堯少波，何偉峰，陳麗華，吳昌聚，陳偉芳

(浙江大學 航空航天學院，杭州 310027)

0 引 言

流體力學研究方法隨研究工具的發(fā)展不斷創(chuàng)新和變革，計算機的發(fā)展促使流體力學的研究方法從最開始的理論推導和實驗模擬逐漸轉(zhuǎn)向借助計算機對流體力學問題進行數(shù)值建模，這一轉(zhuǎn)變直接導致計算流體力學（computational fluid dynamics, CFD）這一學科的出現(xiàn)。人工智能（artificial intelligence, AI）被稱為第四次工業(yè)革命的催化劑，是21 世紀被廣泛提及的一個名詞。AI 依靠大數(shù)據(jù)和優(yōu)秀的算法不斷為傳統(tǒng)領(lǐng)域賦能，突破傳統(tǒng)領(lǐng)域的技術(shù)壁壘。流體力學作為經(jīng)典學科，AI 能否為其帶來新的活力？2019 年以來，流體力學智能化這個名詞逐漸在會議和文章中被提及，越來越多的研究人員開始關(guān)注流體力學智能化這一領(lǐng)域。張偉偉[1]對流體力學智能化問題進行了系統(tǒng)性地歸納和總結(jié)，將其主要內(nèi)容分為三部分：1）流體力學理論和方法的智能化，探索融合經(jīng)典流體力學理論和人工智能算法的新理論，以解決經(jīng)典方法存在的問題和不足；2）流動信息特征提取與融合的智能化，流體力學數(shù)據(jù)繁多復雜，人類大腦難以從這么龐大的數(shù)據(jù)信息中發(fā)掘一些有價值的信息，相反人工智能算法恰恰非常適合處理大數(shù)據(jù)問題，因此使用基于人工智能的算法可以挖掘和融合不同來源的流體數(shù)據(jù)信息；3）多學科、多場耦合模型的智能化，人工智能可以充當一種粘合劑將經(jīng)典流體力學、計算機和自動控制學科緊密地聯(lián)系起來，從而做到多學科之間的相互交融和協(xié)作。對此，國內(nèi)外研究者們在近期開展了廣泛的研究與探索，如應用人工智能技術(shù)研究湍流模型[2-7]，以及在飛行器設(shè)計中的應用研究[8]。

流體力學智能化需要在經(jīng)典流體力學研究方法和成果的基礎(chǔ)上結(jié)合人工智能技術(shù)，流體力學大數(shù)據(jù)小樣本的學科特點和背景是機器學習建模時需要考慮的客觀問題。當前流體力學智能化的核心內(nèi)容或許是提升人工智能賦能流體力學的可解釋性，探索流體力學新的物理內(nèi)涵和認知。因此，人工智能給流體力學的發(fā)展提供新的研究范式，流體力學為人工智能的發(fā)展提供足夠復雜的研究對象，使傳統(tǒng)學科和新型學科交叉融合相互促進。

物理問題尤其是流體力學問題其數(shù)據(jù)之間的隱含規(guī)律復雜多變，這導致傳統(tǒng)機器學習模型在發(fā)掘數(shù)據(jù)之間的隱含規(guī)律時其表現(xiàn)往往差強人意。但是流體力學中的數(shù)據(jù)往往存在控制方程形式的約束，因此如何充分利用數(shù)據(jù)的約束方程作為機器學習模型的先驗知識是改善機器學習解決物理問題的重點。融合物理先驗知識的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法（physical-informed neural network, PINN）算法自Karniadakis[9]提出以來就受到廣泛的關(guān)注和探索。作為一種融合物理方程信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它既擁有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的強大學習能力，又能結(jié)合學科背景使其網(wǎng)絡(luò)模型具備可解釋性。本文結(jié)合課題組近期工作，以三維超聲速可壓縮槽流和不可壓縮圓柱繞流為例，介紹PINN 算法的原理及其在求解N-S 方程、預測流動參數(shù)、確定方程待定系數(shù)的機理和可行性。

1 PINN 原理

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于參數(shù)模型（圖1），使用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建輸入特征 (x,y,t)和 輸出特征u的 函數(shù)關(guān)系gNN：

圖1 傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 1 Traditional neural network

并通過最小化輸出的預測值和真實值之間的均方誤差Loss 指導自身的訓練：

傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法從數(shù)據(jù)中發(fā)掘隱含的相關(guān)關(guān)系，當數(shù)據(jù)量有限時，使用梯度下降計算網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ω時極有可能陷入局部最優(yōu)的困境。而針對物理信息的學習，多數(shù)場景都有已知的控制方程約束，因此訓練時通過添加約束神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出之間的控制方程關(guān)系可以賦予神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)之間的先驗知識。PINN 網(wǎng)絡(luò)便是這樣一種融合偏微分方程的特殊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 PINN 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig. 2 Physical-informed neural network

首先，PINN 與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，增加了將網(wǎng)絡(luò)輸出作為輸入附加約束的偏微分方程的步驟。偏微分方程的形式復雜多樣，考慮偏微分方程的一般形式：

PINN 假設(shè)存在函數(shù)f：

綜上，通過對比圖1 和圖2 所示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、損失函數(shù)Loss 和網(wǎng)絡(luò)參數(shù) ω的優(yōu)化過程發(fā)現(xiàn)：PINN 并未比傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)額外增加需要學習的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，因此如果把PINN 學習到的參數(shù)組合復制給傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后，兩者的預測結(jié)果將一致，似乎表明傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也能達到和PINN 一樣的預測結(jié)果。但實驗證實PINN 方法的預測結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預測結(jié)果，究其原因是PINN 方法通過增加控制方程約束降低了網(wǎng)絡(luò)參數(shù) ω陷入局部最優(yōu)的可能性，從而獲得更好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)組合。

2 PINN 方法的應用

由于PINN 融合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和偏微分方程，發(fā)掘樣本數(shù)據(jù)之間的潛在規(guī)律，因此PINN 方法的應用前景十分廣泛。結(jié)合筆者近期的研究工作，對其目前主要應用進行介紹。

2.1 PINN 解偏微分方程

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解偏微分方程的核心思想是：利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和符合偏微分性質(zhì)的樣本數(shù)據(jù)逼近數(shù)據(jù)所在區(qū)域偏微分方程的顯式形式。偏微分方程可以用來描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間和空間的變化規(guī)律，因此物理問題的大多數(shù)控制方程是以偏微分方程形式存在。偏微分方程由于多變量耦合，常常難以獲得精確的數(shù)學顯式解，因此偏微分方程解的存在性和偏微分方程的求解一直是數(shù)學領(lǐng)域的熱點[10-12]。

雖然一般情況下偏微分方程難以獲得精確解，但是借助數(shù)值方法可以求解離散網(wǎng)格上變量狀態(tài)，借此可以獲得大量符合偏微分性質(zhì)的網(wǎng)格點上的數(shù)據(jù)。接著利用這些數(shù)據(jù)進行機器學習訓練，從而能夠獲得滿足偏微分形式表征物理量隱含關(guān)系的機器學習模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種強大的數(shù)據(jù)分析算法，在發(fā)掘數(shù)據(jù)之間隱含的函數(shù)關(guān)系問題上發(fā)揮巨大的作用，理論證明多層非線性激活函數(shù)組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任意的函數(shù)關(guān)系[13]。近年來用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機器學習方法構(gòu)造有效的物理模型一直是研究熱點[14]，在PINN 之前，主要是用約束神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程，采用數(shù)值微分的方式[9]。與之不同的是，PINN 的特點是用誤差的形式將物理控制方程融合入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，某種程度上與迭代 Krylov 線性解算器相似，其主要優(yōu)點是采用自動微分的方式求解微分方程[15-16]。PINN 求解偏微分方程模型結(jié)構(gòu)如圖3[17]。

圖3 PINN 求解偏微分方程模型結(jié)構(gòu)[17]Fig. 3 PINN model structure for solving partial differential equations[17]

將時空坐標輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算輸出控制方程物理量。將輸出的物理量與訓練樣本的標簽物理量分別帶入偏微分方程、邊界條件（boundary condition，BC）約束以及初始條件（initial condition，IC）約束，并通過兩者之間的差異構(gòu)建損失函數(shù)，通過最小化損失函數(shù)調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每個神經(jīng)元之間的連接權(quán)重以達到訓練收斂。

由于偏微分方程在其定義域與值域的關(guān)系數(shù)量是無限的，在整個域上進行訓練約束是不現(xiàn)實的，所以只能取定義域與值域上離散的映射關(guān)系（訓練數(shù)據(jù)）進行訓練。訓練樣本的選取關(guān)系到模型的泛化性能，選取的樣本分布盡可能地涵蓋所研究的偏微分方程在其定義域與值域映射關(guān)系中所有關(guān)系特征，可以大大提升模型的泛化能力。

同理，邊界條件的泛化性能也應考慮對不同邊界條件函數(shù)的映射關(guān)系的特征分布進行訓練樣本選取，例如壁面上不同區(qū)域的時空坐標與物理量值的映射關(guān)系的特征選取。

2.2 PINN 在流場重建中的應用

流場重建指充分利用流場的已知信息或可觀測信息挖掘流場未知信息或不可觀測信息。實驗是解決CFD 和理論分析無法解決的流體力學問題的最后手段，但是實驗通常只能獲得有限的、可觀測的數(shù)據(jù)樣本，因此想要獲取全流場的流動信息進行更細致地研究就需要涉及到流場重建，包括：1）基于流場快照的速度場構(gòu)建；2）基于流場速度場的其他流動信息構(gòu)建，比如壓力場；3）基于稀疏流場和噪聲流場的信息重建等。如何有效解決這些問題是獲得高精度實驗結(jié)果必須解決的難題。

針對特定流場重建已發(fā)展出各種算法，例如利用圖像信號處理方法對原始流場圖像進行圖像增強和去噪后獲得高質(zhì)量圖像；運用相關(guān)法和光流法從PIV（particle image velocity，PIV）流場快照中提取出速度場信息后，有限容積法、直接積分法和泊松公式能結(jié)合不可壓縮流動的速度場重建壓力場[18]；本征正交分解（POD）方法對稀疏流場進行模態(tài)分解后重組模態(tài)基完成稀疏流場的重建等。這些方法都各有優(yōu)勢和局限，相關(guān)法和光流法其原理基于圖像信號，缺乏流體力學先驗信息約束，因此對實驗圖像質(zhì)量要求苛刻。有限容積法、直接積分法和泊松法通過處理不可壓縮N-S 方程后，求解壓力梯度獲得流場的壓力場，這要求高精度的速度場，并且存在誤差積累的問題。此外，現(xiàn)有流場重建問題根據(jù)其背景不同，適用的算法也完全不同，算法之間難以相互聯(lián)系和發(fā)展。而人工智能具備在大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上發(fā)掘數(shù)據(jù)之間的隱含規(guī)律這一特性，因此探索通過人工智能賦能流場重建，挖掘大量流場數(shù)據(jù)之間的隱含信息，從而可以構(gòu)建流場變量和時空坐標之間的函數(shù)關(guān)系。直接使用傳統(tǒng)機器學習模型回歸數(shù)據(jù)樣本的函數(shù)關(guān)系因缺乏物理信息的先驗知識而不能獲得較好的結(jié)果，而PINN 方法通過對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)增加流場物理變量之間的N-S 方程約束，使人工智能賦能流場重建變得可能。

本文使用張朋[19]計算的可壓縮充分發(fā)展槽道湍流直接數(shù)值模擬(DNS) Case2 的結(jié)果作為訓練和測試數(shù)據(jù)。計算條件為來流馬赫數(shù)Ma=1.5，來流雷諾數(shù)Re=6 000 ， 等溫壁面Tw=288.15；流向和展向為周期性邊界條件，法向壁面為無滑移邊界條件。DNS 計算域和訓練區(qū)域如表1 所示。受限于計算機的能力，截取了半槽道的部分空間和時間作為PINN 訓練區(qū)域：x方向網(wǎng)格區(qū)域為[50, 150]，y方向為[1, 90]，z方向為[150, 220]，從總DNS 計算時刻中隨機抽取100 個時刻的數(shù)據(jù)文件，形成(Nt,Nx,Ny,Nz)=(100,101,90,71)的實驗數(shù)據(jù)集，再從中隨機采樣25 個離散時刻的流場作為訓練數(shù)據(jù)集，余下作為測試數(shù)據(jù)集。訓練中對于偏微分方程約束采用自動微分求解,方程的邊界條件由訓練數(shù)據(jù)確定。

表1 計算和訓練區(qū)域設(shè)置Table 1 The domain Setup for DNS & PINN

訓練曲線如圖4 所示。從圖中可知，方程約束項Equation_loss 的波動要大于輸入特征項Label_loss，兩者的數(shù)值大小接近，這反映流場重建結(jié)果同時受數(shù)據(jù)樣本和方程信息約束。

圖4 PINN 重建Re = 6 000 槽道的LossFig. 4 Reconstruction of loss of Re = 6 000 channel based on PINN

圖5 為從訓練空間截取的t= 0 時刻、z= 2.38 流向x-y平面的DNS 和PINN 重建的瞬時物理量等值圖對比，包括流向速度u、法向速度v、展向速度w、壓力p、密度ρ、溫度T等。從圖中可知，u、v、w、p、ρ、T在不同時刻的PINN 重建結(jié)果與DNS 結(jié)果十分接近。數(shù)據(jù)分析顯示在其余時刻、以及不同平面包括展向y-z平面和法向x-y平面的物理量的等值線對比也顯示了相近的結(jié)果。

圖5 流向平面DNS 和PINN 的瞬時物理量對比 (t = 0, x, y, z = 2.38)Fig. 5 Comparison of instantaneous physical quantities between DNS and PINN in streamwise plane (t = 0, x, y, z = 2.38)

圖6（a）為從預測結(jié)果中隨機選取的第40 個時刻法向x-z平面（（1-|y|）/H= 0.176，H為半槽高）上的流向脈動速度u′i=ui-＜ui＞等值云圖，可以清晰看出脈動流場的結(jié)構(gòu)細節(jié)。同時，應用Ω判據(jù)[20]計算該法向平面上的渦結(jié)構(gòu)也驗證了該條狀流動特征，說明PINN 可重建湍流流動特征。

圖6 PINN 重建流場瞬時量分布Fig. 6 Instantaneous flowfield by PINN

圖7 對比了PINN 預測結(jié)果和所選區(qū)域的DNS結(jié)果的平均量，結(jié)果顯示雷諾時均流向速度＜u＞、密度＜ρ＞、溫度＜T＞沿發(fā)現(xiàn)法向分布均與DNS 的統(tǒng)計平均值吻合良好，證明添加了物理先驗知識約束后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的數(shù)據(jù)回歸和流場重建能力。圖8 記錄了瞬時物理量的PINN 重建結(jié)果與對應時刻測試數(shù)據(jù)DNS 數(shù)據(jù)的相對誤差，橫坐標t表示25 個離散時刻，并顯示u、p、ρ、T的重建結(jié)果優(yōu)于v、w的 重建結(jié)果，其相對誤差RE 低于1%以下，v、w作為充分發(fā)展槽流中的脈動速度具有隨機性，數(shù)量級也遠小于其他物理量，預測結(jié)果的相對誤差反而較大。

圖7 PINN 方法和DNS 的統(tǒng)計平均物理量的對比Fig. 7 Comparison of mean profiles between PINN and DNS

圖8 PINN 重建結(jié)果的相對誤差Fig. 8 The relative error of the reconstruction result of the PINN

上述內(nèi)容驗證了PINN 重建流場的可行性，根據(jù)結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)PINN 的訓練擬合的結(jié)果精度較高。

為了驗證PINN 的預測能力，采用同流場不同分布數(shù)據(jù)集進行訓練并預測，從流場中抽取半槽道結(jié)果作為實驗數(shù)據(jù)集：x方向網(wǎng)格區(qū)域為[50, 150]，y方向網(wǎng)格區(qū)域為[2, 90]，z方向網(wǎng)格區(qū)域為[150, 220]。采樣共100 個離散時刻的流場，采集的樣本數(shù)據(jù)量為(Nt,Nx,Ny,Nz)=(100,101,89,71)。訓練測試數(shù)據(jù)如表2。預測的瞬時流場如圖9，統(tǒng)計平均量如圖10。流場訓練結(jié)果如表3，流場預測結(jié)果如表4。結(jié)果顯示，對于同一流場不同分布的訓練集，PINN的預測性能較為可觀，多數(shù)物理量的預測效果較好，但由于物理量v、w的量級與其他變量的量級相差太大，預測性能較為一般，可采用加大Loss 函數(shù)中對于v、w的損失權(quán)重以改善其預測效果。

表2 訓練測試樣本算例Table 2 Example of training and test samples

圖9 預測的瞬時流場Fig. 9 Training and prediction of instantaneous flow field

圖10 PINN 方法和DNS 的統(tǒng)計平均物理量的對比Fig. 10 Comparison of mean profiles between PINN and DNS

表3 流場訓練結(jié)果Table 3 Results of flow field training

表4 流場預測結(jié)果Table 4 Results of flow field prediction

由于預先融入了物理信息的約束，PINN 相比普通的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合速度更快，效果也更好，效率更高。PINN 對于同一特征流場的預測性能較好，但是由于其輸入特征為時空坐標，以至于輸入模型的信息量有限，導致其泛化性能較為一般。增加有效輸入特征以及減少損失函數(shù)中關(guān)于特定流動的特征約束可以一定情況下提升PINN 的泛化性能。對于高Re的非定常流動，流動的隨機性大大提升，相比全連接網(wǎng)絡(luò)，可以嘗試采用時序、卷積等結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在一定情況下可以改善對于高Re非定常流動中的特征捕捉能力。

PINN 在流場重建中具有實際應用價值。PINN可用于PIV 流場重建，利用實驗的流場數(shù)據(jù)，探索一種能夠以較高精度重建流場變量連續(xù)狀態(tài)變化的方法具有一定工程意義，以及PINN 對于流場數(shù)據(jù)缺失復原的應用也具有較大的可行性。

2.3 PINN 在參數(shù)重建中的應用

模型的系數(shù)重建問題是一類較為重要的工程問題，其中漸近性原則常被用于解決此類問題。漸近性原則的思想是模型預測的方程輸出結(jié)果應當和實驗結(jié)果一致，本質(zhì)是數(shù)據(jù)擬合。研究人員常使用漸近性原則來確定模型方程中的待定系數(shù)，其方法是在逼近模型系數(shù)時，率先確定對精度影響大的方程項的系數(shù)，再逐步確定其他系數(shù)，進而逐一確定系數(shù)。這一方式可以降低小項的影響，但難以同時獲得最優(yōu)的系數(shù)組合解。不同于傳統(tǒng)做法，PINN 具備結(jié)合樣本數(shù)據(jù)反推方程屬性的能力[21]，可以同時確定方程中的待定系數(shù)組合，因此PINN 方法可以在參數(shù)重建領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用。

如圖11 所示，建立PINN 模型來說明PINN 的參數(shù)重建。具體為針對二維不可壓縮繞圓柱流動，設(shè)置N-S 約束方程系數(shù) λ1、λ2為可訓練參數(shù)并給定初值 λ1,0、λ2,0，采用不可壓縮圓柱繞流DNS 結(jié)果作為訓練數(shù)據(jù)（其對應的真實 λ1=1,λ2=1/Re=0.01）[22]。訓 練過 程 中對 λ1、λ2不 斷 調(diào)整，設(shè) 置 λ1、λ2不同 的初值所對應的訓練過程中其收斂曲線如圖12 所示。觀察圖12 發(fā)現(xiàn)不同初始值下的 λ1、λ2在訓練過程中不斷跳出局部最優(yōu)值，達到全局最優(yōu)值即真實值。

圖11 待定系數(shù)的PINN 模型Fig. 11 PINN model with undetermined coefficients

圖12 不同初始值 λ1、λ2 隨著訓練次數(shù)的變化趨勢Fig. 12 Different initial values λ1、 λ2 with the change of training times

表5 為最終收斂值和對應的相對誤差。從表5中可知，使用PINN 重建流場時，PINN 可以將N- S 約束方程的系數(shù)當作自身的可訓練參數(shù)，使其隨著訓練收斂至真實值。

表5 不同初始值λ1、λ2 的重構(gòu)結(jié)果Table 5 The reconstruction results of λ1、λ2 with different initial values

此外，我們進一步嘗試了通過2.2 節(jié)中三維可壓縮槽道流DNS 數(shù)據(jù)對三維可壓縮N-S 方程中的體積力項f進行重建，分別設(shè)置體積力項f初始值為f0=1與f0=-1， 訓練的過程中，體積力f與方程損失Equation- loss 收斂曲線如圖13 所示。

由圖13 可知不同初始值下，體積力f分別在f=0.003 05與 0.002 88附近收斂。在三維可壓縮槽道DNS 算例中，體積力平衡壁面剪切摩擦力，因此可以通過DNS 結(jié)果計算得到壁面剪切摩擦力來驗證模型收斂得到的體積力。DNS 數(shù)據(jù)平均后得到的壁面剪切摩擦力 τw=-0.003 3，與本文預測值的偏差分別為7.9%和-12.7%。通過體積力項的預測，說明了應用高精度DNS 數(shù)據(jù)不僅可以預測待定系數(shù)，還可以預測方程中的組成項，這為后續(xù)利用DNS 數(shù)據(jù)耦合平均流方程來預測雷諾應力提供了解決思路，驗證了該方法有可能適用于更廣泛的模型構(gòu)建場景，這與Callaham[23]所做的聚類分析工作有著異曲同工之處。

圖13 體積力與方程損失收斂曲線Fig. 13 Convergence curve of volume force and equation loss

3 結(jié) 論

PINN 作為融合人工智能和以數(shù)學方程表示的物理先驗知識的一種新方法，其未來應用的方式還有更多可能，本文闡述了該方法并結(jié)合具體工作舉例說明了其可適用場景：

1）PINN 用于求解偏微分方程：應用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近高維復雜偏微分方程是人工智能目前重要研究方向之一，PINN 將偏微分方程融入誤差網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合自動微分方法提高了求解的效率和精度。

2）PINN 用于流場信息重建：通過在損失函數(shù)中添加偏微分方程約束并利用自動微分技術(shù)，結(jié)合DNS 訓練數(shù)據(jù)集應用于可壓縮槽道流動，可以重構(gòu)瞬時湍流流場，并通過對預測參數(shù)的統(tǒng)計分析與DNS 數(shù)據(jù)對照分析，驗證了預測模型有效性及其用于更多流動場景的可能性。

3）PINN 用于方程參數(shù)重建：結(jié)合不可壓縮圓柱繞流與三維可壓縮槽道流的控制方程和DNS 數(shù)據(jù)訓練集，通過訓練可以獲得方程中的待定系數(shù)與待定項，驗證了該方法可以進一步應用于更廣泛的模型構(gòu)建場景。

但是在研究中也發(fā)現(xiàn)了PINN 方法目前的泛化性欠佳，極大限制了其使用范圍和能力，是急需克服的難點。

致謝： 感謝浙江大學夏振華教授在本文研究工作開展中提出的各種有益討論和建議。