寧晨伽，王 旭，王文正，張偉偉

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；2. 電子科技大學(xué) 航空航天學(xué)院，成都 611731；3. 飛行器集群智能感知與協(xié)同控制四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 611731)

0 引 言

現(xiàn)代航空航天飛行器設(shè)計(jì)由多學(xué)科響應(yīng)和大量設(shè)計(jì)準(zhǔn)則共同保障。就飛機(jī)設(shè)計(jì)而言，設(shè)計(jì)過程需要考慮加載特性、氣動(dòng)彈性、顫振臨界速度與穩(wěn)定性等諸多因素，并在飛行力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、飛行控制原理等多學(xué)科耦合下尋求最優(yōu)方案，因而設(shè)計(jì)方案需反復(fù)迭代以尋求折衷。高保真度（high-fidelity, HF）數(shù)據(jù)評(píng)估飛行器性能指標(biāo)可有效減少設(shè)計(jì)迭代循環(huán)與修正，大幅提高設(shè)計(jì)能力。例如20 世紀(jì)，空客公司為了實(shí)現(xiàn)A310 的研制約進(jìn)行了18 000 h 的風(fēng)洞試驗(yàn)[1]，以保證飛行器的設(shè)計(jì)性能。

高昂的氣動(dòng)數(shù)據(jù)獲取成本與高效的飛行器精確設(shè)計(jì)之間的矛盾迫使研究者尋求更高效的氣動(dòng)力獲取手段。為加快高保真度數(shù)據(jù)的獲取時(shí)間，縮減設(shè)計(jì)周期，構(gòu)建代理模型已然成為一種行之有效的技術(shù)途徑。代理模型是一類輸入到輸出的快速響應(yīng)模型，又稱為響應(yīng)面模型，具有數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)、自上而下的特點(diǎn)。多項(xiàng)式響應(yīng)面法、支持向量機(jī)回歸（SVR）[2]、Kriging模型[3]、徑向基函數(shù)（RBF）[4]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）等作為常用的代理模型被廣泛應(yīng)用于計(jì)算量大、成本高的黑箱問題，以減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)。針對(duì)上述問題，可通過直接構(gòu)建代理模型的方法，使用一定數(shù)量的高保真度樣本預(yù)測(cè)出整個(gè)設(shè)計(jì)空間的高保真度響應(yīng)面，緩解了數(shù)據(jù)獲取成本與建模效率之間的矛盾，但該類代理模型所需的高保真度樣本數(shù)量仍然很大，計(jì)算成本對(duì)建模精度的制約仍舊亟待解決。

在氣動(dòng)領(lǐng)域，飛行、風(fēng)洞試驗(yàn)獲取的氣動(dòng)數(shù)據(jù)精度高但成本高、周期長(zhǎng)。一些CFD 數(shù)值方法（雷諾平均的N-S 方法、大渦模擬法等）也是獲取高保真度非線性流動(dòng)氣動(dòng)數(shù)據(jù)的常用手段。除此之外，還有一些高效率的低保真度（low-fidelity, LF）氣動(dòng)求解方法，例如：速勢(shì)方程、Euler 方程等。低保真度數(shù)據(jù)雖精度不及，但可反映正確的趨勢(shì)信息。如何綜合利用多種精度數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)“少投入高回報(bào)”，以低代價(jià)低成本獲得高精度數(shù)據(jù)，是工程應(yīng)用中關(guān)注的重點(diǎn)話題。2009 年，王文正等[5]針對(duì)該痛點(diǎn)已開展探索，提出基于數(shù)學(xué)模型的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)融合方法，初步驗(yàn)證了數(shù)據(jù)融合的可行性。數(shù)據(jù)融合關(guān)聯(lián)方法可為多精度數(shù)據(jù)建模提供技術(shù)途徑。

數(shù)據(jù)融合關(guān)聯(lián)方法大致分為兩大類。一是直接交叉使用。該方法在工程問題中使用廣泛，高保真度數(shù)據(jù)直接使用，其余部分用低保真度數(shù)據(jù)補(bǔ)齊，但是直接交叉使用導(dǎo)致的間斷不連續(xù)問題極為致命。二是構(gòu)建代理模型。作為預(yù)測(cè)程序的修正工具是代理模型的又一大用途，引入低保真度樣本輔助代理模型建模，僅需少量高保真度樣本即可實(shí)現(xiàn)更高的模型全局精度，從而達(dá)到數(shù)據(jù)融合的效果[6]，這類代理模型又被稱之為變可信度模型（VFM）。

變可信度模型，又稱為“變復(fù)雜度模型”，其核心是綜合高保真度與低保真度的優(yōu)勢(shì)，充分利用低保真度數(shù)據(jù)隱含信息，在有限的計(jì)算與時(shí)間成本下提供更為精確的預(yù)測(cè)結(jié)果，提高建模效率。目前構(gòu)建VFM 的常用方法有：空間映射法、基于標(biāo)度的變可信度法以及co-Kriging 方法?；诳臻g映射（space mapping, SM）的VFM 方法使用空間映射將高保真度數(shù)據(jù)的參數(shù)空間與低保真度數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)空間對(duì)應(yīng)起來，通過改變低保真度的設(shè)計(jì)空間使不同保真度模型逼近。最早由Bandler 等[7]提出線性映射算法?；跇?biāo)度的VFM 主要分為三類：乘法標(biāo)度、加法標(biāo)度和混合標(biāo)度?；诔朔?biāo)度法的VFM，其高保真度模型和低保真度模型之間的比值可以用標(biāo)度函數(shù)來表示[8]?；诩臃?biāo)度法的VFM 具有更強(qiáng)的魯棒性和全局逼近性，因而使用更廣泛?；诨旌蠘?biāo)度法的VFM 融合了加法標(biāo)度法與乘法標(biāo)度法的優(yōu)點(diǎn)，具有更高的預(yù)測(cè)精度。co-Kriging 模型是在Kriging 模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，起初用于地質(zhì)學(xué)領(lǐng)域，由Kennedy 和O'Hagan[9]提出。該模型能夠提供非試驗(yàn)樣本點(diǎn)處的預(yù)估誤差，使其成為較有前景的VFM 方法。Forrester 等[10]首次將co-Kriging 模型應(yīng)用于航空航天工程設(shè)計(jì)。2014 年，Le Gratiet 等[11]提出了co-Kriging 的遞歸公式。國(guó)內(nèi)相關(guān)研究也有較多進(jìn)展。2012 年，韓忠華提出分層Kriging 模型(hierarchical Kriging, HK)[12]。Yamazaki 等[13]將梯度信息引入co-Kriging 的建模過程，提出一種梯度增強(qiáng)的co-Kriging模型（gradient-enhanced co-Kriging, GECK）。黃禮鏗等[14]將co-Kriging 用于氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中，證明了該方法在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化中的可行性。2019 年，韓忠華等[15]將分層 Kriging 模型進(jìn)行推廣，發(fā)展了一種多層Kriging 模型（multi-level hierarchical Kriging, MHK）從低到高遞歸式建立不同可信度的 Kriging 模型。

在有限計(jì)算成本下，VFM 的建模質(zhì)量與采樣方式有極為密切的關(guān)系。通常采樣方法分為兩大類：一次性抽樣法和序貫采樣法[16]。常見的一次性抽樣有拉丁超立方體抽樣[17]、最鄰近抽樣法[18]等，該類方法的缺點(diǎn)是采樣點(diǎn)無法關(guān)聯(lián)函數(shù)自身特性。序貫采樣方法則是使用模型的迭代信息（例如最大預(yù)測(cè)誤差等）順次選擇樣本點(diǎn)位置。通過上一步模型或自身學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)獲取樣本點(diǎn)，能更好地迎合目標(biāo)函數(shù)的自身特性，從而用更少的點(diǎn)構(gòu)建精準(zhǔn)的全局模型，降低了建模數(shù)據(jù)的獲取成本。序貫采樣方法已得到廣泛發(fā)展，其中基于貝葉斯抽樣[19]、交叉驗(yàn)證[20]等理論的貫序采樣方法均取得了較好的建模結(jié)果。當(dāng)?shù)捅Ｕ娑扰c高保真度數(shù)據(jù)的計(jì)算成本相近的情況下，VFM 序貫采樣建模類似于單保真度建模。

在采用序貫采樣的VFM 中需要依據(jù)樣本細(xì)化準(zhǔn)則獲取新樣本，并迭代更新VFM 直到精度達(dá)標(biāo)。目前已有的樣本細(xì)化準(zhǔn)則方法有：最小化代理模型預(yù)測(cè)（MSP）[21]、改善期望（EI）[22]、改善概率（PI）[23]、均方差（MSE）和置信下界（LCB）[24]等。目前針對(duì)VFM的代理細(xì)化方法較少，通常將單可信度優(yōu)化的樣本細(xì)化準(zhǔn)則直接用于VFM 中[25]。Huang 等[26]于2006 年發(fā)展了一種適用于多層可信度模型優(yōu)化的期望改善加點(diǎn)準(zhǔn)則（augmented EI, AEI），通過最大化與計(jì)算成本相關(guān)的增廣期望改進(jìn)函數(shù)，來選擇下一個(gè)樣本點(diǎn)的位置和保真度程度。Mehmani 等[27]提出了一種針對(duì)不同可信度分析模型的管理策略，其核心利用模型轉(zhuǎn)換在優(yōu)化過程中合理地選擇不同的可信度模型。

可將衡量變可信度模型優(yōu)劣的因素概括為：高可信度樣本數(shù)據(jù)量、變可信度模型的全局性以及預(yù)測(cè)精度三大類。由于模型預(yù)測(cè)的精確性與高精度樣本位置有強(qiáng)相關(guān)性，因此初始高保真度樣本的選擇以及序貫采樣中樣本細(xì)化準(zhǔn)則的搭建尤為重要。

本文在co-Kriging 模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的高保真度樣本獲取方案，用于獲取高保真度樣本的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)以及細(xì)化樣本。該方法通過從完備的低保真度響應(yīng)面中提取“信息量”大的樣本作為高保真度的初始樣本，將目標(biāo)算例的自身特性加入高精度樣本的試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，從而避免了均勻性隨機(jī)采樣帶來的隨機(jī)影響，提高了代理模型的全局性以及模型精度收斂效率。針對(duì)于高保真度樣本的細(xì)化，本文引入了一個(gè)距離項(xiàng)d，通過Kriging 基函數(shù)構(gòu)造了一個(gè)距離函數(shù)D(x)，與co-Kriging 模型預(yù)測(cè)誤差通過線性加和的方法耦合起來構(gòu)成一個(gè)樣本細(xì)化的評(píng)價(jià)函數(shù)。評(píng)價(jià)函數(shù)值最大處為下一個(gè)新增高保真度樣本點(diǎn)，迭代更新模型。在給定的計(jì)算量下，該方法可以構(gòu)造出一個(gè)精確的預(yù)測(cè)模型。

1 變可信度co-Kriging 融合方法

co-Kriging 融合方法是一種基于Bayesian 貝葉斯理論的自回歸模型，能有效考慮到多種可信度數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)作用，利用交叉協(xié)方差衡量不同保真度之間的相關(guān)程度，融合不同精度的數(shù)據(jù)。同時(shí)co-Kriging 模型繼承Kriging 模型的優(yōu)勢(shì)，可對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行不確定性評(píng)估。該方法在小樣本、高非線性問題中具有明顯的優(yōu)勢(shì)和較強(qiáng)的適用性。

該方法假設(shè)樣本對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值來自一個(gè)隨機(jī)過程，將觀測(cè)到的響應(yīng)值表示為一組隨機(jī)向量Y(x)，其中x為樣本設(shè)計(jì)參數(shù)，y代表樣本響應(yīng)值。隨機(jī)向量中的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)作用由式（1）表示，其中cor代表樣本點(diǎn)之間的相關(guān)性，n表 示樣本個(gè)數(shù)，k表示設(shè)計(jì)參數(shù)維度， θj代 表設(shè)計(jì)參數(shù)x第j個(gè)分量的重要程度相關(guān)，參數(shù)pj與第j個(gè)分量的光滑性相關(guān)：

若當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)可分為低保真度（LF）以及高保真度（HF）兩類，則可用Ze(·)和Zc(·)分別表示高保真度和低保真度當(dāng)?shù)靥卣鞯囊粋€(gè)高斯隨機(jī)過程，Zd(·)代表高低精度之間差量的高斯隨機(jī)過程。高保真度、低保真度之間存在如下關(guān)系：

總結(jié)來說，式（10）可以看作對(duì)低保真度數(shù)據(jù)的回歸，并使得已知的函數(shù)值ye與在高保真度樣本點(diǎn)處的預(yù)測(cè)值一致。該模型均方誤差估計(jì)如式（12）表達(dá)，樣本點(diǎn)處的誤差是由d的特性決定的：

2 高效率建模設(shè)計(jì)

高可信度樣本數(shù)據(jù)量、變可信度的全局性與精度為衡量變可信度模型優(yōu)劣的三大因素。為實(shí)現(xiàn)“少投入高回報(bào)”，以高效率低成本的方式獲得高精度數(shù)據(jù)，本文對(duì)基于co-Kriging 的變可信度融合模型構(gòu)建流程進(jìn)行介紹，并針對(duì)變可信度模型初始采樣以及高可信度樣本的序貫采樣提出了兩大方法，用以提升建模效率和精度。

2.1 最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法

傳統(tǒng)采樣初始化方法難以結(jié)合樣本的空間信息，主要存在如下問題：1）空間均勻化為大多數(shù)采樣初始化方法的原則，該類方法的均勻性與隨機(jī)性會(huì)導(dǎo)致采樣點(diǎn)信息浪費(fèi)。2）響應(yīng)面強(qiáng)非線性時(shí)，局部極值信息不易捕捉，導(dǎo)致模型局部精度降低。因而本文提出了一種變可信度模型初始采樣新方法，通過對(duì)低保真度響應(yīng)面的處理得到高保真度的初始采樣點(diǎn)，將該方法稱為最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法。

由于各精度響應(yīng)面之間大致趨勢(shì)相同，該方法的核心即用低保真度響應(yīng)面的極值點(diǎn)逼近高保真度極值點(diǎn)，作為高保真度數(shù)據(jù)的初始采樣。由于加入自身算例特性，該方法采樣效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空間填充類方法。基于該方法，如何獲取低保真度響應(yīng)面極值點(diǎn)成為問題的關(guān)鍵，本文提出了一種基于多目標(biāo)優(yōu)化的極值點(diǎn)獲取方法。使用基函數(shù)作為源點(diǎn)項(xiàng)，根據(jù)基函數(shù)構(gòu)造響應(yīng)面，進(jìn)而用多目標(biāo)算法尋優(yōu)確定未知參量。該方法一定程度上也保證了初始采樣點(diǎn)的隨機(jī)性。其中，基函數(shù)的中心即尋優(yōu)獲得的響應(yīng)面的一個(gè)極值點(diǎn)：

其中n表 示低保真度樣本量；k表示設(shè)計(jì)空間維度；Q(i)為第i次尋優(yōu)基函數(shù)系數(shù)大小，即低保真度響應(yīng)面的第i個(gè)極值大小，Q(i)正負(fù)性用來區(qū)分極大、極小值；p(i)為基函數(shù)光順參數(shù)；x為x歸 一化的值，xc表示基函數(shù)的中心坐標(biāo)；Y表示i次優(yōu)化后逼近的低保真度模型近似值。采用多目標(biāo)算法尋優(yōu)，將低保真度模型與基函數(shù)逼近模型之間的均方差（MSE）定義為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下：

2.2 均勻增強(qiáng)的高保真度樣本序貫采樣方法

如何找到“信息量”大的點(diǎn)是決定建模效率的又一大因素。目前最常用的加點(diǎn)準(zhǔn)則是改善期望準(zhǔn)則（EI）[22]。但是對(duì)于全局逼近代理模型而言，EI 準(zhǔn)則適用性并不好。co-Kriging 模型可以提供基于均方差（MSE）的預(yù)測(cè)誤差，但當(dāng)模型用于全局逼近問題時(shí)該做法仍存在一些不足之處：

1）co-Kriging 會(huì)出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，往往該類局部區(qū)域周圍沒有高保真度樣本點(diǎn)的加入。

2）直接采用模型預(yù)測(cè)誤差細(xì)化樣本，有時(shí)會(huì)造成高保真度樣本的聚集而降低建模效率。

“早熟”現(xiàn)象即指該區(qū)域預(yù)測(cè)模型的不確定性較低，導(dǎo)致建模更新過程中沒有高保真度樣本加入，影響模型精度的進(jìn)一步提高。針對(duì)上述問題，本文提出一種空間均勻增強(qiáng)的高保真度序貫采樣方法，通過引入距離項(xiàng)，在優(yōu)化初采樣不均勻性的同時(shí)提高算法的穩(wěn)定性與建模效率。

該方法改進(jìn)了僅采用預(yù)測(cè)誤差作為加點(diǎn)準(zhǔn)則的做法，通過構(gòu)造一個(gè)距離函數(shù)D(x)表達(dá)出高保真度樣本的空間分布。構(gòu)建距離函數(shù)D(x)采用高斯基函數(shù)，其表達(dá)式如下：

其中，q為 高保真度樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)；xHF為高保真度樣本點(diǎn)的坐標(biāo)； θ(t)是設(shè)定的衰減系數(shù)，與設(shè)計(jì)空間各維度尺度差異相關(guān)。

定義 Score(s2(x),D(x))為樣本細(xì)化方案的評(píng)價(jià)函數(shù)，其中s2(x)為co-Kriging 模型的預(yù)測(cè)誤差。評(píng)價(jià)函數(shù)將距離項(xiàng)D(x) 與模型預(yù)測(cè)誤差項(xiàng)s2(x)通過線性加和耦合起來，一般設(shè)定a=b=1。每次迭代建模選擇設(shè)計(jì)空間中最大S core(x)點(diǎn)作為新高保真度樣本點(diǎn)。

2.3 基于co-Kriging 變可信度融合建?？蚣芰鞒?/h3>

該方法通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)（如LHS）獲得低保真度的初始樣本Ic，并采用Kriging 迭代建模完成低保真度樣本預(yù)測(cè)，獲得低保真度樣本集Xc。根據(jù)低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面獲得高保真度的初始樣本集Ie，聯(lián)合低保真度樣本集Xc進(jìn)行co-Kriging 建模。選擇評(píng)價(jià)函數(shù)Score(s2(x),D(x))最大處作為新的高保真度樣本加入Ie集合中，對(duì)模型進(jìn)行迭代更新，直至模型精度達(dá)標(biāo)。該方法的流程圖如圖1 所示，并給出詳細(xì)步驟。

圖1 基于co-Kriging 模型的變可信度建模流程Fig. 1 Flow chat of the VFM framework based on co-Kriging

Step 1：生成初始低保真度樣本集Ic。

采用LHS 方法獲得初始低保真度樣本集Ic，并通過低保真度模型分析獲得響應(yīng)值。低保真度模型分析一般采用簡(jiǎn)化模型的數(shù)值仿真。針對(duì)初始樣本的數(shù)目的確定沒有具體定論。由于低保真度數(shù)據(jù)計(jì)算與時(shí)間成本低，且初始低保真度樣本少會(huì)導(dǎo)致Kriging建模的局部特性差，所以選用Jones 等[28]給出的經(jīng)驗(yàn)公式，其中，k為設(shè)計(jì)空間的維度，n為初始樣本數(shù)量：

Step 2：建模得到低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面。

獲得準(zhǔn)確的低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面有兩個(gè)目的，一是生成均勻散布的低保真度樣本集Xc；二是使低保真度預(yù)測(cè)模型完備，為高保真度的初始采樣提供信息支撐。將Ic進(jìn)行Kriging 建模。根據(jù)預(yù)測(cè)誤差式（7）得到細(xì)化的低保真度樣本點(diǎn)加入Ic中，通過如此循環(huán)迭代更新模型，構(gòu)建一個(gè)完備的低保真度預(yù)測(cè)模型。

Step 3：生成低保真度樣本集Xc。

構(gòu)建變精度模型需要Xc建 模得到相關(guān)參數(shù) θc和pc等 。Xc即可通過上述低保真度預(yù)測(cè)模型獲得。不同的低保真度樣本集對(duì)建模穩(wěn)定性以及模型收斂效率有一定影響，但該影響可忽略不計(jì)。

Step 4：獲得高保真度初始樣本集Ie。

根據(jù)最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法，使用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)完備的低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面逼近，以低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面的極值處作為高保真度初始樣本。

Step 5：建立基于co-Kriging 的變精度模型。

對(duì)獲得的Xc以 及高保真度樣本集Xe進(jìn)行基于co-Kriging 的VFM 建模，得出狀態(tài)空間各點(diǎn)的預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)誤差。其中，Xe為 高保真度初始樣本集Ie和細(xì)化高保真度樣本集Ae的并集。

Step 6：求出變精度模型細(xì)化的高保真度樣本。

根據(jù)式（18）選擇設(shè)計(jì)空間中 Score(x)最大處作為下一個(gè)高保真度樣本點(diǎn)，并加入細(xì)化高保真度樣本集Ae中。隨著高保真度樣本的增加，可通過式（18）對(duì)a、b常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整。

Step 7：判斷模型的收斂性。

代理模型優(yōu)化和數(shù)據(jù)融合的收斂判定往往沒有固定方案。依照經(jīng)驗(yàn)，模型的收斂可劃分為三個(gè)階段：第一階段，模型的收斂速率大，收斂精度呈指數(shù)下降；第二階段，模型收斂速率逐漸降低，收斂精度可能會(huì)出現(xiàn)振蕩下降；第三階段，模型已基本收斂，該階段模型精度變化不大，無法換來大于模型迭代成本的收斂增益。第一、第二階段可能會(huì)混淆，之間沒有清晰的分界線。

該模型的預(yù)測(cè)誤差無法跨算例對(duì)比。收斂條件可綜合當(dāng)前迭代步的最大預(yù)測(cè)誤差以及模型更新過程最大的平均預(yù)測(cè)誤差得出。若模型滿足收斂判定，則可輸出最終預(yù)測(cè)模型。若模型此時(shí)不滿足收斂判定，則用高保真度分析獲得新細(xì)化的高保真度樣本的真實(shí)響應(yīng)，并返回Step 5 循環(huán)，直至滿足收斂判定條件。

3 算例驗(yàn)證與討論

本節(jié)使用數(shù)值算例來驗(yàn)證該方法的有效性，將該方法與單精度序列元建模進(jìn)行對(duì)比，并給出了基于采樣的高效率建模設(shè)計(jì)相對(duì)于傳統(tǒng)初采樣方法的優(yōu)勢(shì)。最后將基于co-Kriging 模型的高效變可信度模型算法成功應(yīng)用于實(shí)際氣動(dòng)算例當(dāng)中。算例采用均方根誤差（root mean square error, RMSE）作為度量精度的指標(biāo)。RMSE 的表達(dá)式如下：

3.1 一維數(shù)值算例

一維算例選用Forrester 函數(shù)數(shù)[10]，是Forrester 等在2007 年重構(gòu)得來，常用于多精度模型與單精度模型的對(duì)比。高保真度函數(shù)fh(x)與 低保真度函數(shù)fl(x)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中x∈[0,1]、 NumHF=3、a=b=1。低保真度樣本點(diǎn)與Forrester（2007）[10]中設(shè)置相同為：

圖2（a）為僅用4 個(gè)高保真度樣本時(shí)，F(xiàn)orrester 等建模結(jié)果[10]與本文建模結(jié)果的對(duì)比圖。圖2（b）則是兩者的預(yù)測(cè)誤差對(duì)比圖。在其他條件不變的情況下，二者均加入了4 個(gè)高保真度樣本作為修正，其中黑色正方形為文獻(xiàn)中所給出的點(diǎn)，藍(lán)色三角形為本文采樣方法獲取的高保真度樣本。可對(duì)比看出，本文方法所得的高保真度樣本可以使VFM 建模預(yù)測(cè)誤差下降1～2 個(gè)數(shù)量級(jí)，大大提高了VFM 的建模精度。

圖2 Forrester 函數(shù)建模結(jié)果對(duì)比Fig. 2 Comparison of the modeling results for Forrester function

3.2 二維數(shù)值算例

3.2.1 算例介紹

高保真度與低保真度函數(shù)響應(yīng)面圖3（a）所示。

圖3 二維數(shù)值算例不同保真度數(shù)據(jù)差異對(duì)比Fig. 3 Comparison of two-dimensional numerical cases with different fidelity data

2） Six-hump camel back 函 數(shù)。Six-hump camel back 函數(shù)又稱為六駝峰背函數(shù)，其非線性程度相較于Branin 函數(shù)有所提高。該函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)共有6 個(gè)局部極小值，其中2 個(gè)為全局極小值。其高保真度函數(shù)fh(x1,x2)與 低保真度函數(shù)fl(x1,x2)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下給出，其中up (x2) 和low (x2) 分別為設(shè)計(jì)變量x2的上下界：

3.2.2 建模結(jié)果與分析

上述兩個(gè)數(shù)值算例的低保真度樣本數(shù)相同。根據(jù)式（16），co-Kriging 建模高保真度數(shù)據(jù)初始采樣個(gè)數(shù)為 N umHF=7 ， 且設(shè)置參數(shù)a=b=1。

Branins 函數(shù)和Six-hump camel back 函數(shù)算例分別使用25 個(gè)、17 個(gè)高保真度樣本即可滿足收斂精度要求，所提出VFM 的預(yù)測(cè)值與函數(shù)真值的平均相對(duì)誤差均小于2%。從圖4 看出，在本文提出的高效VFM 算法始終遠(yuǎn)優(yōu)于DACE 工具箱的Kriging 方法[29]。由于DACE 工具箱的尋優(yōu)不太徹底，故將本文所提的高效VFM 算法與自研的單精度序列元建模的Kriging 也進(jìn)行了對(duì)比，VFM 迭代前期的建模精度遠(yuǎn)大于其余兩種，且優(yōu)勢(shì)隨著高保真度樣本點(diǎn)數(shù)的增多而逐漸消退，該點(diǎn)也符合VFM 建模的特點(diǎn)。對(duì)于Six-hump camel back 函數(shù)算例，單精度序列元建模至少需要比該算法多一倍以上的高保真度樣本數(shù)，才能達(dá)到相同的建模精度效果。

圖4 二維數(shù)值算例不同建模方法RMSE 對(duì)比Fig. 4 RMSE comparison among different modeling methods for two-dimensional numerical cases

3.2.3 最優(yōu)關(guān)聯(lián)選點(diǎn)方法優(yōu)勢(shì)性與適用性

在兩個(gè)數(shù)值算例中，分別采用最優(yōu)關(guān)聯(lián)選點(diǎn)方法與拉丁超立方采樣（LHS）獲取初始高精度樣本進(jìn)行融合建模，并使用RMSE 指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比。由于LHS 具有隨機(jī)性，所以根據(jù)式（16）確定初始樣本數(shù)后，用LHS 生成100 個(gè)初始樣本集，并分別求解變可信度融合模型建模結(jié)果。變可信度融合模型的初始低精度樣本集保持相同，以控制變量。用箱線圖來表示出該統(tǒng)計(jì)性結(jié)果，如圖5 所示。其中，曲線表示100 次LHS 所得初始樣本集建模RMSE 的正態(tài)分布。將最優(yōu)關(guān)聯(lián)選點(diǎn)方法變可信度融合模型建模得到的RMSE 用黑色星號(hào)標(biāo)出?？蓪?duì)比看出，兩個(gè)算例最優(yōu)關(guān)聯(lián)選點(diǎn)方法RMSE 均遠(yuǎn)低于LHS 方法RMSE的均值和中位數(shù)，明顯體現(xiàn)出該方法的優(yōu)勢(shì)。

圖5 不同算例LHS 與最優(yōu)關(guān)聯(lián)選法RMSE 箱線圖對(duì)比Fig. 5 Comparison of RMSE in boxplot between LHS and optimal correlation selection method for different cases

3.3 NACA0012 跨聲速氣動(dòng)力系數(shù)建模

將高效采樣的變可信度數(shù)據(jù)融合建模方法應(yīng)用于NACA0012 翼型變馬赫數(shù)變攻角的跨聲速氣動(dòng)力系數(shù)建模。采用精度不同的CFD 數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算二維翼型的氣動(dòng)力系數(shù)：升力系數(shù)（CL）、阻力系數(shù)（CD）以 及 俯 仰 力 矩 系 數(shù)（Cm） 。在Ma∈[0.5,0.8],α∈[0,5]設(shè)計(jì)空間內(nèi)，使用盡可能少的高保真度樣本，得到高精度的氣動(dòng)模型。

3.3.1 CFD 計(jì)算方法與求解器驗(yàn)證

CFD 為計(jì)算流體力學(xué)的簡(jiǎn)稱，是一種利用計(jì)算機(jī)求解得到流場(chǎng)數(shù)值模擬的技術(shù)。Euler 法能夠捕捉CL的非線性特點(diǎn)和CD相對(duì)于攻角的多項(xiàng)式行為等，揭示許多現(xiàn)象的本質(zhì)特征。N-S 方程是迄今為止描述連續(xù)介質(zhì)最完備的控制方程組。在本研究中，Euler 法將提供氣動(dòng)力系數(shù)的趨勢(shì)信息，即提供“廉價(jià)數(shù)據(jù)”，而N-S 法將作為修正數(shù)據(jù)。求解N-S 方程采用雙時(shí)間推進(jìn)法，實(shí)時(shí)間采用二階精度向后差分，偽時(shí)間則采用隱式Gauss-Seidel 迭代。因?yàn)楸疚尼槍?duì)的主要是跨聲速下翼型在非定常流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，因此選擇了能夠較好描述流動(dòng)分離的S-A 模型[30]。CFD求解所用的網(wǎng)格如圖6 所示。

圖6 不同CFD 求解器所用的網(wǎng)格Fig. 6 Meshes for different CFD solvers

3.3.2 變可信度融合模型的建立

NACA0012 翼型在設(shè)計(jì)空間內(nèi)存在抖振邊界[31]，如圖7 所示，本算例中設(shè)置模型每個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)都位于抖振邊界以內(nèi)。確定低保真度模型的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)為20，建模時(shí)需要對(duì)三種氣動(dòng)力系數(shù)分別建模。由于CD、Cm的非線性程度較高，即低保真度模型收斂時(shí)Ic集 合樣本較多，因此可用構(gòu)建CD（或Cm）低保真度模型時(shí)的低保真度樣本點(diǎn)構(gòu)建其余兩個(gè)氣動(dòng)力系數(shù)的低精度模型并進(jìn)行收斂判定，若不滿足可繼續(xù)細(xì)化更新模型。該做法可有效減少建模所需的計(jì)算成本。

圖7 NACA0012 翼型抖振邊界[31]Fig. 7 Buffet boundary of the NACA0012 airfoil[31]

低保真度樣本集Xc為設(shè)計(jì)空間抖振邊界內(nèi)的均勻網(wǎng)格點(diǎn)。初始采樣個(gè)數(shù) NumHF=7。圖8（a～c）給出CL、CD、Cm的低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面以及最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法獲取的樣本信息。圖8（d）給出三種氣動(dòng)力系數(shù)分別建模時(shí)初始高精度樣本點(diǎn)的對(duì)比，其中虛線代表抖振邊界。

圖8 三種氣動(dòng)力系數(shù)低保真度預(yù)測(cè)響應(yīng)面以及高保真度初始樣本的位置信息Fig. 8 Response surface predicted by LF model and the position information of the HF initial samples for the three aerodynamic force coefficients

3.3.3 建模結(jié)果與分析

三種氣動(dòng)力系數(shù)的預(yù)測(cè)響應(yīng)面以及建模所用的高保真度樣本點(diǎn)位置如圖9 所示。

通過LHS 采樣獲得30 個(gè)高保真度樣本作為測(cè)試集來進(jìn)行co-Kriging 變可信度融合模型精度驗(yàn)證。圖9（d）給出測(cè)試集在設(shè)計(jì)空間內(nèi)的分布情況。將測(cè)試集的樣本點(diǎn)的高保真度響應(yīng)值與求出的預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比。為減小氣動(dòng)力接近零值對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)帶來的影響，定義相對(duì)平均誤差為：

圖9 氣動(dòng)力系數(shù)變可信度數(shù)據(jù)融合后的預(yù)測(cè)響應(yīng)面以及高保真度樣本點(diǎn)位置Fig. 9 Response surface and HF samples after the variablefidelity data fusion

其中，y?(m)為 第m個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值，N代表驗(yàn)證集樣本數(shù)量， M AE(y?)為驗(yàn)證集樣本的平均絕對(duì)誤差。

表1 給出了測(cè)試集真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間均方差（RMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）以及相對(duì)平均誤差的對(duì)比。由表1 可以看出，三種氣動(dòng)力均達(dá)到很好的融合效果，其中CL、CD預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的相對(duì)平均誤差均小于3%?；诟咝Р蓸拥淖兛尚哦汝P(guān)聯(lián)融合氣動(dòng)力建模在實(shí)際工程問題中可以達(dá)到很好的建模效果。

表1 測(cè)試集真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間誤差對(duì)比Table 1 Comparison between the true and predicted values of the test set

4 結(jié) 論

本文提出了一種用于變可信度模型的最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法，并對(duì)變可信度模型的加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行了討論與改進(jìn)，解決了下述兩個(gè)問題： 1）如何確定變可信度模型高精度初始樣本點(diǎn)，使其建模精度與模型收斂速度優(yōu)于通常采用的LHS？ 2）如何確定每次迭代更新的模型細(xì)化樣本？在所提出的樣本初始化方法中，基于最優(yōu)關(guān)聯(lián)采樣方法約束了高精度初始樣本的分布，在保證VFM 建模效率下降低了空間均勻化采樣帶來的強(qiáng)隨機(jī)性，增強(qiáng)了融合模型的融合效率。本文還對(duì)VFM 樣本細(xì)化方法進(jìn)行了分析，加入距離項(xiàng)D(x)， 通過線性加和的方法與模型預(yù)測(cè)誤差項(xiàng)s2(x)耦合，構(gòu)建新的評(píng)價(jià)函數(shù)，提升了模型的全局性。通過三個(gè)數(shù)值算例說明了模型的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)給出最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法與LHS 初采樣對(duì)比的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。主要結(jié)論如下：

1）最優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)選取方法對(duì)于一般非線性強(qiáng)的響應(yīng)面建模（強(qiáng)周期性的響應(yīng)面除外），優(yōu)勢(shì)性明顯；

2）基于co-Kriging 的VFM 的建模精度與高保真度與低保真度樣本的相關(guān)程度有關(guān)，關(guān)聯(lián)度越高，VFM 建模效率越高；

3）VFM 的建模優(yōu)勢(shì)在高保真度樣本很少時(shí)體現(xiàn)明顯，隨著高保真度樣本數(shù)的增加，VFM 相對(duì)于單精度序列元建模的優(yōu)勢(shì)逐漸變?nèi)酢?/p>