賀嘯秋，熊永亮，徐 順，彭澤瑞，陳 波

（華中科技大學 航空航天學院 力學系，武漢 430074）

引言

湍流運動廣泛存在于自然界中，從星系中的星際介質運動，到杯子中被攪拌的咖啡流動，雖然時空尺度差距懸殊但都屬于湍流流動[1].流體的湍流運動對傳熱傳質具有重要的影響[2].當湍流流場中流體的運動僅具有兩個獨立的空間自由度時，稱之為二維湍流[3-6].相比三維湍流，二維湍流的結構更易于觀察與分析，且在直接數值模擬（DNS）所需要的計算資源顯著減小的同時又保留著湍流的許多關鍵特征[3].另一方面，二維湍流并不是三維湍流進行簡單維度壓縮的結果，它也具有與三維湍流完全不同的顯著差別[3].其中最核心的差別是最早由Kraichnan[7]、Leith[8]和Batchelor[9]發(fā)現的反向能量串級，即在充分發(fā)展的二維湍流中，在特定尺度范圍內存在著能量從尺寸較小的渦向尺寸較大的渦反向傳遞的現象.在研究海洋或者大氣中的大尺度運動時，海洋或大氣的側向尺寸遠大于高度方向的尺寸，在研究較大尺度的流動問題時可以忽略掉流體在高度方向的運動而作二維流動處理[10-11].因而，在地球物理與行星物理學中，二維湍流具有重要的研究價值[12].

嚴格意義下的二維湍流在實驗室或自然界中并不存在[3]，研究二維湍流主要依賴于DNS[3]或者在實驗條件下借助肥皂膜及電磁力抑制形成準二維流動[13].眾所周知，肥皂薄膜的厚度只有數微米，但其側向尺寸可以達到數十厘米以上，肥皂薄膜被廣泛用于準二維湍流實驗[12].Kellay[13]在實驗中研究了加熱肥皂泡中的準二維湍流.實驗中一個半球形的肥皂泡被固定在基座上，基座以水浴的方法對肥皂泡底部進行加熱，肥皂泡上的流體在浮力的驅動下形成復雜的湍流運動[14-15].肥皂泡上的流體運動與大氣流動都具有準二維流動特征，且具有相似的幾何特征，這使得學者以肥皂泡為簡化模型開展了大氣流動中尺度結構特征的研究[13-19].熱帶氣旋是大氣中的一種特殊中尺度結構，對人類社會具有重要的影響，是多種極端天氣與自然災害的直接原因[10].Seychelles 等[14]在實驗中觀察到肥皂泡上出現了能長時間獨立存在的島渦，島渦的運動規(guī)律與大氣中的熱帶氣旋類似，都具有超擴散的特征[14,16].此外，島渦的強度隨時間變化的規(guī)律與大氣中的熱帶氣旋類似[15].基于這些特點，Meuel 等[17]基于肥皂泡上島渦與颶風的運動特征提出了預測大氣氣旋運動軌跡的模型.在湍流方面，研究者們發(fā)現肥皂泡上的流動具有其特有的曲面準二維熱對流特征，通過實驗與DNS，可利用這一標準模型開展湍流流動機理的研究與湍流理論的考察[16,19-21].例如通過對肥皂泡的旋轉，發(fā)現了旋轉效應產生了新的溫度小尺度脈動標度關系[18].因而研究肥皂泡上的湍流熱對流不僅具有重要的應用價值，同時也可以拓展與豐富學界對湍流物理機制的認識.

借助赤平極射投影法，Xiong 等[20]首先實現了具有半球面幾何的二維流場DNS.他們計算了Rayleigh 數為1×108的肥皂泡流場，由于缺乏能量耗散，所得到的計算結果并不穩(wěn)定[20].Meuel 等[15]通過實驗研究了肥皂泡上的漩渦結構特征，并與DNS 計算結果進行了對比，發(fā)現兩者符合得較好.此后，Bruneau 等[19]在DNS 代碼中引入了能量耗散項，使得計算得到的流場能夠達到統計穩(wěn)態(tài)，計算獲得的流場與實驗觀察到的肥皂泡上的流動具有相同的特征，同時還發(fā)現DNS 計算結果對一定的外部耗散并不敏感，他們還通過DNS 結果發(fā)現了肥皂泡對流具有Bo59標度律，這與實驗中肥皂泡上觀察到的結果一致.最近，Meuel 等[18]同時使用實驗與DNS 方法研究了旋轉肥皂泡上的溫度脈動，他們的研究中實驗與DNS 獲得了非常相近的結果.經過近十年的發(fā)展，肥皂泡上熱對流的DNS 已日趨成熟，相比實驗方法，使用DNS 研究肥皂泡上的湍流熱對流也展露出較大的優(yōu)勢.首先，目前的實驗手段在獲得肥皂泡上的空間特征結構關聯上還具有一定難度，難以同時測量整個流場[13-14,17].對肥皂泡上的準二維湍流的深入研究有必要獲得包含全部尺度特征的完整流場信息，而采用DNS 方法可以滿足這一需求[22].其次，實驗方法也難以精確地在曲面幾何中測量如能量級串、結構函數等湍流的小尺度特征[23-24].而DNS 獲得的流場包含全部尺度的特征，可以使用編程后處理的方法高效快捷地計算湍流的小尺度特征.另外，使用DNS 方法可以方便地在更大、更明確的參數空間內研究肥皂泡曲面空間上的熱對流，并規(guī)避了如非Boussinesq 效應、不均勻加熱邊界、材質與外界擾動等實驗中常見的誤差來源.本文將詳細介紹這一套簡便求解肥皂泡上流場的并行計算DNS 方法，以及針對球面二維湍流的分析方法.

文中通過該方法對多個高Rayleigh 數下的熱對流開展了DNS，并探索了肥皂泡上的湍流雙級串現象與小尺度脈動的標度關系.

1 模型介紹與控制方程

本文研究的是在底部加熱的半球形肥皂泡上的準二維湍流.肥皂薄膜的厚度遠小于肥皂泡的半徑R，可以忽略流體在肥皂薄膜厚度方向的運動，使用二維半球面來近似肥皂泡的幾何外形.赤道是肥皂泡與基座接觸的邊界，幾何外形為一個半徑為R的圓周.首先，需要建立坐標系描述肥皂泡上流體微元的空間位置.三維直角坐標系Oxyz以二維半球面的球心O為原點，ex，ey和ez分別為x，y和z方向上的單位基矢，其中ez方向與重力方向相反.在直角坐標系下，肥皂泡用曲面方程x2+y2+z2=R2(z≥0)描述，赤道的曲線方程為x2+y2=R2.采用球坐標系Or?θ，其中r≡R可方便地將該問題簡化為二維，球坐標系的單位基矢用er，e?和eθ表示.與球坐標類似，地理坐標系?*Oθ*能更加直觀地描述肥皂泡上任意一點的空間位置，經度定義為?*=?，緯度定義為θ*=90?-θ.肥皂泡頂部緯度為 90?（θ*=90?）,而在赤道緯度為 0?（θ*=0?），地理坐標系的基矢為e?*=e?，eθ*=-eθ.對于肥皂泡上的速度場u有如下定義：

肥皂泡上流場的唯一邊界是赤道，邊界條件為恒溫無滑移（T=T0,u=0）邊界條件.若肥皂泡的初始溫度遠小于肥皂泡的赤道溫度，隨著時間的推進，在赤道附近的流體，通過赤道從外界吸收熱量，使其溫度升高密度降低.此時，流體在浮力的驅動下向肥皂泡頂部運動，肥皂泡中產生熱對流.數值模擬中，Boussinesq 近似常被用來描述流體溫度與密度的關系.當流體運動至遠離赤道的位置時，熱量向周圍的低溫空氣擴散，導致溫度下降密度逐漸上升，受到的浮力逐漸減弱.觀察實驗中的肥皂泡流場可以發(fā)現，由于肥皂泡既向冷空氣散熱又與冷空氣產生摩擦，肥皂泡上的湍流熱對流不斷持續(xù)并達到了統計平衡態(tài)[13-18].為了使DNS 中肥皂泡進入統計平衡態(tài)，外冷卻項ST和外摩擦項Fu被分別加入到能量方程與動量方程中，用于描述流體與環(huán)境冷空氣的散熱與摩擦，S為外冷卻系數，而F是外摩擦因數.以往的研究表明，外冷卻項和外摩擦項可以較好地描述肥皂泡與實驗環(huán)境之間的能量交換[19-21].因此，流體在肥皂泡上運動的控制方程可寫為Ra建立了流體受到的浮力與黏性力之間的一個關系，Pr則反映了動量傳輸及熱量傳輸速率之比，對于特定的物質，Pr是流體本身的屬性，此處為一定值.

考慮到需要在球坐標系下求解控制方程（4），則在肥皂泡的頂點處引入了奇異性.而在直角坐標系下無法對這一曲面進行二維描述，采用三維描述并進行離散則降低了曲面的光滑性.通過赤平極射投影法引入的投影空間坐標系x?Oy?可以規(guī)避以上全部缺點.首先，定義肥皂泡的頂點關于赤道平面的鏡像點為B點，B點在無量綱直角坐標系Ox?y?z?中的坐標為(0,0,-1).令A點為肥皂泡上任意一點，存在唯一直線經過A點與B點，直線AB與赤道平面的交點為C，C點就是A點的赤平極射投影點.圖 1 展示了赤平極射投影幾何關系，其中橙色平面為赤道平面，A是肥皂泡上任意一點，B為肥皂泡頂點關于赤道平面的鏡像點，C為投影點.投影坐標系Ox?y?的原點為肥皂泡的球心，x?軸與x?軸重合，y?軸與y?軸重合.由簡單的幾何關系可以推導出，無量綱的直角坐標系向投影空間的正變換is為

圖1 赤平極射投影法示意圖Fig.1 An illustration of the stereographic projection

而對應的逆變換為

在計算空間內，基矢不再是常向量，而隨著空間坐標變化而變化.通過基矢的變換（12）與逆變換（13）可以方便地求得在投影空間與物理空間的矢量之間的轉換公式.例如，速度在投影空間與物理空間的分量具有以下關系：

使用基矢的逆變換（13）代入到速度定義（14）中，即可獲得速度的逆變換公式：

在投影空間中求解控制方程(4)還需要計算矢量算符在投影空間中的形式.變換is的Jacobi 矩陣為

2 數值方法

圖2 交錯網格示意圖Fig.2 The scheme of the staggered mesh

圖3 并行算法示意圖Fig.3 The scheme of the parallel algorithm

3 結果討論

3.1 算例信息與瞬時流場

本文一共設置了三個算例用以分析Rayleigh 數對流場的影響，三個算例的Ra分別為3×107，3×109和3×1011，詳細信息見表 1.所有算例的Pr固定為7，因為肥皂水的物理性質與水近似.以往的研究表明S? =F?=0．06是一個合理的選擇[19,21]，本文計算中也采用該值.為了消除網格分辨率對結果的影響，對每個算例都嘗試了多個網格分辨率：256×256，512×512，1 024×1 024，1 536×1 536，2 048×2 048和2 560×2 560.圖 4 顯示了算例2 在不同網格分辨率下，系統總擬渦能隨時間的變化曲線.從圖中可以觀察到，不同的網格分辨率下肥皂泡上的總擬渦能都在 50個無量綱時間單位內達到了統計穩(wěn)態(tài).在本文所有的數值模擬中，每個算例都保證足夠的計算時長，使流場達到統計穩(wěn)態(tài)，并對結果進行長時間的統計計算.隨著網格分辨率的提升，總擬渦能的統計平均值在緩慢增加，但當網格分辨率超過2 048×2 048時，DNS 已可以獲得網格獨立結果.得益于并行計算效率的提升，本文首次使用2 048×2 048的網格分辨率開展了肥皂泡上熱對流的DNS，同時也將DNS 的Rayleigh 數提升到Ra=3×1011.

圖4 不同網格分辨率下，算例2 的總擬渦能隨時間的變化曲線（左）和擬渦能總量的統計值隨網格分辨率變化曲線（右）Fig.4 The temporal evolution of the total enstrophy on the bubble with different mesh resolutions(left)&the variation of the mean total enstropy with the mesh resolutions(right)

表1 算例參數信息Table 1 Information for the simulated cases

通過觀察瞬態(tài)流場云圖可以直觀地分析肥皂泡上流場的宏觀特點.圖 5 展示了三個算例的瞬時溫度場T，瞬時動能場u2/2和瞬時擬渦能場ω2/2.從圖 5 中可以清晰地觀察肥皂泡上非常卷曲的羽流以及尺度較大的島渦.在經典的Rayleigh-Bénard 對流中，流場由冷熱羽流所自組織的大尺度環(huán)流（large scale circulation）所主導.當對流槽具有特定的縱橫比時，在合適的Rayleigh 數控制下，流場中還會出現角渦.肥皂泡沒有冷邊界，流場中不存在冷羽流；而肥皂泡同時也沒有側向邊界及其形成的角渦，肥皂泡上的相干結構主要由熱羽流及其演化形成.從溫度云圖上可以觀察到，邊界層上產生了大量的羽流，羽流在浮力的作用下向更高緯度運動.而同一時刻的擬渦能云圖則顯示羽流的形成與運動過程中產生了不同尺寸的渦，一些渦相互融合后形成了尺度較大的島渦，島渦主要居于較高緯度，與實驗中觀察到的情況相同[15,17].從動能云圖中可以發(fā)現流場的動能集中在一些尺寸較大的島渦中.

圖5 瞬時流場圖：（a）無量綱瞬時溫度場，Ra=3×107；（b）無量綱瞬時溫度場，Ra=3×109；（c）無量綱瞬時溫度場，Ra=3×1011；（d）無量綱瞬時動能場，Ra=3×107；（e）無量綱瞬時動能場，Ra=3×109；（f）無量綱瞬時動能場，Ra=3×1011；（g）無量綱瞬時擬渦能場，Ra=3×107；（h）無量綱瞬時擬渦能場，Ra=3×109；（i）無量綱瞬時擬渦能場，Ra=3×1011Fig.5 The instantaneous flow field:(a)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×107;(b)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×109;(c)dimensionless instantaneous temperature field,Ra=3×1011;(d)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×107;(e)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×109;(f)dimensionless instantaneous kinetic energy field,Ra=3×1011;(g)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×107;(h)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×109;(i)dimensionless instantaneous enstrophy field,Ra=3×1011

而隨著Ra的增加，瞬時流場出現了明顯變化.當Ra=3×107時，羽流和渦的尺寸較大，動能分布在較大的流動結構中，而且可以從溫度云圖中清晰的觀察到邊界層.當Ra增加到3×109時，羽流更加細小與卷曲，而渦的尺寸也明顯變小，同時羽流和渦的數量有明顯增加，動能集中在更加細長的流動結構中.另外，溫度邊界層的厚度大幅減小，從溫度云圖中已經無法清晰觀察到邊界層.而當Ra=3×1011時，羽流和渦變得更加小，而其數量更進一步增加時，動能云圖顯示流動結構的尺寸將繼續(xù)減小.

3.2 動能與擬熱能的波數譜與通量

流場量的波數譜和通量表征了湍流場不同尺度的渦之間的相互作用，對于三維流場或二維平面流場，計算波數譜和通量需要進行空間Fourier 變換.肥皂泡上的流場具有曲面幾何，需要專門的數學工具來計算波數譜和通量.任意球對稱空間函數Ψ 均可以展開為球諧函數的級數：

在肥皂泡上尋找Bo59標度律需要考慮曲面幾何帶來的影響.由于肥皂泡上不同緯度上的重力投影隨著緯度而變化，這是Bo59假設中所不包含的特點.這暗示只有在重力隨緯度變化較小的區(qū)域內，有可能發(fā)現Bo59標度律.對于緯度為 θ*，重力加速度在球面切向的投影為gcosθ*，對之求 θ*的導數為gsinθ*，這說明越接近赤道重力投影隨緯度的變化越小.然而，在導出Bo59標度律的理論中假定邊界條件不產生影響，因而只有在足夠遠離赤道才能發(fā)現Bo59標度律.結合以上幾點考慮，Bo59標度律只在一定緯度范圍內有效.

本文三個算例的動能與擬熱能的波數譜如圖 6 所示，圖中虛線為Bo59標度參考線.觀察圖 6 中的動能波數譜可以發(fā)現，在5≤kR≤100的范圍內，Bo59標度律準確地描述了不同Ra下的動能譜隨波數的標度規(guī)律.相反的是，圖 6 中的擬熱能的波數譜則表明，在本文所考慮的三個Ra條件下，肥皂泡的擬熱能波數譜標度特征沒有觀察到Bo59標度律.在肥皂泡上流場中，邊界層中流體的溫度最高，而當流體隨著羽流上升離開邊界層后，溫度快速下降.He 等[21]發(fā)現，邊界層的平均溫度與脈動溫度均遠大于肥皂泡其余部分，這暗示邊界層對肥皂泡上溫度場具有很強的影響.圖 6 中的擬熱能波數譜包含了整個肥皂泡上溫度場的脈動信息，溫度邊界條件對波數譜的影響無法忽略，所以擬熱能波數譜相比動能包含了更多邊界的影響而沒有Bo59標度律.隨著Ra的增加，在小波數的范圍內，動能譜和擬熱能有較明顯的減小，這與瞬時流場中羽流和渦的尺寸隨著Ra增加而明顯變小的規(guī)律相符合.對于圖 6 中所有Ra的波數譜，隨著波數k的增加，動能譜與擬熱能譜逐漸減小.這表明肥皂泡上尺寸越大的流動結構具有更大的動能與擬熱能，與從瞬時流場觀察到的現象相同.

圖6 動能與擬熱能的波數譜：（a）動能；（b）擬熱能Fig.6 The wave number spectra for the kinetic energy and entropy:(a)the kinetic energy;(b)the entropy

通量（flux）代表了湍流場中不同尺度的渦之間的物理量傳遞，大于0的通量表明物理量從大尺度的渦向小尺度的渦級串.反之當通量小于 0時，物理量從小尺度的渦向大尺度渦逆級串.Kraichnan[7]、Leith[8]和Batchelor[9]的二維湍流理論預言了雙級串的現象：一個尺度范圍中，動能能級逆級串而擬渦能保持正向級串.圖 7 顯示了整個肥皂泡上動能、擬渦能、擬熱能和浮力項的通量，圖中包含全部三個算例的結果.在三個不同的Ra條件下，圖 7 中的 ΠE曲線都具有相同的規(guī)律，在較小波數的區(qū)間ΠE＞0，隨著波數的增加，ΠE快速減小到負值.在 ΠE達到最小值之后，ΠE隨著波數的增加逐漸增加，重新達到ΠE＞0，此時 ΠE隨波數的變化較小.三個算例中的流場均出現了動能能級逆級串的現象，隨著Ra的增加，能級擬級串的尺度區(qū)間逐漸變大.

通過觀察圖 7 中的擬渦能通量曲線可以發(fā)現，三個算例的 ΠW始終大于0，肥皂泡上擬渦能始終保持從大渦向小渦的傳遞方向.在不同的Ra下，ΠW在較小波數的范圍內保持穩(wěn)定，但隨著波數的增加，ΠW先快速增加，達到最大值之后又快速減少.三個算例的擬熱能的通量同樣始終大于0，這說明溫度也始終是由較大的渦傳遞給較小的渦.從瞬時溫度場可以觀察到，羽流和渦在赤道處產生時尺寸較大，在向高緯度運動的過程中破碎消散，這一過程符合擬熱能通量所描述的逆熱能傳遞特征.當Ra=3×1011與Ra=3×109時，ΠT隨著波數的增加單調緩慢減小.而在Ra=3×107的條件下，擬渦能通量曲線隨著波數的增加先增加后減小，出現一個極大值.

浮力通量是對整個肥皂泡上的浮力場Teθ*進行球諧分解后計算獲得，計算方法與動能的通量計算方法相同.由于肥皂泡上的流體運動是由浮力所驅動，浮力通量具有特別的重要性.圖 7 中的浮力通量曲線顯示三個算例的ΠBuoy始終大于0.不同Ra下的浮力通量曲線具有相同的變化規(guī)律.在區(qū)間kR≤5中，ΠBuoy隨著波數增加保持穩(wěn)定.在kR≥10的條件下，浮力通量隨著波數的增加而增加，達到最大值之后又快速減小.ΠBuoy的上升暗示一個在較小尺度上存在局部的湍流動能注入，而這個湍流動能注入來源是動能能量逆級串：小尺度渦向大尺度渦注入了湍流動能.隨著Ra的增加，ΠBuoy顯著減小.由于Ra的增加會使得羽流的尺寸快速減小，而且小尺寸的熱羽流受到的浮力更小，于是浮力通量在整個波數范圍上都減小了.

圖7 肥皂泡上的動能通量、擬渦能通量、擬熱能通量和浮力的通量：（a）動能；（b）擬渦能；（c）擬熱能；（d）浮力Fig.7 The fluxes of kinetic energy,enstrophy,entropy and buoyancy on the soap bubble:(a)the kinetic energy;(b)the enstrophy;(c)the entropy;(d)the buoyancy

3.3 結構函數

Kolmogrov 在1941 年提出各向同性均勻湍流假設，并使用結構函數來描述不同尺度渦之間的能量交換.結構函數被定義在物理空間中，更加直觀地揭示出流場脈動的特點，并且能夠給出更高階的流場信息.n階速度結構函數的定義如下：

x是空間中一點的位置矢量，而d為距離矢量，d=|d|，n為正整數，〈·〉算符代表系綜平均.按照同樣的方法，可以定義n階溫度結構函數：

圖8 結構函數計算方法Fig.8 The scheme of the distance for calculating the structure function

由于溫度場與速度場的具有連續(xù)性，當d足夠小時，溫度與速度結構函數的標度系數退化為n以滿足Taylor 展開特性.在計算結構函數時，需要對物理量的差值進行時間，經度和緯度上的平均.所有達到統計平衡態(tài)之后的時間步都在時間平均的范圍內，而經度平均的范圍在0?≤?*≤360?.為了能在消除邊界層的影響同時保證計算的準確性，緯度平均的范圍被限制在10?≤θ*≤90?.圖 9 顯示了緯度與經度方向上的從2 到9 階結構函數，其中緯度方向上的結構函數在左邊，經度方向上的結構函數在右邊.將緯度方向上的溫度或速度結構函數與經度方向上的結構函數相對比，可以發(fā)現兩者的標度規(guī)律非常接近，但是數值有一些微小的差別.這與Bo59標度律成立的前提條件相符合：速度或溫度的差值僅與兩點之間的距離相關，與方向無關.

圖9 緯度與經度方向上2 到9 階的溫度和速度結構函數：（a）緯度方向的溫度結構函數；（b）緯度方向的速度結構函數；（c）經度方向的溫度結構函數；（d）經度方向的速度結構函數Fig.9 The temperature and velocity structure functions in the latitude and longitude directions,n=2～9:(a)the temperature structure functions in the latitude direction;(b)the velocity structure functions in the latitude direction;(c)the temperature structure functions in the longitude direction;(d)the velocity structure functions in the longitude direction

從圖 9 可以觀察到，速度結構函數在d/R≤O(0．01)的范圍內，標度系數為n.而在0．01≤d/R≤0．1的區(qū)間中，Bo59標度律較好地描述了速度結構函數的標度特征.在階數n逐漸增加的情況下，速度結構函數始終能在同一區(qū)間內較好地滿足Bo59標度律，但受到湍流間歇的影響，其指數在高階時并非線性增加.

另一方面，觀察溫度結構函數曲線上可以發(fā)現，溫度結構函數在d/R≤O(0．01)的區(qū)間內滿足而在 0．01≤d/R≤0．1的區(qū)間內較好地符合Bo59標度律.由于排除了邊界層的影響，結構函數得到的結果與波數譜不同.

4 結論與展望

本文介紹了底部加熱的半個肥皂泡這一新的準二維湍流，同時詳細介紹了其DNS 方法.計算中針對肥皂泡二維球面的曲面幾何特點，借助球極投影，將物理空間的控制方程轉換到投影坐標系中，降低了離散化控制方程的難度.此后還介紹了球面上利用球諧分解計算波數譜與通量，以及計算結構函數的分析方法.最后，針對Ra=3×107，Ra=3×109，Ra=3×1011三個算例，本文計算了動能和擬熱能的波數譜，以及動能、擬熱能、擬渦能和浮力的通量.另外也計算了Ra=3×1011算例的溫度與速度結構函數.不同Ra的結果都表明了肥皂泡上存在二維湍流中雙級串的現象.湍流動能波數譜較好地滿足了Bo59標度律的理論預示，但擬熱能由于主要受邊界的影響較大，其波數譜中沒有觀察到足Bo59標度律.但通過湍流結構函數，在去除了赤道邊界的高溫邊界層影響后，無論速度還是溫度結構函數，都在一定范圍較好地符合Bo59的理論預示.未來可進一步通過增加Rayleigh 數范圍，研究Rayleigh 數與能量注入尺度以及不同維度上浮力作用間的聯系.