孫振東 ,王苗苗

(1.山東科技大學電氣與自動化工程學院,山東青島 266590;2.中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院系統(tǒng)控制重點實驗室,北京 100190)

1 引言

切換系統(tǒng)由若干動態(tài)子系統(tǒng)和一個在子系統(tǒng)間進行切換的監(jiān)控裝置組成.這類系統(tǒng)包含連續(xù)的系統(tǒng)動態(tài)、離散的邏輯動態(tài)及其相互作用,是一類基本而典型的混合動態(tài)系統(tǒng).在建模層面上,切換系統(tǒng)能夠較精確地描述許多工程系統(tǒng),例如:具有典型切換特性的電力電子系統(tǒng)[1-2]、邏輯系統(tǒng)[3-4]、機器人系統(tǒng)[5]、病毒傳播[6]等.此外,切換系統(tǒng)的研究對于深入理解經(jīng)典控制理論中一些重要的問題,比如,自適應(yīng)控制問題、智能控制問題、魯棒控制問題等,具有重要的價值[7-9].

對切換系統(tǒng)的研究自1960年代起就受到一些學者的關(guān)注,并從1990年代起成為國際自動控制界和計算機界一個持續(xù)的研究熱點和主流方向.針對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控能觀測性、二次最優(yōu)設(shè)計等核心問題,發(fā)展了共同Lyapunov方法、多Lyapunov方法、平均方法等理論工具,這些工具不僅推動切換系統(tǒng)研究取得重要進展,而且有關(guān)理論和方法還成功應(yīng)用于多智能體協(xié)同控制、信息物理系統(tǒng)等多個新興領(lǐng)域[10-14].

切換線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題是尋找適當?shù)姆答伩刂戚斎?切換策略使得切換(受控)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.作為切換動態(tài)系統(tǒng)的核心理論難題,切換鎮(zhèn)定問題受到廣泛關(guān)注[15-20].隨著研究的深入,對鎮(zhèn)定問題的復雜性有更深入的理解:1)可鎮(zhèn)定的切換自治系統(tǒng)不一定具有凸(control-)Lyapunov函數(shù)[21],這表明基于凸泛函搜索的算法設(shè)計只能提供鎮(zhèn)定問題有解的充分條件;2)如果每個子系統(tǒng)只配置一個線性反饋增益,那么能控性不足以保證系統(tǒng)可鎮(zhèn)定[11].這些內(nèi)在特征揭示了切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題具有明確的非凸/非線性/時變特性,表明鎮(zhèn)定問題是深具挑戰(zhàn)性的問題.

本文針對沒有控制輸入的離散時間切換線性自治系統(tǒng),尋求適當?shù)那袚Q規(guī)則實現(xiàn)切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.對二階連續(xù)時間切換自治系統(tǒng),已有可驗證的構(gòu)造性設(shè)計[22-23].對一般連續(xù)時間/離散時間切換自治系統(tǒng),文獻[24]提出分路徑狀態(tài)反饋的切換策略,證明系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的充要條件是存在此類切換策略實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定.本文考慮系統(tǒng)狀態(tài)不完全可量測的情形,提出基于觀測器反饋的切換策略,在系統(tǒng)切換可觀測的假設(shè)下給出切換線性自治系統(tǒng)的構(gòu)造性設(shè)計.切換系統(tǒng)的觀測器構(gòu)造設(shè)計可以視為反饋鎮(zhèn)定設(shè)計的對偶問題,其挑戰(zhàn)性包括:1)對切換系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定問題,目前的主要成果是針對特定系統(tǒng)類,比如,低階系統(tǒng),尚缺乏針對一般系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定設(shè)計方法;2)對于Luenburger型觀測器,觀測器本身就是切換系統(tǒng),且其切換信號不獨立(與原系統(tǒng)共享切換信號).當把觀測器嵌入切換策略時,必須同時兼顧原系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng),即需要設(shè)計同時鎮(zhèn)定原系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)的共同切換策略.本文基于對實現(xiàn)能控/能觀測切換信號的新進展[26],提出一類具有時變增益的Luenburger型觀測器,可在有限時間實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的無差估計,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展分路徑觀測器反饋的切換策略,實現(xiàn)對原系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)的共同鎮(zhèn)定.

2 預(yù)備知識

2.1 系統(tǒng)描述

記R是實數(shù)集,Rp和Rn×m分別是p維實(列)向量和n×m實矩陣.記N+是非負整數(shù)集.設(shè)s1,s2∈N+且s1＜s2,記

2.2 切換路徑

切換路徑是定義在有限(離散時間)區(qū)間上的時間驅(qū)動切換信號:給定自然數(shù)s2＞s1,稱θ:1,s2為定義在區(qū)間1,s2上的切換路徑.

顯見,兩個切換路徑的串接仍為切換路徑.多個路徑的串接可循結(jié)合律定義.

2.3 狀態(tài)觀測器

對切換系統(tǒng)(1),當系統(tǒng)狀態(tài)不完全可量測時,可通過輸出量測獲得狀態(tài)的估計.本文考慮的觀測器形式為

觀測器與切換系統(tǒng)共享同一切換信號,因此這里的切換信號不是獨立變量.注意到觀測器增益矩陣不僅依賴切換信號,而且是顯示依賴時間的,這表明要為同一個子系統(tǒng)配置多個線性增益矩陣.考慮到系統(tǒng)初始狀態(tài)未知,本文設(shè)置觀測器初態(tài)為原點,即=0.把觀測器(2)從初始沿切換信號σ的軌線記為

給定切換信號σ,稱觀測器(2)對系統(tǒng)(1)的觀測是σ-漸近的,如果有

定義1[11]稱切換系統(tǒng)(1)是可觀測的,如果存在t1＞t0,使得初態(tài)x(t0)可由輸出y(t),t ∈[t0,t1)唯一決定.

2.4 反饋鎮(zhèn)定問題

定義2[24]稱切換系統(tǒng)(1)是可(狀態(tài)反饋指數(shù))鎮(zhèn)定的,如果存在正實數(shù)α ＜1,β≥1使得對所有初態(tài)x0∈Rn都存在切換信號σ(t)滿足

1.3 聾生掌握計算機水平的參差不齊，聾生能力的差距導致聾生完成任務(wù)所需時間存在較大差異。大大影響著教師的授課及課堂目標的完成。

定義3稱切換系統(tǒng)(1)是可動態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定的,如果存在正實數(shù)α ＜1,β≥1及狀態(tài)觀測器(2)使得對所有初態(tài)x0∈Rn都存在觀測器驅(qū)動切換信號σ(t)滿足

本文探討的反饋鎮(zhèn)定問題是尋求適當?shù)幕谟^測器的切換策略使得增廣系統(tǒng)(1)-(2)是指數(shù)穩(wěn)定的.

3 主要結(jié)果

假設(shè)1切換系統(tǒng)(1)是可鎮(zhèn)定的.

假設(shè)2切換系統(tǒng)(1)是可觀測的.

由切換系統(tǒng)可觀測性質(zhì)[11],存在j1∈M,p維行向量Hj1,及矩陣集Gi ∈Rn×p,i ∈M使得切換系統(tǒng)

注1由估計誤差動態(tài)(8)可知,當估計誤差在某一時刻為零,則誤差在其后的所有時刻都為零.這表明觀測器(2)是θ0-有限時間觀測器.

定理2在假設(shè)1-2下,切換系統(tǒng)(1)是可動態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定的.

證記Φ為切換系統(tǒng)(1)沿切換律(6)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,即

其中?是任意給定的正實數(shù).

定義切換路徑

注2定理2給出的觀測器和切換策略設(shè)計是交互式遞推定義.首先,解決基于分路徑狀態(tài)反饋的鎮(zhèn)定問題,獲得一組滿足狀態(tài)模壓縮的切換路徑;再尋求實現(xiàn)可觀測性的切換路徑.將這兩組路徑進行適當組合,獲得一組既滿足模壓縮又實現(xiàn)可觀測性的(共同)路徑集.實現(xiàn)動態(tài)觀測器反饋的切換策略是對共同路徑集通過特定時刻(t0,t1,···)觀測器狀態(tài)進行反饋,從公共路徑集中選擇對觀測器狀態(tài)模壓縮的路徑,由此迭代獲得定義在時間空間(N+)上的切換策略.觀測器增益矩陣是準周期選定的:在+1的子區(qū)間依次選定n個時刻施予不同增益,其余時間的增益均為零.

4 示例

考慮包含兩個子系統(tǒng)的二階切換系統(tǒng)(1),其中:

容易驗證此系統(tǒng)可觀測,可鎮(zhèn)定,但不存在凸(control-)Lyapunov函數(shù)[21].

經(jīng)計算可知

另一方面,可以求得具有狀態(tài)模壓縮性質(zhì)的切換路徑

基于上述推導,可以通過式(10)迭代給出觀測器和切換策略設(shè)計.

給定初態(tài)x0=.圖1給出了系統(tǒng)軌線、觀測器軌線及對應(yīng)的切換信號.可以看出,系統(tǒng)軌線指數(shù)收斂,觀測器軌線和系統(tǒng)軌線在第4 s及以后重合.

圖1 系統(tǒng)軌線、觀測器軌線及切換信號Fig.1 State,observer,and switching signal

為展示本文設(shè)計方案的魯棒性能,假設(shè)系統(tǒng)受到(時變/狀態(tài)依賴)混合干擾

圖2給出了對應(yīng)的系統(tǒng)軌線、觀測器軌線及對應(yīng)的切換信號.盡管系統(tǒng)出現(xiàn)更大的超調(diào),系統(tǒng)軌線仍指數(shù)收斂.

圖2 受擾的系統(tǒng)動態(tài)Fig.2 Disturbed dynamics

5 結(jié)語

針對離散時間切換線性自治系統(tǒng),在系統(tǒng)可觀測的假設(shè)下,設(shè)計了一類具有時變增益的切換觀測器,證明觀測器可在有限時間內(nèi)獲得系統(tǒng)狀態(tài)的精確估計.進一步,在系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的假設(shè)下,設(shè)計了基于分路徑觀測器驅(qū)動的切換策略,證明系統(tǒng)軌線指數(shù)收斂.所給出的觀測器設(shè)計和切換信號設(shè)計是構(gòu)造性的.仿真示例表明本文提出的設(shè)計方案是可行性,同時具有一定的魯棒性.