鄒 瑩，周曉松

(南京工業(yè)大學機械與動力工程學院，江蘇 南京 211816)

鋼結構廣泛應用在海洋工程、造紙機械和石油化工等領域，而焊接則是鋼結構建造中最重要的連接方法。疲勞是焊接鋼結構主要的損傷形式[1-3]，在循環(huán)載荷作用下，通常會在應力集中處產(chǎn)生疲勞裂紋，并發(fā)生擴展直至破壞，故焊接接頭的疲勞性能關乎焊接鋼結構的耐久性。由此可知，了解焊接接頭的疲勞裂紋擴展行為，準確預測其疲勞壽命，對揭示焊接接頭疲勞裂紋擴展機理、預防焊接結構發(fā)生失效，有重要的實際價值和理論意義。目前，鋼結構焊接接頭的疲勞裂紋擴展問題已引起眾多學者的關注，若僅通過疲勞試驗進行研究，既昂貴又耗時。隨著計算機技術的發(fā)展，人們對結構疲勞數(shù)值模擬方法的研究越來越深入，有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)、邊界元法、有限差分法、擴展有限元法(extended finite element method，XFEM)等已被用于求解各種載荷條件下的疲勞裂紋擴展問題。本文將對疲勞裂紋擴展的數(shù)值模擬基本理論及目前的研究進展進行概述。

1 疲勞裂紋擴展的數(shù)值模擬基本理論

不同的數(shù)值方法在分析裂紋問題時具有不同的優(yōu)缺點。由于傳統(tǒng)FEM有較為成熟的理論基礎、XFEM有良好的求解精度，因此二者成為研究裂紋擴展問題的主要數(shù)值模擬手段。

1.1 傳統(tǒng)有限元法

FEM最初由Courant[4]于1943年提出，即從應用數(shù)學角度，嘗試在一個區(qū)域內(nèi)用分片連續(xù)函數(shù)與最小位能原理求解扭轉相關問題。1960年，Clough[5]在處理平面彈性問題時正式提出“有限元法”，此后FEM逐漸被更多學者研究并得到應用。經(jīng)過長期發(fā)展，F(xiàn)EM已從彈性材料擴展到塑性、黏彈性、黏塑性及復合材料等領域，在工程分析中與計算機技術相結合，極大提高了FEM分析的準確性與效率。

然而，F(xiàn)EM處理裂紋不連續(xù)問題時，主要用于計算裂尖區(qū)域的應力應變場。裂紋尖端的網(wǎng)格單元應為奇異性單元。隨著裂紋擴展的進行，需不斷對網(wǎng)格重新劃分，以確保網(wǎng)格進一步加密和奇異性單元始終位于裂紋尖端。該計算過程的缺點是求解數(shù)據(jù)量大、網(wǎng)格劃分難度高、計算效率低下。

1.2 擴展有限元法

為了能夠準確高效地模擬裂紋擴展的不連續(xù)問題，XFEM于1999年被提出[6]。XFEM在傳統(tǒng)有限元的基礎上，基于單位分解法的思想加入了帶有非連續(xù)性的加強函數(shù)以表示計算域內(nèi)的間斷。該不連續(xù)場的表達不依賴網(wǎng)格邊界，因此在裂紋擴展過程中無需重新劃分網(wǎng)格，同時使用水平集法(level set method，LSM)追蹤裂紋擴展，使得對裂紋位置的描述獨立于網(wǎng)格，裂紋可以不受網(wǎng)格的限制沿任意路徑擴展。由于其在處理斷裂等強不連續(xù)問題時的獨到優(yōu)勢，提出后在疲勞裂紋擴展模擬中得到了廣泛應用[7]。

1.2.1單位分解法

單位分解法是XFEM描述不連續(xù)問題的基礎，其基本思想是先定義局部函數(shù)逼近子域，再將局部函數(shù)結合起來完成全局的逼近[8-9]。

擴展有限元基于其基本思想，在位移函數(shù)中加入了描述間斷特性的加強函數(shù)，引入無明確物理意義的用以調(diào)整加強函數(shù)幅值的擴充單元節(jié)點自由度。擴展有限元中廣義位移函數(shù)u(x)如式(1)所示：

(1)

式中：Ni(x)為傳統(tǒng)有限元形函數(shù)；Ψj(x)為加強函數(shù)；ai為對應節(jié)點上擴充的附加自由度。

1.2.2位移控制方程

采用擴展有限元模擬裂紋擴展問題時，運用非連續(xù)位移控制方程對其進行描述。含裂紋區(qū)域的網(wǎng)格模型包括常規(guī)單元、裂紋貫穿單元和裂紋尖端單元3種類型[10]，對不同單元引入不同的函數(shù)進行計算。

在擴展有限元分析中，帶裂紋物體的位移由傳統(tǒng)有限元形函數(shù)、單元內(nèi)部階躍函數(shù)和裂紋尖端漸進函數(shù)組成，裂紋周圍的位移本構關系如式(2)所示：

(2)

式中：u(x)為XFEM中位移場表達式；H(x)為Heaviside函數(shù)(階躍函數(shù))，用來表示單元內(nèi)的跳躍位移場；F(x)為裂紋尖端處的漸進函數(shù)；ui為標準FEM中的節(jié)點自由度；ai和bi分別為與H(x)和F(x)相關的節(jié)點自由度，是常規(guī)節(jié)點的附加自由度；I為求解域內(nèi)所有節(jié)點的集合；Itip為被裂紋尖端區(qū)域影響單元節(jié)點的集合。通過這個本構，XFEM可以模擬不同類型裂紋的不連續(xù)斷裂行為。

階躍函數(shù)反映單元內(nèi)的跳躍位移特性，其表達式為式(3)：

(3)

式中：x為貫穿裂紋單元節(jié)點；x*為裂紋面上最接近節(jié)點x的點；n為x*裂紋面上的單位法向量。當H(x)=1時表示節(jié)點在裂紋面上方，H(x)=-1表示在裂紋面下方。其單元擴充方案如圖1所示。

圖1 單元擴充方案[10]

1.2.3水平集法

裂紋在界面上擴展時需通過量化的方法來跟蹤定位裂紋面。水平集法是一種可用于裂紋界面定位裂紋的方法。通過對水平集方程的求解，可以在不進行網(wǎng)格重構的情況下描述裂紋位置動態(tài)變化的過程。

在XFEM中，裂紋面的位置可以用兩個水平集函數(shù)Φ(x)和Ψ(x)來定義，如圖2所示[10]。Φ(x)為裂紋面水平集函數(shù)，表示節(jié)點到裂紋面的最短距離，可實現(xiàn)對裂紋面的追蹤與定位；Ψ(x)為波前水平集函數(shù)，表示節(jié)點到裂紋面尖端法平面的距離，用以對裂紋尖端定位。根據(jù)水平集法，有如下定義：當Φ(x)>0時，表示該點位于裂紋面的上方；Φ(x)<0時，表示該點位于裂紋面的下方；Φ(x)=0時，表示該點剛好位于裂紋面。當Ψ(x)>0時，表示該點位于裂紋尖端的前方；Ψ(x)<0時，表示該點位于裂紋尖端的后方；Ψ(x)=0時，表示該點位于裂紋面前緣法平面。Φ(x)=0且Ψ(x)=0時，表示該點即為裂紋尖端。在裂紋擴展過程中，裂紋面后方的Φ(x)和Ψ(x)不發(fā)生改變，而裂紋前緣的Φ(x)和Ψ(x)則不斷更新。

2 疲勞裂紋擴展的數(shù)值模擬研究進展

裂紋、夾雜等不連續(xù)問題一直是工程研究中的重難點。數(shù)值模擬方法在求解裂紋問題時比其他方法具有無可比擬的優(yōu)勢，近年來成為求解裂紋擴展問題的主要途徑，有較好的計算精度和應用范圍。

2.1 裂紋擴展數(shù)值模擬研究

傳統(tǒng)FEM出現(xiàn)較早且相關理論基礎較為成熟，起初作為模擬裂紋問題的數(shù)值手段。Smith等[11]采用FEM對裂紋的擴展進行了數(shù)值模擬分析。Sumi等[12]研究了二維復合型宏觀裂紋的擴展，結果表明傳統(tǒng)FEM在處理裂紋擴展問題時，裂紋單元邊界需要始終與裂紋表面重合并需不斷地重新密化網(wǎng)格，求解過程較為復雜。Besson等[13]基于FEM，采用彈塑性體模型研究了焊縫區(qū)域鐵素體與奧氏體界面的裂紋萌生與擴展。在此基礎上，Krupp等[14]基于傳統(tǒng)FEM研究了晶粒尺度微裂紋擴展的損傷機制，探討了微觀裂紋擴展行為。Moslemi等[15]基于自適應有限元法模擬了三維延展性材料裂紋的形成與長大。

XFEM用于裂紋線彈性擴展問題[16]，克服了傳統(tǒng)FEM的不足。Fries[17]利用XFEM的近似空間局部富集的功能，在對使用富集單元的富集區(qū)域和其他使用標準有限元的非富集區(qū)域的連接區(qū)域中的混合元素進行處理后，對富集函數(shù)進行修正，使其在標準域內(nèi)為零、在富集域內(nèi)不斷變化，且混合區(qū)域的單元節(jié)點全部被富集，解決了混合元素出現(xiàn)的問題。同時將修正的XFEM用于解決線彈性問題，得到了最優(yōu)的收斂速率。Menouillard等[18]使用顯式時間積分技術基于XFEM模擬了動態(tài)裂紋擴展。方修君等[19]在有限元分析軟件ABAQUS通用有限元程序中嵌入了XFEM的功能，并對三點彎曲梁的脆斷過程進行模擬，結果表明XFEM能夠有效解決裂紋擴展等移動不連續(xù)問題。王慰軍[20]基于二次開發(fā)實現(xiàn)了不同位置的裂紋擴展仿真分析，計算結果準確性滿足實際工程需要。謝海[21]對XFEM在較粗糙的網(wǎng)格下的計算準確性進行了驗證，證明了XFEM的優(yōu)勢。

由于XFEM在求解裂紋問題時的獨特優(yōu)勢，其被應用于疲勞裂紋領域的研究也逐漸增多。Giner等[22]利用ABAQUS軟件，采用XFEM對微動疲勞裂紋擴展進行非線性分析，結果表明XFEM能在相對粗糙的網(wǎng)格下得到較為精確的K值(應力強度因子)。付遠等[23]采用XFEM并結合Paris公式研究了304不銹鋼薄片單邊裂紋疲勞裂紋擴展壽命，從試驗和數(shù)值模擬兩方面對試驗樣本在高周疲勞應力循環(huán)下的裂紋擴展行為進行分析，結果表明XFEM的求解結果具有較好的準確性。Nikfam等[24]采用XFEM對焊接T型接頭高周疲勞的試驗進行模擬，結果表明XFEM對裂紋擴展、擴展速率、破壞循環(huán)壽命、裂紋形狀等方面的預測與試驗結果誤差不大，數(shù)值模型的斷口形貌和實驗形貌保持一致。Ferrie等[25]采用XFEM模擬了三維橢圓裂紋疲勞擴展，模擬結果與實驗數(shù)據(jù)一致。劉光眾[26]發(fā)展了彈塑性擴展有限元法，研究了彈塑性材料中多尺度裂紋發(fā)生穩(wěn)定擴展的規(guī)律，討論了疲勞載荷作用下宏觀裂紋與微觀缺陷相互作用的機理。

2.2 XFEM的改進

自XFEM被提出后，眾多學者對其進行了改進，進一步擴大其應用范圍，提高計算的精度和收斂性。2007年，余天堂等[27-29]詳細推導了XFEM的公式，討論了加強節(jié)點和加強方式、裂尖加強范圍等；同時采用新的積分方案對裂尖及裂紋貫穿單元進行積分，并使用改進的XFEM模擬了裂紋擴展。Song等[30]提出一種新的模擬任意動態(tài)裂紋和剪切帶的建模方法，在XFEM的基礎上對擴展元素的節(jié)點自由度進行重新排列，通過在原始網(wǎng)格上引入虛擬節(jié)點和疊加元素處理非連續(xù)裂紋問題。Ventura等[31]提出了裂紋尖端向量化的水平集方法，利用更高維數(shù)的函數(shù)對裂紋幾何信息進行描述，優(yōu)化了水平集函數(shù)的求解。Liu等[32]改進了適用于均質(zhì)和雙向材料的XFEM，該方法可以避開額外的后處理程序而直接對混合模式下的K值進行評估，利用裂紋尖端逼近場的第一階和高階項實現(xiàn)裂紋尖端節(jié)點的富集加強，獲得了很好的K值計算精度。

對于三維裂紋問題，諸多學者展開了深入研究：Sukumar等[33]將XFEM拓展到三維，研究平面I型裂紋問題。Moёs等[34]在XFEM中階躍函數(shù)(Heaviside函數(shù))的基礎上引入裂紋前沿的分支函數(shù)(漸近逼近函數(shù))，同時使用兩個符號距離函數(shù)描述裂紋幾何形狀，提高了三維裂紋問題的計算精度。Fries等[35]利用XFEM提出了一種顯式和隱式相結合的新的模擬裂紋擴展的方法，通過引入3個以顯式計算表征的水平集函數(shù)對XFEM進行補充，具有較好的三維適用性。Shi等[36]結合XFEM與快速行進法對金屬的疲勞裂紋擴展曲線和疲勞壽命進行研究，同時開發(fā)了基于單元的罰函數(shù)法來模擬裂紋的閉合和摩擦，允許獨立于三維模型的任意初始裂紋的插入。

已有研究成果表明，XFEM具有處理疲勞裂紋擴展問題的可行性和極大優(yōu)勢。通過對算法進行改進，可實現(xiàn)對各種情況下疲勞裂紋擴展的分析，是一種有廣闊應用前景的方法。

3 結束語

針對焊接接頭疲勞裂紋擴展問題，本文從裂紋擴展數(shù)值模擬的基本理論和研究進展兩個方面進行了概述。不同數(shù)值方法在求解裂紋問題時具有不同的優(yōu)勢，但由于疲勞裂紋擴展問題的復雜性，目前仍需對焊接接頭疲勞裂紋擴展行為及機理做進一步研究，對算法進行改進以擴大其應用范圍。運用擴展有限元的方法，可預測焊接結構件的疲勞裂紋擴展壽命、模擬裂紋擴展行為，并可實現(xiàn)疲勞裂紋擴展速率的求解，為疲勞裂紋擴展問題提供相對合理的預測依據(jù)。