莊乾輝 ,肖 敏 ,王 赫 ,邱建龍 ,梁金玲 ,蔣海軍

(1.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院人工智能學(xué)院,江蘇南京 210023;2.臨沂大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,山東臨沂 276000;3.東南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210096;4.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊 830047)

1 引言

信息物理融合系統(tǒng)(cyber-physical systems,CPS)是多維異構(gòu)的計(jì)算單元和物理對(duì)象在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中高度集成交互的新型智能復(fù)雜系統(tǒng),具有實(shí)時(shí)、魯棒、自治、高效和高性能等特點(diǎn)[1].由于信息技術(shù)的高速發(fā)展,CPS已廣泛應(yīng)用于醫(yī)療設(shè)備、國(guó)防系統(tǒng)、自動(dòng)化系統(tǒng)、智能電網(wǎng)以及智能空間等眾多領(lǐng)域,是下一代產(chǎn)業(yè)革命的核心技術(shù)[2-5].

CPS內(nèi)部節(jié)點(diǎn)作為連接網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和物理系統(tǒng)的橋梁,對(duì)惡意病毒的攻擊非常敏感,以至于時(shí)常會(huì)產(chǎn)生無(wú)法滿足人們預(yù)期要求的情形,從而引發(fā)系統(tǒng)故障或造成系統(tǒng)失調(diào),最終導(dǎo)致眾多CPS應(yīng)用領(lǐng)域遭受嚴(yán)重?fù)p失[6-9],給國(guó)家基礎(chǔ)設(shè)施和人民群眾的生命財(cái)產(chǎn)安全帶來(lái)巨大的威脅.2010年首次檢測(cè)出的震網(wǎng)病毒能夠定向攻擊物理世界中基礎(chǔ)能源設(shè)施,摧毀了伊朗核工廠和諸多工業(yè)企業(yè)[10].2012年出現(xiàn)的火焰病毒對(duì)一些國(guó)家的核設(shè)施和關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施造成了巨大破壞.2017 年全球爆發(fā)的永恒之藍(lán)勒索病毒,對(duì)多個(gè)國(guó)家政府、教育、醫(yī)院、能源、通信、交通、制造等諸多關(guān)鍵信息基礎(chǔ)設(shè)施進(jìn)行了前所未有的毀壞.為了更好地分析惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理,學(xué)者們將非線性動(dòng)力學(xué)、信息物理融合系統(tǒng)和病毒傳播理論[11]相結(jié)合,建立了SIR模型、SIRS模型、SIQR模型和SIQRS模型[12]等非線性CPS惡意病毒傳播模型.上述模型成功揭示了惡意病毒在CPS內(nèi)部的演化趨勢(shì)和復(fù)雜動(dòng)態(tài)特征.

惡意病毒的傳播會(huì)致使CPS出現(xiàn)叉型、鞍結(jié)點(diǎn)、Neimark-Sacker、Hopf等多種分岔現(xiàn)象.其中,Hopf分岔是一種常見(jiàn)的動(dòng)態(tài)分岔現(xiàn)象.目前,在Hopf分岔研究方面,已獲得了許多重要成果[13-15].通過(guò)分析惡意病毒傳播模型的Hopf分岔能夠?qū)阂獠《镜念A(yù)測(cè)和控制提供戰(zhàn)略指導(dǎo).Yu[16]針對(duì)惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理,建立了一個(gè)傳播動(dòng)力學(xué)模型以分析其Hopf分岔現(xiàn)象,并提出混合分岔控制策略控制Hopf分岔點(diǎn)的位置.Feng[17]提出了一種新的具有雙重延遲和多狀態(tài)反病毒措施的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型,利用穩(wěn)定性和Hopf分岔理論,證明了惡意病毒傳播的穩(wěn)定性存在一個(gè)臨界延遲值.Wang[18]建立了一類更具有一般性的多時(shí)滯惡意病毒傳播模型,給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分岔的條件,并進(jìn)一步研究了分岔點(diǎn)和感染率及預(yù)防效果系數(shù)的關(guān)系.

眾所周知,惡意病毒傳播是一種在空間和時(shí)間上都發(fā)生的現(xiàn)象.當(dāng)CPS被某一類惡意病毒攻擊時(shí),CPS并不會(huì)立刻淪陷,惡意病毒在CPS中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)傳播時(shí)均需要一定的時(shí)間.然而,時(shí)間延遲的影響在文獻(xiàn)[13]中被忽略了.另一方面,CPS中網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和物理系統(tǒng)連接的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)在空間分布中是不均勻的,在惡意病毒傳播模型中引入描述空間位置的反應(yīng)擴(kuò)散,可以反映空間位置對(duì)惡意病毒傳播的影響.然而,目前的許多工作大多局限于常微分方程,不能反應(yīng)空間位置對(duì)惡意病毒傳播的影響,如文獻(xiàn)[11-12]和文獻(xiàn)[14-16].為了更加精準(zhǔn)刻畫(huà)惡意病毒在信息物理融合系統(tǒng)中的演化,本文將已有的常微分方程模型擴(kuò)展到偏微分方程模型,建立了一個(gè)具有時(shí)滯和擴(kuò)散效應(yīng)的惡意病毒傳播模型,將病毒傳播動(dòng)力學(xué)從時(shí)間維度提升到時(shí)空維度.本文考慮了惡意病毒逐個(gè)攻破CPS內(nèi)部節(jié)點(diǎn)并向下一節(jié)點(diǎn)傳播的時(shí)間和感染節(jié)點(diǎn)從感染到隔離的時(shí)間,這兩個(gè)因素會(huì)影響CPS的穩(wěn)定性.此外本文還確定了擴(kuò)散系數(shù)對(duì)圖靈不穩(wěn)定性的發(fā)生和時(shí)滯對(duì)Hopf分岔存在性的影響.

本文的其余部分組織如下: 在第2節(jié)中,提出了一個(gè)時(shí)空惡意軟件傳播模型,并通過(guò)計(jì)算給出了特征方程;在第3節(jié)中,只考慮擴(kuò)散,研究了無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)的圖靈不穩(wěn)定性;在第4節(jié)中,考慮時(shí)滯和擴(kuò)散,證明了系統(tǒng)Hopf分岔的存在性;在第5節(jié)中,給出了數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性;在第6部分,得出結(jié)論.

2 模型公式

本文基于SIQR惡意病毒傳播常微分方程模型[12],考慮空間上的擴(kuò)散效應(yīng),建立一類反應(yīng)擴(kuò)散SIQR惡意病毒傳播動(dòng)力學(xué)模型.假設(shè)SIQR模型中各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)分布密度具有歸一化特征,即S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,則消去R態(tài)節(jié)點(diǎn)不會(huì)影響整體動(dòng)力學(xué)行為,得到如下偏微分方程:

其遵循如下諾伊曼邊界條件和初始條件:

其中:S(x,t),I(x,t)和Q(x,t)分別表示易感染節(jié)點(diǎn),感染節(jié)點(diǎn)和隔離節(jié)點(diǎn)在空間位置x和時(shí)間t上的分布密度;aS(x,t-τ1)I(x,t-τ1)/[1+pS(x,t-τ1)]表示實(shí)際感染率,a是感染率,p是預(yù)防效果系數(shù);rS(x,t)(1-S(x,t))表示易感節(jié)點(diǎn)的logistic增長(zhǎng)率,r是內(nèi)稟增長(zhǎng)率;τ1和τ2分別表示潛伏期和隔離期;c和q分別表示隔離率和轉(zhuǎn)化率;b和d表示治愈率;u是接入率,-uS(x,t)中的u是退出率,這里接入率和退出率相等;d1,d2和d3分別表示易感染節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)和隔離節(jié)點(diǎn)空間擴(kuò)散速率的擴(kuò)散系數(shù);初始條件S0(x,t),I0(x,t)和Q0(x,t)是非負(fù)連續(xù)函數(shù).

注1諾伊曼邊界條件:給出未知函數(shù)在邊界外法線的方向?qū)?shù).本文考慮了惡意病毒在一維空間中的擴(kuò)散情況.Δ=?2/?x2表示一維空間中的拉普拉斯算子;Ω=(0,π)表示1個(gè)光滑邊界?Ω的有界域,η是?Ω上向外的單位法向量.

考慮到CPS的工程意義,惡意病毒在CPS中傳播時(shí)的潛伏期和隔離期實(shí)際為S態(tài)節(jié)點(diǎn)和I態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化的過(guò)程,在當(dāng)代計(jì)算機(jī)的運(yùn)算水平下,時(shí)間延遲的數(shù)值差異極小.不失一般性,假設(shè)τ1=τ2=τ,模型(1)變?yōu)?/p>

證畢.

3 時(shí)空動(dòng)力學(xué)分析

基本再生數(shù)R0是判斷惡意病毒能否在CPS中傳播的閾值,具有重要的指示性.本文借助再生矩陣方法[12,14,16,18]計(jì)算模型(2)的基本再生數(shù)R0.當(dāng)I(x,t)=0時(shí),模型(2)中惡意病毒不存在.令模型(2)右端為0,不考慮擴(kuò)散項(xiàng)易見(jiàn)模型(2)總存在無(wú)病毒平衡點(diǎn)E0=(1,0,0).忽略擴(kuò)散和時(shí)滯,令X=(I Q)T,由模型(2)可知

其在無(wú)病毒平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣分別為

當(dāng)微分方程右端為0時(shí),模型(2)所示系統(tǒng)還具有1個(gè)地方病毒平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,Q*),其中:

引理2如果R0=1,模型(2)具有無(wú)病毒平衡點(diǎn)E0;如果R0＞1,模型(2)具有1個(gè)地方病毒平衡點(diǎn)E*.

證當(dāng)R0=1時(shí),有a=(1+p)(b+c+u).此時(shí),S*=1,I*=0,Q*=0,表明地方病毒平衡點(diǎn)E*退化為無(wú)病毒平衡點(diǎn)E0;若R0＞1,則易見(jiàn)0＜S* ＜1,進(jìn)而有I* ＞0,Q* ＞0.此時(shí)模型(2)具有1個(gè)地方病毒平衡點(diǎn)E*. 證畢.

令

則模型(2)在平衡點(diǎn)E*處的雅可比矩陣為

所以,式(4)可以轉(zhuǎn)化為以下形式:

在接下來(lái)的兩小節(jié)中,分析模型(2)的圖靈不穩(wěn)定性以及Hopf分岔的存在性.

3.1 圖靈不穩(wěn)定

圖靈不穩(wěn)定本質(zhì)上是由擴(kuò)散引起的不穩(wěn)定現(xiàn)象.本節(jié)主要研究在無(wú)時(shí)滯情形下,模型(2)的圖靈不穩(wěn)定性.

當(dāng)τ=0,di=0(i=1,2,3)時(shí),特征方程(6)退化為

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知,如果(H1)成立,特征方程(7)的根均具有負(fù)實(shí)部.因此,模型(2)在無(wú)時(shí)滯和無(wú)擴(kuò)散的情況下是局部漸近穩(wěn)定的.

由引理1 可知,若A3＞0,(H2)和(H3)成立,則f()=B3()＜0.因此,方程g(λ;k0)=0至少有1個(gè)正根.

定理1假設(shè)R0＞1,τ=0,且(H1)-(H3)成立.對(duì)于模型(2),本文有如下結(jié)論:

1)當(dāng)di=0(i=1,2,3)時(shí),地方病毒平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

2)當(dāng)di ＞0(i=1,2,3)時(shí),地方病毒平衡點(diǎn)E*處發(fā)生圖靈不穩(wěn)定.

3.2 時(shí)滯誘導(dǎo)的Hopf分岔

在這一部分,考慮模型(2)的Hopf分岔.

當(dāng)τ=0,di ＞0(i=1,2,3)時(shí),模型(2)的特征方程為式(8).做如下假設(shè):

如果(H1)和(H4)成立,那么對(duì)于任意x＞0,f(x)＞0.因此B3(k2)＞0.

通過(guò)計(jì)算得到

根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù),如果(H1)和(H4)成立,對(duì)于所有k ∈{0,1,2,···},方程(8)的根均具有負(fù)實(shí)部.因此,無(wú)時(shí)滯模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ ＞0,di ＞0(i=1,2,3)時(shí),假設(shè)特征方程(6)有純虛根λ=iω(ω ＞0),將其代入式(6)并分離實(shí)部和虛部得

對(duì)方程(13)兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)得

定理2假設(shè)R0＞1,di＞0(i=1,2,3),且(H1),(H5)-(H13)成立.對(duì)于模型(2),有如下結(jié)論:

1) 當(dāng)τ ∈[0,τ0)時(shí),地方病毒平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

2) 當(dāng)τ ＞τ0時(shí),地方病毒平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的,且當(dāng)τ穿越τ0時(shí),模型(2)在E*鄰近發(fā)生Hopf分岔.

4 數(shù)值仿真

在這一節(jié)中,本文進(jìn)行了一些數(shù)值模擬,以驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性.模型(2)的參數(shù)選為

通過(guò)計(jì)算,得到R0=1.2422＞1及地方病毒平衡點(diǎn)E*=(0.7972,0.1182,0.0788).

首先研究擴(kuò)散對(duì)模型(2)穩(wěn)定性的影響.選取初始條件為S(0,x)=0.7972+0.5 cosx,I(0,x)=0.1182+0.5 cosx,Q(0,x)=0.0788+0.5 cosx.當(dāng)τ=0,d1=d2=d3=0時(shí),可知(H1)成立.圖1展現(xiàn)了模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

圖1 模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的Fig.1 The local virus equilibrium E*of model(2)is locally asymptotically stable

當(dāng)τ=0,d1=1,d2=0.001,d3=0.001時(shí),易驗(yàn)證(H2)和(H3)成立.圖2表明在擴(kuò)散的影響下,模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的,這意味著圖靈不穩(wěn)定發(fā)生.

圖2 模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的Fig.2 The local virus equilibrium E*of model(2)is unstable

然后,本文數(shù)值驗(yàn)證時(shí)滯誘發(fā)的Hopf分岔現(xiàn)象.令d1=d2=d3=1,并且初始條件為S(0,x)=0.8,I(0,x)=0.12,Q(0,x)=0.08.由式(9)和式(10)計(jì)算得ω0=0.0173,τ0=16.8662.此時(shí),(H5)-(H13)均滿足.

當(dāng)τ=16＜τ0=16.8662時(shí),模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的,如圖3所示;當(dāng)τ=17＞τ0=16.8662時(shí),模型(2)的地方病毒平衡點(diǎn)E*變?yōu)椴环€(wěn)定,同時(shí)在E*鄰近產(chǎn)生Hopf分岔,如圖4所示.

圖3 當(dāng)τ=16 ＜τ0=16.8662時(shí),模型(2)的波形圖以及相圖Fig.3 Waveform plots of model (2) with τ=16 ＜τ0=16.8662 and the phase portrait

圖4 當(dāng)τ=17 ＞τ0=16.8662時(shí),模型(2)的波形圖以及相圖Fig.4 Waveform plots of model(2)with τ=17 ＞τ0=16.8662 and the phase portrait

5 結(jié)論

本文通過(guò)引入擴(kuò)散項(xiàng),時(shí)滯,易感節(jié)點(diǎn)的logistic增長(zhǎng)率,深化和完善了惡意病毒在CPS系統(tǒng)內(nèi)部傳播的時(shí)空動(dòng)態(tài)演化研究.重點(diǎn)分析了擴(kuò)散和時(shí)滯對(duì)CPS病毒傳播模型動(dòng)力學(xué)的影響.首先討論了無(wú)時(shí)滯模型的穩(wěn)定性.發(fā)現(xiàn)擴(kuò)散項(xiàng)的引入會(huì)導(dǎo)致模型的不穩(wěn)定,并嚴(yán)格證明了無(wú)時(shí)滯CPS病毒傳播模型圖靈不穩(wěn)定的存在性.其次,本文分析了CPS病毒傳播模型的Hopf分岔.選取時(shí)滯作為分岔參數(shù),得到了Hopf分岔發(fā)生條件并給出了分岔閾值解析表達(dá)式.當(dāng)時(shí)滯小于分岔閾值時(shí),擴(kuò)散的CPS病毒傳播模型處于穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)時(shí)滯穿越分岔閾值時(shí),模型失去穩(wěn)定性并發(fā)生Hopf分岔.未來(lái)工作致力于分岔方向和分岔周期解穩(wěn)定性的深入研究.