葉興梅，張麗敏，方玉宏，陳景東

(閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建 漳州 363000)

0 引言

磁制冷是一種先進(jìn)制冷技術(shù)，具有高效節(jié)能、綠色環(huán)保和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)越特性[1-2]，因而關(guān)于磁制冷的研究成為低溫技術(shù)領(lǐng)域非?；钴S的一個(gè)課題。磁Ericsson制冷循環(huán)因其制冷溫區(qū)寬、易控制等優(yōu)點(diǎn)備受青睞。一些學(xué)者應(yīng)用有限時(shí)間熱力學(xué)理論對(duì)其進(jìn)行研究，得到一些有意義的結(jié)論。例如，嚴(yán)子浚和楊惠山[3-4]研究熱阻、非理想回?zé)岷突責(zé)釙r(shí)間對(duì)磁Ericsson制冷機(jī)性能的影響，導(dǎo)出Ericsson制冷循環(huán)的基本優(yōu)化關(guān)系。張燕燕[5]研究了一般傳熱規(guī)律下的磁Ericsson制冷機(jī)的優(yōu)化性能，探討熱阻和非理想回?zé)釋?duì)一類磁Ericsson制冷機(jī)的影響。袁都奇[6]建立了受熱漏、熱阻及回?zé)釗p失等主要不可逆因素影響的順磁質(zhì)Ericsson 制冷循環(huán)模型，分析各種不可逆性對(duì)Ericsson制冷循環(huán)性能影響的本質(zhì)差異。莊小玲等[7]應(yīng)用Langevin函數(shù)的近似式以及熱力學(xué)分析方法，揭示有限速率熱傳導(dǎo)、不平衡回?zé)?、回?zé)崞餍始盁崧┑葘?duì)鐵磁Ericsson制冷循環(huán)性能的影響。徐志超等[8]據(jù)朗之萬(wàn)理論導(dǎo)出鐵磁材料的磁化強(qiáng)度和熵表式，揭示有限熱源、回?zé)崞餍?、外磁?chǎng)強(qiáng)度等參量對(duì)磁Ericsson制冷循環(huán)熱經(jīng)濟(jì)及相應(yīng)的熱力學(xué)性能的定量影響。XIA等[9]探討了熱阻、非理想回?zé)?、回?zé)崞鲹p失、熱漏及工質(zhì)內(nèi)部不可逆耗散等對(duì)磁Ericsson制冷循環(huán)性能的影響。YE等[10]建立了受外部熱源有限熱容、熱阻、固有回?zé)釗p失、附加回?zé)釗p失和工質(zhì)內(nèi)不可逆等影響的磁Ericsson 制冷循環(huán)模型，導(dǎo)出制冷率和制冷系數(shù)及制冷率與輸入功率間的優(yōu)化關(guān)系。在磁Ericsson制冷循環(huán)的進(jìn)一步研究中，有必要更全面地考慮各種不可逆因素對(duì)制冷機(jī)性能的影響。為此，本文建立以滿足居里定律的順磁質(zhì)為工質(zhì)的Ericsson制冷循環(huán)新模型，綜合考慮熱源熱容量有限、熱阻、非理想回?zé)?、回?zé)崞鲹p失、熱漏及工質(zhì)內(nèi)不可逆性等不可逆因素，分析各種不可逆因素對(duì)制冷循環(huán)制冷率和制冷系數(shù)的影響。

1 順磁材料的主要熱力學(xué)性質(zhì)

理想順磁質(zhì)的磁化強(qiáng)度M可用布里淵函數(shù)BJ(x)表示，即

M=ngμBJBJ(x),x=gμBJH/(kT)，

(1)

其中，n為單位體積順磁質(zhì)的原子或離子數(shù)，g為朗德因子，μB為玻爾磁子，J為角動(dòng)量量子數(shù)，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，k為玻耳茲曼常數(shù)，T為絕對(duì)溫度。

當(dāng)x?1時(shí)，布里淵函數(shù)為

(2)

在這種情況下，(1)式可簡(jiǎn)化為

(3)

(3)式就是熟知的居里定律，其中，C為居里常數(shù)。

根據(jù)(3)式并忽略順磁質(zhì)的體積變化，應(yīng)用順磁質(zhì)的熱力學(xué)基本方程可推出滿足居里定律的順磁質(zhì)的熵為

(4)

其中，S0(T)僅是溫度的函數(shù)，μ0為真空磁導(dǎo)率。

再由(4)式可得，順磁鹽的等磁化強(qiáng)度熱容CM僅是溫度的函數(shù)，而等磁場(chǎng)強(qiáng)度熱容

(5)

不僅是溫度T的函數(shù)，還與磁場(chǎng)強(qiáng)度H相關(guān)。

許多順磁鹽在溫度低于1 K時(shí)居里定律還相當(dāng)準(zhǔn)確，甚至有些在0.01 K以下時(shí)仍可適用[3]，而磁Ericsson制冷循環(huán)大多用于20 K以上的溫區(qū)。所以本文基于居里定律對(duì)順磁質(zhì)Ericsson制冷循環(huán)進(jìn)行優(yōu)化分析，所得到的結(jié)論具有較大的適用范圍。

2 不可逆磁Ericsson制冷循環(huán)

不可逆磁Ericsson制冷循環(huán)模型如圖1所示，工質(zhì)進(jìn)行兩個(gè)等溫和兩個(gè)等磁場(chǎng)強(qiáng)度過(guò)程。

圖1 不可逆磁Ericsson制冷循環(huán)T-H圖

在圖1中，過(guò)程a→b表示溫度為T1的等溫磁化過(guò)程，磁場(chǎng)強(qiáng)度由H1升到H2，同時(shí)工質(zhì)放出熱量Q1致使變溫高溫?zé)嵩吹臏囟葟腡H1上升到TH2；過(guò)程b→c表示H=H2的等磁場(chǎng)強(qiáng)度過(guò)程，溫度由T1降至T2，并向回?zé)崞鞣懦鰺崃縌bc；過(guò)程c→d表示溫度為T2的等溫去磁過(guò)程，磁場(chǎng)強(qiáng)度由H2降至H1，在此過(guò)程工質(zhì)吸收熱量Q2使得變溫低溫?zé)嵩吹臏囟葟腡L1下降到TL2；過(guò)程d→a表示H=H1的等磁場(chǎng)強(qiáng)度過(guò)程，溫度由T2升到T1，并從回?zé)崞魑諢崃縌da。根據(jù)對(duì)數(shù)平均溫差法[10-11]，則有

(6)

(7)

本文的磁Ericsson制冷循環(huán)以遵從居里定律的順磁鹽為工質(zhì)，則由(4)(5)式得到的工質(zhì)與高、低溫?zé)嵩醇盎責(zé)崞鹘粨Q的熱量可分別表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

由于H2>H1，從(10)(11)式可知，Qbc>Qda，即回?zé)崞魑盏臒崃看笥趶幕責(zé)崞鞣懦龅臒崃浚虼艘詥我豁槾披}為工質(zhì)的Ericsson制冷循環(huán)不具有理想回?zé)岬臈l件[3]。由于回?zé)崞鹘?jīng)一循環(huán)后要恢復(fù)原狀，否則無(wú)法維持正常的工作。因此，回?zé)崞髦卸嘤嗟臒崃?/p>

(12)

必須及時(shí)地釋放到低溫?zé)嵩慈ィ@樣就造成了非理想回?zé)帷?/p>

由于有限速率熱交換，回?zé)崞鞯幕責(zé)釗p失不能忽視，假設(shè)由此引起的附加回?zé)釗p失正比于非理想回?zé)酫r，即可表示為

ΔQr=(1-ηr)Qr,

(13)

其中，ηr為回?zé)崞鞯幕責(zé)嵝剩莚≤1。

回?zé)徇^(guò)程也需要一定的時(shí)間，設(shè)兩個(gè)等磁場(chǎng)過(guò)程進(jìn)行的時(shí)間為[10]

(14)

其中，γ為與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)。

考慮到高低溫?zé)嵩粗g存在熱漏，假設(shè)每循環(huán)從高溫?zé)嵩吹降蜏責(zé)嵩吹臒崧p失為[6]

QL=qlτ,

(15)

其中，ql為熱漏率；τ為循環(huán)周期，τ=t1+t2+t3+t4。

進(jìn)一步，考慮到磁工質(zhì)在制冷循環(huán)過(guò)程中不可避免地存在渦流等耗散，使得工質(zhì)內(nèi)部存在不可逆性，為了定量描述這種內(nèi)不可逆性，引入內(nèi)不可逆因子：

(16)

3 制冷率和制冷系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式

聯(lián)立(6)至(16)式，可求得每循環(huán)的凈放熱量和凈制冷量為

QH=Q1-ΔQr-QL,

(17)

QC=Q2I-1-ΔQr-Qr-QL.

(18)

進(jìn)而得到制冷率和制冷系數(shù)表達(dá)式分別為

(19)

(20)

其中，y為兩等溫過(guò)程的溫度比，

將(19)式代入極值條件?R/?T2=0可求得

T2=(bTH1+TL1)/(1+by),

(21)

再將(21)式代入(19)(20)式，可得到制冷率和制冷系數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

R=kHTL1(yI-1-A1(y-1))((1+by)2/(y-TH1/TL1)+B(y-1))-1-ql,

(22)

(23)

其中，B=kHA2TL1。

利用(22)(23)式，可進(jìn)一步定量分析回?zé)嵝?、?nèi)不可逆因子、磁場(chǎng)強(qiáng)度、熱漏率以及高、低溫端熱交換因子對(duì)不可逆磁Ericsson制冷循環(huán)性能參數(shù)的影響。

4 討論

4.1 優(yōu)化的工作區(qū)域

I=1.05；ηr=0.95；εH=εL=0.9；ql/(CLTL1)=0.000 5；B=10。圖2 溫度比對(duì)制冷率和制冷系數(shù)的影響

4.2 高、低溫端熱交換器有效因子對(duì)循環(huán)性能的影響

I=1.05；ηr=0.95；ql/(CLTL1)=0.000 5；B=10。圖3 高、低溫端熱交換有效因子對(duì)R*～ε曲線的影響

表1 高、低溫端熱交換有效因子對(duì)制冷機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響

4.3 內(nèi)不可逆因子和回?zé)崞餍蕦?duì)循環(huán)性能的影響

εH=εL=0.9；ql/(CLTL1)=0.000 5；B=10。圖4 內(nèi)不可逆因子和回?zé)崞餍蕦?duì)R*～ε曲線的影響

表2 內(nèi)不可逆因子和回?zé)崞餍蕦?duì)制冷機(jī)4個(gè)重要性能參數(shù)的影響

4.4 熱漏對(duì)循環(huán)性能的影響

εH=εL=0.9；I=1.05；ηr=0.95；B=10。圖5 熱漏對(duì)R*～ε曲線的影響

4.5 磁場(chǎng)強(qiáng)度比對(duì)循環(huán)性能的影響

εH=εL=0.9；I=1.05；ηr=0.95；ql/(CLTL1)=0.000 5；4μ0γkHTL1/C=120 T2；μ0H1=2 T。圖6 磁場(chǎng)強(qiáng)度比對(duì)R*～ε曲線的影響

4.6 特例

當(dāng)外部熱源的熱容量為無(wú)限大，且忽略內(nèi)不可逆性和熱漏時(shí)，即當(dāng)CH,CL→∞，I=1，ql=0，由(22)(23)可得：

(24)

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立了包含有限熱源、熱阻、非理想回?zé)?、回?zé)崞鲹p失、工質(zhì)內(nèi)不可逆性和熱漏等不可逆因素在內(nèi)的磁Ericsson制冷循環(huán)，應(yīng)用對(duì)數(shù)平均溫差法和最優(yōu)控制理論，導(dǎo)出了制冷率和制冷系數(shù)的具體表達(dá)式。通過(guò)數(shù)值算例和圖形詳細(xì)分析了高、低溫端熱交換器的有效因子、內(nèi)不可逆性和回?zé)崞餍?、熱漏率和磁?chǎng)強(qiáng)度比對(duì)磁Ericsson制冷循環(huán)性能的影響。研究結(jié)果表明，磁Ericsson制冷循環(huán)的制冷率和制冷系數(shù)隨著高、低溫端熱交換器有效因子的增大而增大，制冷率的增幅大于制冷系數(shù)；當(dāng)內(nèi)不可逆因子增大或回?zé)崞餍式档蜁r(shí)，制冷率和制冷系數(shù)都顯著減小；當(dāng)熱漏不為零時(shí)，制冷率與制冷系數(shù)之間的優(yōu)化關(guān)系曲線為扭葉形，熱漏增大，最大制冷系數(shù)所對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱制冷率增大，而其他三個(gè)性能參數(shù)隨之減小；當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度H1給定，磁場(chǎng)強(qiáng)度比越大，循環(huán)優(yōu)化區(qū)域越寬。綜上所述，盡可能提高回?zé)崞餍屎痛艌?chǎng)強(qiáng)度比以及高、低溫?zé)峤粨Q有效因子，減小內(nèi)不可逆因子和熱漏對(duì)不可逆磁Ericsson循環(huán)性能是大有益處的。