奚飛|浙江省桐廬縣實驗初級中學(xué)

1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（簡稱HPM，也常被用來代稱數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域）成立.HPM誕生之后，西方學(xué)者對數(shù)學(xué)史的教育價值進行了更為廣泛深入的探討，英國數(shù)學(xué)史家福韋爾總結(jié)了數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的15條理由，如：增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動機；改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀；有助于學(xué)生保持對數(shù)學(xué)的興趣；給予數(shù)學(xué)以人文的一面；有助于解釋數(shù)學(xué)在社會中的作用；介紹概念如何發(fā)展，有助于學(xué)生對概念的理解；通過古今方法對比，確立現(xiàn)代方法的價值等[1].

作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，初中數(shù)學(xué)對學(xué)生的成長有著重要的意義.但現(xiàn)實的數(shù)學(xué)教學(xué)往往重“技術(shù)”而輕“文化”.張奠宙等人指出：“數(shù)學(xué)文化必須走進課堂，在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味.”[2]數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，在數(shù)學(xué)教學(xué)中以數(shù)學(xué)史為載體滲透數(shù)學(xué)文化，能發(fā)揮學(xué)科育人價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展其思維，發(fā)展其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)樂學(xué)善學(xué)

興趣是最好的老師.學(xué)生一般都對歷史故事非常感興趣，因此，教師利用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境，能調(diào)節(jié)課堂氣氛，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂生動有活力，實現(xiàn)樂學(xué).此外，從知識到應(yīng)用有時會比較突兀，這時，采用適合的數(shù)學(xué)歷史故事引入，就能將學(xué)生的思維與所學(xué)知識自然銜接，助力學(xué)生對所學(xué)知識的理解與掌握，實現(xiàn)善學(xué).

案例1浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（以下簡稱“浙教版教材”）八年級上冊中《三角形全等的判定》的教學(xué)目標(biāo)之一是“理解角平分線的性質(zhì)定理”.這是三角形全等判定定理的運用.在學(xué)完判定定理后直接運用，是一種常見的處理方式.而在HPM視角下，判定定理的理解與運用之后，筆者講述歷史故事.

師：我們中國是文明古國.在非洲北部也有一個文明古國埃及，埃及的幾何學(xué)起源于尼羅河泛濫后土地的重新分配和測量.有這樣一件事：有兩個農(nóng)戶分別有甲、乙兩塊地在尼羅河南岸（圖略），兩塊地與河岸之間有一塊淤積地，他們想把這塊淤積地給分了，但他們算不出這塊淤積地的面積，怎么樣都找不到一個讓兩個人都滿意的分法，最后只有去找當(dāng)?shù)氐姆ü賮碓u判，這名法官對數(shù)學(xué)很有研究，很快就想出了令兩個人都滿意的分法.

師：同學(xué)們，如果你是法官，你會怎么分？

課堂氣氛被點燃，學(xué)生積極討論，動手操作，給出4種分法.在前兩種分法中，邊界上的點都是中點，但不能保證面積平分；第三種看似平分，但也不能讓人信服；第四種采用角平分線，這樣分界線上的任意位置到甲、乙邊界的距離都是一樣的.

師：（對第四種分法學(xué)生）你太棒了！你和法官的判決一模一樣，兩人確實按照法官的方式分了，而且都滿意.那么，同學(xué)們，角平分線上的點到角兩邊的距離是真的都相等嗎？

筆者以提問引導(dǎo)學(xué)生對猜想進行證明，學(xué)生在探究、證明的過程中就自然地運用了所學(xué)的新知識.

教學(xué)建議：教師可在教學(xué)新知識點前，先去查閱與這個知識有關(guān)的史料，然后采用學(xué)生喜歡的形式與課堂有機結(jié)合.比如教學(xué)“二元一次方程組”時，可講述“雞兔同籠”或“康熙皇帝巧解牛馬價”等故事，讓學(xué)生學(xué)方程組變得有趣；又如教學(xué)“物體位置的確定”時，可制作微課介紹“解析幾何之父”笛卡爾夢見蚊蠅的移動，夢醒之后豁然開朗，發(fā)明了解析幾何.在數(shù)學(xué)教學(xué)的激趣環(huán)節(jié)融入HPM，能在更宏大更深刻的視野下引領(lǐng)學(xué)生走進數(shù)學(xué)殿堂.

二、掌握概念符號，促進數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會接觸到許多概念、符號.很多教師不解釋這些概念和符號來源于哪里、其發(fā)展歷史是怎樣的，僅從特征去解釋教學(xué)，或者讓學(xué)生“死記硬背”.這樣學(xué)生就不能真正理解這些概念和符號，于是在解決問題的過程中就會出現(xiàn)困難，乃至演變成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難.向?qū)W生展示數(shù)學(xué)史，不僅能解釋一些概念或符號產(chǎn)生的歷史，而且能讓學(xué)生理解所學(xué)知識在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和作用，促進學(xué)生對整個數(shù)學(xué)有宏觀的認(rèn)識，幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，從而理解數(shù)學(xué).

案例2教學(xué)有理數(shù)的概念時，有學(xué)生問：“老師，為什么大多數(shù)的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)，大多數(shù)的偶數(shù)是合數(shù)，唯獨2這個質(zhì)數(shù)是偶數(shù)？”筆者還未回答，同學(xué)們就紛紛發(fā)表自己的觀點了.

生1：這個是古代數(shù)學(xué)家們定好的，我們只要記住就行！

生2：這只是湊巧而已，不需要去理解它.

生3：因為2是最小的正偶數(shù)，因數(shù)只有1和本身，而其他的偶數(shù)除了1和本身之外一定還有其他因數(shù)，所以只有2這個質(zhì)數(shù)是偶數(shù).

……

學(xué)生有疑惑，教師就必須解決.消除疑惑有助于理解數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué).這是一個絕佳的向?qū)W生展示數(shù)學(xué)史的機會.

師：同學(xué)們，你們都發(fā)表了自己的想法，但你們的表述還不能解決他對這個問題的疑惑.今天就給大家講講質(zhì)數(shù)和合數(shù)的由來.在古希臘時期，開始只有整數(shù)，而整數(shù)都可以用點來計數(shù)，而點又可以擺成各種圖案，聰明的古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)用整數(shù)點可以擺成直線和方形，由此可見古人有多么厲害.這很容易理解：數(shù)1不能擺成直線和方形，它只是一個點，所以1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；像2，3，5，7等數(shù)字，只能擺成直線，叫作質(zhì)數(shù)；其他的數(shù)既能擺成直線又能擺成方形，就叫作合數(shù).

生：哇!原來是這樣，這太有趣了，我們對質(zhì)數(shù)和合數(shù)又有了進一步的理解.

案例3在七年級數(shù)學(xué)中，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)，對此學(xué)生表示很不理解.

生：老師，難道有理數(shù)就是有道理的數(shù)？為什么叫有道理的數(shù)？

教學(xué)中不能讓這些疑問留在學(xué)生心里，而打開心結(jié)則需要借助數(shù)學(xué)史，來理解有理數(shù)這個名詞的來源.

師：“有理數(shù)”這一概念源自歐幾里德的《幾何原本》，希臘文是“λογο?”，原意是“成比例的數(shù)”.英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal構(gòu)成形容詞，全名為rational number，直譯成漢語就是“可比數(shù)”.“無理數(shù)”就是“不可比的數(shù)”.在中國明朝時，《幾何原本》傳入中國，明朝數(shù)學(xué)家徐光啟和學(xué)者利瑪竇翻譯《幾何原本》時，將這個詞譯為“理”，這個“理”指的是“比值”.

生：我們中國的翻譯沒有問題，那為什么會是現(xiàn)在這樣呢？

師：聽我接著講，日本在明治維新以前，歐美數(shù)學(xué)典籍的譯本多采用我們中國文言文的譯本，日本學(xué)者就將我們的翻譯直譯成了有道理的“理”了，沒有“比值”的意思了，后來慢慢地直接用錯誤的理解翻譯成了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”.清朝末期，政府派留學(xué)生到日本，又將這兩個名詞帶回中國.一直就這樣延續(xù)錯誤，以至于現(xiàn)在中國和日本都采用“有理數(shù)”的說法.

生：這叫將錯就錯啊，但我們理解了什么是“有理數(shù)”.

教學(xué)建議：在教學(xué)中出現(xiàn)一些讓學(xué)生難以理解的名詞時，我們要允許學(xué)生質(zhì)疑，不能讓他們死記硬背，而應(yīng)該去查閱史料，弄清概念產(chǎn)生的歷史，將之與課堂有機融合.比如說，勾股定理中的勾和股是什么意思？三角函數(shù)為什么叫正弦、余弦（余弦其實是“余角的正弦”的簡稱）、正切？此外，有些符號也會讓學(xué)生感覺很奇怪，不符合學(xué)生的認(rèn)知，比如“根號”，讓學(xué)生經(jīng)歷“”的發(fā)展歷史，他們就能理解根號了.概念是思維的細(xì)胞.只有理解概念或符號，才能理解數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、拓寬思維空間，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)中運用素材加強對學(xué)生思維的培養(yǎng)，方法的對比與提煉尤為重要.

（一）古今對比，拓寬思維

數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，很多方法經(jīng)過提煉，具有一定的模式和步驟，但有些時候現(xiàn)代的方法學(xué)生反而不太容易掌握，這時候我們就需要去思考為什么會這樣，是不是可以追本溯源，看看古時候是怎么做的.通過古今對比，學(xué)生可以對不同的方法進行比較，從而選擇適合自己的方法.此外，通過一題多解也能拓寬學(xué)生的思維，不會把學(xué)生按固定的方法教“死”.可見，以史為泉，能澆灌學(xué)生思維之花.

案例4HPM視角下的浙教版教材七年級下冊中《分式方程》的教學(xué)片段.

在引入分式方程的概念之后是分式方程的解法教學(xué)，筆者出示例題“解方程：=0”.旨在通過解題歸納出解分式方程的一般步驟及注意點.解分式方程的關(guān)鍵是通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程來解，這兩個方程的區(qū)別是：第一個方程有解；第二個方程有增根，是無解的.

學(xué)生存在的問題有兩個：一個是解分式方程比較復(fù)雜，去分母時易漏乘，解不對方程；另一個是分式方程易產(chǎn)生增根，學(xué)生會忘記檢驗，導(dǎo)致出錯.

生：老師，解分式方程時經(jīng)常會不小心出錯，怎么辦？

師：解分式方程需要按照步驟仔細(xì)求解，要明確有哪些步驟，每一步會出現(xiàn)什么樣的錯誤，都要做到心中有數(shù)，這樣才能保證正確.

生：老師，我會忘記驗根的！

師：為了幫助同學(xué)們解決這個問題，我再教你們一個解方程的方法，這不是我的原創(chuàng)，是古時候的解法，以第二個方程為例，我來展示一下，大家可以比較一下方法的優(yōu)劣.

生：哇，這方法太好了，解分式方程只要掌握了分式的加減運算就可以了，不用擔(dān)心漏乘，不用擔(dān)心增根問題.

（二）另類方法，促進思考

一題多解向來都是數(shù)學(xué)教學(xué)的常見形式.一題多解屬于發(fā)散性思維，教師要鼓勵學(xué)生嘗試一題多解，促進學(xué)生多角度思考問題.通過一題多解，學(xué)生能夠串聯(lián)知識，發(fā)展并提升創(chuàng)新思維能力.HPM視角下的課堂，不只是知識的探究與運用，而是將所學(xué)知識與歷史相結(jié)合，讓學(xué)生與古人一起探討.學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程后，就會賦予數(shù)學(xué)知識生機，促成思維能力的發(fā)展.

案例5《三角形的中位線》在浙教版教材中安排在八年級學(xué)完“平行四邊形的性質(zhì)與判定”之后.教材這樣安排，是因為中位線性質(zhì)定理的證明需要用平行四邊形的性質(zhì).但對于學(xué)生而言，學(xué)完平行四邊形之后突然轉(zhuǎn)到三角形的中位線就很突兀，因此，筆者追溯中位線的歷史，以HPM視角來設(shè)計教學(xué).

情境引入：幾何來源于生活中的土地分割，古代巴比倫有四兄弟要平分一塊三角形土地，你有哪些分法？

學(xué)生有如圖1-1，1-2的分法，主要利用了三角形中線的性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點.筆者出示圖1-3，剪下四個小三角形，通過疊合法會發(fā)現(xiàn)這四個小三角形全等，不難猜想得出EF//BC，EF=BC，從而給出中位線的定義.

圖1 三角形四等分的分法

分析：對性質(zhì)的證明，學(xué)生基本是構(gòu)造平行四邊形，如圖1-4，延長DE至點F，使EF=DE，連結(jié)CF，證得?BDFC，繼而證得DE//BC，DE=BC.證明的方法有很多，這是因為學(xué)生剛學(xué)過平行四邊形，正處于最近發(fā)展區(qū).

為了拓展學(xué)生思維，筆者介紹歷史上的三角形中位線定理的證明方法，其一是根據(jù)《幾何原本》中的一個命題：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點連線段平行于三角形的底邊.”[3]

如圖2，△ABC中D、E分別是AB、AC的中點，連接BE、CD，

圖2 三角形中位線

∵AD=BD,AE=CE，

∴S△ADE=S△BDE,S△ADE=S△CDE，

即S△BDE=S△CDE.

∴DE//BC（由兩個三角形同底，得到等高）.

又∵△BDE和△BCE的高相等.

∴DE=BC.

這個方法從三角形自己的中線角度出發(fā)，更容易讓學(xué)生接受.

另一個方法是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用割補法推導(dǎo)三角形的面積公式：連接三角形兩邊中點，得到中位線，過頂點作中位線的垂線段，將中位線上方的兩個直角三角形旋轉(zhuǎn)至原三角形兩側(cè)，可以證明得到的是長方形，長方形的面積等于原三角形的面積，長方形的高等于原三角形高的一半，所以三角形的面積等于底乘以高的一半；由得到的是長方形可知對邊平行且相等，很快就可得出中位線平行于底邊且等于底邊的一半.

教學(xué)建議：在學(xué)習(xí)一些重要知識的時候，我們可以古今對比，引發(fā)思考.比如乘法公式的圖形研究，一元二次方程的古代解法，勾股定理的證明，等等.通過對比，學(xué)生不僅會加深對知識的理解，還能發(fā)現(xiàn)不一樣的解法.多種解法能夠促進學(xué)生思維的靈活性，古今對比能讓學(xué)生感受思維的辯證性.

四、培養(yǎng)科學(xué)精神，實現(xiàn)學(xué)科育人

每個學(xué)科不僅具有自己的符號表達、知識體系和思維方式，也都有自己內(nèi)含的價值性和道德意義，是世界觀、人生觀和價值觀的構(gòu)成因素[4].因此，數(shù)學(xué)中也蘊含著巨大的德育資源，在育人方面有著重要的作用.數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展當(dāng)中有很多好的素材，可以幫助我們培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀品質(zhì)，比如明辨是非的能力、不畏挫折堅持真理的品質(zhì)、不拋棄不放棄的精神、學(xué)會質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新等.從某種程度上說，這些品質(zhì)比知識本身更重要.

案例6HPM視角下浙教版教材七年級上冊中《實數(shù)》的教學(xué)實踐.

生：這還會有危機??？老師給我們講講吧.

師：古希臘大數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的學(xué)生希帕索斯在研究直角三角形的邊長之間的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)直角邊為1和1的斜邊不是一個可以用整數(shù)比來衡量的數(shù)，他把它稱為不可比的數(shù)，但畢達哥拉斯不承認(rèn)這種新數(shù).畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬物都是可以用整數(shù)和整數(shù)的比來衡量的，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)無疑是一個驚天雷，人們都不相信他.為此，希帕索斯在當(dāng)時受到了不公的待遇，但他還是堅持，后來還證明了無理數(shù)的存在.

師：同學(xué)們，希帕索斯這種不畏權(quán)威、敢于堅持真理的品質(zhì)非常值得我們學(xué)習(xí).

案例7對浙教版教材七年級上冊中的《用字母表示數(shù)》，很多教師覺得奇怪，這么簡單的知識有些學(xué)生就是學(xué)不好.但如果我們?nèi)パ芯繑?shù)學(xué)史，就會發(fā)現(xiàn)其實學(xué)生已經(jīng)很厲害了.公元前1700年古巴比倫人開始用文字來表示方程，這可以說是“文字代數(shù)”.之后過了大約2000年，丟番圖在其《算術(shù)》中首次用“?”來表示未知數(shù)，他也只是表示一個數(shù)，并不知道用字母來表示任何數(shù)，這可稱為“縮略代數(shù)”，我們中國宋元時期的“天元術(shù)”也屬于這個范疇.又經(jīng)過了大約1300年，韋達在《分析引論》中使用字母表示任何數(shù)，出現(xiàn)了“字母代數(shù)”，實現(xiàn)了歷史的突破.[5]字母表示數(shù)從無到有經(jīng)歷了3000多年，這是多么漫長的一個過程，而學(xué)生要在一兩節(jié)課或一個星期掌握這個知識，出現(xiàn)困難是很正常的.

教學(xué)建議：在備課時，教師除了組織教學(xué)外，還需要思考這節(jié)課有沒有可以體現(xiàn)育人功能的素材及其如何與課堂教學(xué)有機結(jié)合，是否有跟所學(xué)知識有關(guān)的小故事及其能否融入課堂、發(fā)揮育人價值.中國有很多數(shù)學(xué)史故事，這不僅能讓學(xué)生感受到祖國的偉大，增強愛國情感，還能進而達成學(xué)科育人的宏愿.

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)不可多得的優(yōu)質(zhì)資源.HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的價值應(yīng)該遠不止這些，值得我們繼續(xù)探索.在教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)所教的知識選取合適的史料并加工，采用教師講述、學(xué)生閱讀、網(wǎng)絡(luò)搜索、制作微視頻等學(xué)生喜聞樂見的方式適時融入課堂，使數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育有機結(jié)合.實踐HPM視角下的教學(xué)，一方面能夠創(chuàng)設(shè)有文化的課堂，提高課堂效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實現(xiàn)素質(zhì)教育.另一方面，它也讓教師知識變得淵博，專業(yè)能力不斷成長.因此，HPM能讓教師和學(xué)生教學(xué)相長，實現(xiàn)共同進步，值得進一步探索.