軍,陳澤興,林曉明,陳伯達//(13):76

注意到y(tǒng)=x+b與y=x-b也互為反函數(shù),進一步理解這類問題是由兩組互為反函數(shù)的函數(shù)來命制的,于是把直線方程替換為與y=bx,考慮如下情形:

圖3

則x2,x4是關于x的方程lnx=bx的兩根, 因為A、B兩點關于直線y=x對稱, 所以x1=lnx2, 因為C、D兩點關于直線y=x對稱, 所以x4=ex3, 從而x1x4=(lnx2)(ex3)=(bx2)

基于此原理,可以命制如下的變式:

變式二已知函數(shù),證明: 存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點,從左到右的四個交點的橫坐標為x1,x2,x3,x4,且x1x4=x2x3.

4 教學及備考建議

首先,教師在日常教學和備考中要主動理解試題的內(nèi)容屬性,明確考查目標中的必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)以及核心價值[4].因為在國家教育題庫2.0 的支撐下,兩個創(chuàng)新研究尤其突出: 高考命題從任務導向到過程導向的新管理模式創(chuàng)新; 圍繞題庫系統(tǒng)梳理考試全流程的數(shù)據(jù)生態(tài)體系創(chuàng)新.重塑考試業(yè)態(tài),并在大數(shù)據(jù)和信息技術(shù)輔助下,形成命題相關的新工作和分析方法[5].從這個角度看2022年新高考I卷第22 題就有豁然開朗的感覺.此壓軸題非常平實,又清新脫俗,煥發(fā)一種不同以往的風格.第一問是常規(guī)的求最小值問題,且所給函數(shù)也非常簡潔,考查了必備知識.不過也設置了一點梯度,需要學生直觀探索超越方程a-alna=1+lna的根,然后再構(gòu)造函數(shù)來說明根的唯一性,考查了關鍵能力.第二問證明f(x),g(x)兩者圖像有唯一交點,也需要構(gòu)造函數(shù),根據(jù)零點的存在性定理來說明,突出了學科素養(yǎng).客觀來說,在六道解答題中,此題難度并非最大,為何處于最后壓軸位置? 眾所周知,現(xiàn)在各種解題模式泛濫,甚至高一高二的教學都脫離課本最基本的定義和定理,教學和解題都異化為套路,學生得其形而不得其神,與國家的育人選材理念背道而馳.這道壓軸題無疑是一種重要的價值導向: 數(shù)學要重視回歸到的最基本的演繹說理.

其次,“現(xiàn)在沒有,將來也不會有任何事情具有像數(shù)學這樣的體系結(jié)構(gòu)......,盡管教師可能依賴所教數(shù)學能直接被應用的程度往數(shù)學中摻雜更多東西,仍存在著一種傾向: 把數(shù)學作為一種特別的體系結(jié)構(gòu)來教授”[6].我們高三教學更要注重幫助學生形成各種小的或大的結(jié)構(gòu),有利于學生更好地存取知識并能快速同化所遇到的問題.例如“利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)”這個結(jié)構(gòu)應該至少包含如下線索:

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的核心問題是研究方程f′(x)=0 的實根的情況;

(2)如果方程f′(x)=0 無實根,那么函數(shù)f(x)單調(diào);如果方程f′(x)=0 有實根,則進入“求根”環(huán)節(jié);

(3)如果方程f′(x)=0 的實根可以通過因式分解或者求根公式得到,那就可以進一步分析單調(diào)性、極值、最值;

(4)如果方程f′(x)=0 的實根不可以通過因式分解或者求根公式得到, 但是可以通過觀察、猜測得到, 那就進一步求f(x)的二階導數(shù), 據(jù)此判斷所觀察、猜測的方程f′(x)=0 的實根是否唯一,然后進一步分析單調(diào)性、極值、最值;

(5)如果方程f′(x)=0 的實根既不可以通過因式分解或者求根公式得到,也不可以通過觀察、猜測得到,那可以先把方程f′(x)=0 是否有實根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像是否有交點直觀感知,例如對于函數(shù)

再次,注重學生表述的準確性和教師教學規(guī)范性.學生表述的準確性是其關鍵能力和學科素養(yǎng)的外顯,在閱卷過程中,評卷員在評分細則指導下,有可能會對某些表述的準確性進行模糊化處理,從而在分數(shù)的角度無法體現(xiàn)出來,實際上這還有很大的提升空間.從學生答題情況來看,我們?nèi)粘＝虒W中,教師面對不同的生源,在函數(shù)與導數(shù)的教學中要求的尺度差異非常大,為了教學上的簡便,簡化甚至刪減了部分內(nèi)容,盡管這可以理解為分層教學,然而“教師或其他人對學生的能力認識是造成學生數(shù)學成績水平差異的主要原因”[7],對于含有一個參數(shù)的簡單的函數(shù),最基本的求導,分析單調(diào)性,求極值和最值,絕大部分學生都應該掌握,這都有基本的教學規(guī)范.除此之外,適當?shù)目v深教學是必須的,繁難內(nèi)容通過精心組織,合理呈現(xiàn),完全可以提高學生的吸收和轉(zhuǎn)化水平.事實上,中學數(shù)學教育最重要的一個任務是保持學生對數(shù)學的興趣和熱情,這必須源于對數(shù)學的深刻理解并有一種恍然大悟的喜悅和成就感, 而且知識之間具有隱性關聯(lián),教師人為剔除或者弱化某些知識難點, 這種不規(guī)范的做法,獲得了教學上的便利,卻付出了學生不及預期的代價.

5 結(jié)語

細細品味2022年新高考數(shù)學I卷,既在意料之外,又在情理之中,而第22 題那種靜水流深的感覺反襯了聒噪的教學和備考百態(tài).盡管資源日益豐富,教研更加繁榮,關于高考備考的各種思考和追求,歸根結(jié)底還是要回歸到日常的、平實的、有理解深度的教學中,我們必須保持勤奮、謙虛、好學和時代的敏感性,與國家、社會共同進步.