虞超峰 趙學(xué)智

摘要：在 STFT 的基礎(chǔ)上提出了一種時間重分配多同步壓縮變換（TMSST）結(jié)合相關(guān)峭度的柔性薄壁軸承故障特征提取方法。該方法通過對 STFT 結(jié)果使用壓縮算子提高其時頻聚集性；結(jié)合相關(guān)峭度準(zhǔn)則選擇最佳頻率點處的脈沖特征；對脈沖特征分析得到其沖擊頻率特性。將所述方法用于柔性薄壁軸承內(nèi)外圈故障信號特征提取，并將其與 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度進(jìn)行對比，結(jié)果證明所提方法在成功提取故障特征的同時能更好地反映故障特征頻率的時變性，為軸承故障診斷提供了一種時頻分析的新視角。

關(guān)鍵詞：故障診斷；柔性薄壁軸承；特征頻率；時間重分配多同步壓縮變換；相關(guān)峭度

中圖分類號： TH165+.3; TH133.3??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1259-11

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.024

引言

諧波傳動是一種靠波發(fā)生器使柔性齒輪產(chǎn)生可控的彈性變形波，從而實現(xiàn)運(yùn)動和動力傳遞的傳動，其具有運(yùn)動精度高、虛動量小、傳動比大、體積小等優(yōu)點。因此，諧波傳動減速器在工業(yè)機(jī)器人和航空航天領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用[1?2]。柔性薄壁軸承是諧波減速器的重要組成元件，該軸承在工作中會隨柔輪的彈性變形而不斷發(fā)生變化，導(dǎo)致其不僅承受滾動體的循環(huán)應(yīng)力載荷，還承受來自橢圓長軸部位的周期性交變擠壓以及外部載荷的擠壓，使得柔性薄壁軸承的內(nèi)圈、外圈及滾動體等元件易發(fā)生損傷，這將造成軸承振動異常，導(dǎo)致整體傳動精度降低[3?4]。對其故障的準(zhǔn)確診斷，對保證諧波減速器的安全可靠運(yùn)行具有十分重要的意義。

由于柔性薄壁軸承這種特殊的工作方式，決定了它與普通軸承的不同。當(dāng)柔性薄壁軸承裝配到橢圓形的凸輪上時，將會跟隨其輪廓線產(chǎn)生強(qiáng)制變形，內(nèi)外圈變成橢圓形；當(dāng)其跟隨橢圓軸轉(zhuǎn)動時，又會受到橢圓長軸的周期性擠壓而產(chǎn)生大尺度形變，而且在柔輪的嚙入、嚙出時還會承受周期性的沖擊[5]，這將使它比普通軸承的振動信號更為復(fù)雜。由于柔性薄壁軸承的節(jié)徑是變化的，其損傷時所產(chǎn)生的振動特征頻率還存在時變性，完全不同于普通軸承[6]。

目前針對柔性薄壁軸承故障特征的提取都將其等效為普通滾動軸承進(jìn)行分析，通過分析其頻譜特征來進(jìn)行故障診斷，忽略了其振動特征頻率時變性的特點[7?8]。

短時傅里葉變換（Short? Time Fourier Trans ?form，STFT）、連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform，CWT）、S 變換等時頻分析方法為有效提取非平穩(wěn)信號時頻特征提供了良好的途徑。但這些方法生成的時頻譜存在能量擴(kuò)散的現(xiàn)象，使得瞬時頻率能量分布被模糊化[9?10]。2011年 Daubechies 等[11]提出了一種時頻重排的同步壓縮小波變換（Synchrosqueezing Transform，SST）方法，在 CWT 的基礎(chǔ)上，對變換后的小波系數(shù)進(jìn)行重排，在提高信號時頻聚集性的同時很好地保持了信號重構(gòu)的特性。類似的，基于 STFT 的同步壓縮[12]和基于 S 變換的同步壓縮[13]也可以提高時頻聚集性并支持可逆重構(gòu)。但 SST 主要是在尺度/頻率方向上重新分配，適合于表征類似諧波的信號，這些信號在時頻譜上與時間軸接近平行。因此，SST 常被用來對非平穩(wěn)信號的轉(zhuǎn)頻提取。除類諧波信號外，另一類非平穩(wěn)信號可以稱為類脈沖信號，這些信號在時頻圖上與時間軸接近垂直，其中沖擊信號就是類脈沖信號。針對類脈沖信號，He 等[14]提出了時間重排的同步壓縮變換（Time? Reassigned SynchrosqueezingTrans?form，TSST），相繼Fourer等[15]將這種方法擴(kuò)展到 S變換。但是 TSST 在處理強(qiáng)頻率變換信號中具有局限性，Yu 等[16]在此基礎(chǔ)上提出了時間重分配多同步壓縮變換（Time? Reassigned Multisynchrosqueezing Transform，TMSST）用于分析具有快速變化特性的復(fù)雜信號。TMSST 可使時頻圖上沖擊特征能量更加集中，但如果要準(zhǔn)確提取故障沖擊特征還要進(jìn)一步選取時頻圖上特定頻率點進(jìn)行分析?？紤]到軸承故障沖擊的周期特性，McDonald 等[17]提出了相關(guān)峭度的概念，并以其為目標(biāo)函數(shù)解卷積出被噪聲掩蓋的連續(xù)性沖擊信號。

綜上所述，為準(zhǔn)確提取柔性薄壁軸承故障沖擊信號的時頻特征，本文在 STFT 的基礎(chǔ)上提出了基于相關(guān)峭度和時間重分配多同步壓縮變換的柔性薄壁軸承故障特征提取方法。該方法對 TMSST 結(jié)果進(jìn)行分析，選擇相關(guān)峭度最大的頻率點處切片，根據(jù)切片上的脈沖頻率獲取故障沖擊特征。最后，將該方法應(yīng)用于柔性薄壁軸承的內(nèi)外圈故障信號分析，成功提取其故障沖擊時頻特征。

1 理論分析

1.1 時間重分配多同步壓縮變換理論

頻率變化的單分量信號可以描述為：

式中? A （ω）和φ（ω）表示頻域中的信號幅度和相位，-φ'（ω）是φ（ω）系數(shù)的負(fù)數(shù)，表示群延遲（Group Delay，GD）。此信號的理想時頻（Time?Frequency，TF ）譜可表示為[18]：

式中δ（ t ）為狄拉克函數(shù)。根據(jù)式（2），在理想情況下，信號的 TF 特征應(yīng)該只出現(xiàn)在 GD 軌跡上。信號 s（t）的短時傅里葉變換的時域表達(dá)式為：

式中? g （t）為窗函數(shù)。根據(jù) Parseval 定理，在頻域中，使用移動窗函數(shù)（ξ），信號的 STFT 可以寫成：

為了進(jìn)一步探討式（1）所示信號的 STFT 結(jié)果，假設(shè)所分析的信號是一個強(qiáng)變頻信號，即?ε足夠小，對于?ω有| A'（ω）|≤ε和|φ?（ω）|≤ε。因此，可

在形式上對信號進(jìn)行二階泰勒展開：

下式為在 STFT 中使用的高斯窗函數(shù)：

下式為 STFT 的頻域表達(dá)式：

式中σ為控制窗寬的常數(shù)。

將式（5）和（7）代入式（4）得：

TF 能量在 GD 軌跡周圍擴(kuò)散，為了提高能量濃度，TSST 首先推導(dǎo)出二維 GD 估計，結(jié)果如下[14]：

分析式（10）可以發(fā)現(xiàn)當(dāng) t =-φ'（ω）時：

通過式（11）可知，當(dāng) t =-φ'（ω）時其在函數(shù)（ t，ω）的映射是其本身，故 t =-φ'（ω）是函數(shù)（ t，ω）的不動點。這意味著可以使用不動點迭代算法來減少-φ'（ω）和（ t，ω）之間的誤差，將 t =（ t，ω）作為迭代初值代入式（10）可得第一次迭代結(jié)果為：

顯然：

式（12）和（13）意味著通過一次迭代，新的二維GD 估計 （ （ t，ω），ω）已經(jīng)比 （ t，ω）更接近-φ'（ω）。通過不斷將前一次迭代結(jié)果代入式（10）作為后一次迭代的參數(shù)，可得第 N 次迭代后的二維 GD 估計為：

當(dāng)?shù)螖?shù) N 足夠大時，[ N ]（ t，ω）將無限接近-φ'（ω），即：

結(jié)合式（2）和（15），將 STFT 結(jié)果沿時間方向進(jìn)行積分，并把擴(kuò)散的 TF 能量壓縮到 GD 軌跡中：

式中∫δ（ u -[ N ]（ t，ω）） dt 為同步壓縮算子，u為將相同 GD 值對應(yīng)的時間分量進(jìn)行壓縮后得到的新時間軸。由式（16）可以看出，TMSST 是利用壓縮算子將 STFT 的時頻系數(shù)統(tǒng)一壓縮到群延遲位置，在新的時頻平面（ u，ω）中，得到能量分布高度集中的時頻譜 Ts[ N ]（ u，ω）。

1.2 時間重分配多同步壓縮變換離散形式實現(xiàn)

為了使 TMSST 可以便于有效的數(shù)值計算和編程實現(xiàn)，在本節(jié)中，進(jìn)行離散形式的 TMSST 分析。 TMSST 最重要的步驟是根據(jù)等式（9）計算信號的 GD 估計量，并利用不動點迭代法使獲得的 GD 更加精確。接下去就式（9）進(jìn)行分析，先求解 STFT 結(jié)果對ω的偏導(dǎo)：

式中? s （ v ）為待分析信號，g （ v ）為窗函數(shù)。G （ t，ω）反映了信號 s （ v ）在時刻 t 的頻譜，設(shè)：

G （ t，ω）和Gv （ t，ω）的離散形式分別寫為 G [ n，k ]和Gv [ n，k ]，其中 n =0，1，…，L -1為時間參數(shù)；L 為總采樣點數(shù)；k =0，1，…，L -1為頻率參數(shù)。設(shè)原始信號的采樣頻率為fs，則 k 對應(yīng)的頻率為k·fs /L，由此可得：

由式（17），（19）和（20）可以求得式（9）的離散

將式（21）得到的 [ n，k ]記為[1][ n，k ]，作為不動點迭代的初始值，將[1][ n，k ]→ n[1]，則：

再將[ 2][ n，k ]→ n[2]，以此類推，通過不斷迭代得到[ N ][ n[ N -1]，k ]。一般迭代10次，兩次迭代間的差值已經(jīng)非常微小，故本文迭代次數(shù)全定為10。

最后根據(jù)式（16）可以得到離散化壓縮結(jié)果：

式中? m 為新時頻平面的時間參數(shù)，k 為頻率參數(shù)。

下面通過對周期性沖擊響應(yīng)仿真信號進(jìn)行 TMSST，可以更直觀地描述算法實現(xiàn)流程和具體效果：

式中阻尼系數(shù) g =0.1，共振頻率fn =2.5 kHz，采樣頻率為10 kHz 。a （ t ）為周期性沖擊響應(yīng)信號的基本函數(shù)，構(gòu)造周期性沖擊響應(yīng)頻率為fr =100 Hz 的仿真信號，圖1（ a ）為其時域波形圖，圖1（b）為 ST ? FT 后的時頻圖。

STFT 由于使用固定的窗函數(shù)造成了變換過程中能量擴(kuò)散，導(dǎo)致時頻圖模糊。圖 2為在圖1（b）的基礎(chǔ)上進(jìn)行 TMSST 的結(jié)果，可以看出 TMSST 通過時頻重排很好地提高了時頻聚集性，大大減少了 STFT 結(jié)果在時頻空間中的能量擴(kuò)散。

1.3 相關(guān)峭度理論

峭度最初由 Dwyer 在1991年提出[19]，是反映隨機(jī)變量分布特性的數(shù)值統(tǒng)計量。由于峭度與軸承尺寸、轉(zhuǎn)速、載荷等因素?zé)o關(guān)，僅對信號中的沖擊成分敏感，特別適用于軸承表面損傷或凹坑類故障。但峭度對信號中單個沖擊的敏感程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號中的周期性沖擊成分，因此，可能導(dǎo)致頻帶選取錯誤，進(jìn)而誤導(dǎo)滾動軸承故障診斷結(jié)果。相關(guān)峭度（Correlated Kurtosis，CK）是近年在峭度基礎(chǔ)上提出的[17]，相關(guān)峭度表達(dá)式如下：

式中yn為去均值化的輸入信號；T 為沖擊敏感周期；N 為輸入信號的采樣點數(shù)；M 為移位周期數(shù)。當(dāng) T =0且 M =1時，相關(guān)峭度退化為峭度。

1.4? TMSST 結(jié)合相關(guān)峭度的柔性薄壁軸承沖擊提取方法

當(dāng)柔性薄壁軸承發(fā)生故障時，由于軸承的運(yùn)動部件反復(fù)通過缺陷位置，將周期性地產(chǎn)生一系列脈沖。兩個連續(xù)脈沖之間的時間間隔就是故障周期，由故障類型來決定?？紤]到脈沖通常具有寬頻帶性質(zhì)，而且噪聲等干擾因素的存在使得故障脈沖本身在時頻圖上不是一條直線。利用 TMSST 方法對軸承振動信號進(jìn)行處理，從得到的時頻圖中選擇恰當(dāng)?shù)念l率切片可以有效提取故障脈沖特征。

考慮到軸承故障沖擊本身具有峭度大的特點，且故障沖擊本身為周期性沖擊，作者提出以相關(guān)峭度為評價指標(biāo)，并以相關(guān)峭度最大的頻率點切片描述軸承故障特征。首先計算 TMSST 表示的每個頻率點切片對應(yīng)的相關(guān)峭度值為：

式中? ?（ω）表示 TMSST 結(jié)果在頻率點ω處的平均值。

沖擊敏感周期 T 是由軸承振動信號中故障特征頻率和采樣頻率決定的。可通過下式計算沖擊敏感周期取值[20]：

式中 fs 為振動信號的采樣頻率，ffault為理論計算的特征故障頻率，「·ù為對 x 向上取整。因為實際轉(zhuǎn)速相比于所調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速常偏低，而造成實測故障頻率也會比理論故障頻率偏低，故對結(jié)果進(jìn)行向上取整。

對于移位周期數(shù) M，考慮到當(dāng) M 取值過大時，不僅會增大計算復(fù)雜度，同時容易導(dǎo)致飄移問題的出現(xiàn)，造成喪失原信號內(nèi)在本質(zhì)特征的結(jié)果[21?22]。故本文將 M 取值最大定為5，求取原始信號的相關(guān)峭度，根據(jù)相關(guān)峭度的最大值確定 M。整體算法流程如圖3所示。

2 柔性薄壁軸承振動信號特征提取

將本文所提方法用于柔性薄壁軸承內(nèi)、外圈故障特征提取。柔性薄壁軸承故障測試實驗平臺如圖4所示，其中軸承內(nèi)圈裝在橢圓凸輪軸上。圖 5為試驗用柔性薄壁軸承，其中圖5（ a ）為正常柔性薄壁軸承，圖5（b）為外圈故障柔性薄壁軸承，圖5（ c ）為內(nèi)圈故障柔性薄壁軸承，其型號均為 SHF?32?120，主要參數(shù)如表1所示。圖 5（b）和（ c ）中的外圈和內(nèi)圈故障（寬1 mm，長3 mm，深1 mm）由電火花線切割加工而成。測量柔性薄壁軸承振動信號的 PCB 壓電式單向加速度傳感器型號為352C33，其靈敏度為10.2 mV/（m/s2），測量幅值范圍為±490 m/s2，測量頻率范圍為0.5～10000 Hz 。在實驗過程中，徑向力加載塊對柔性薄壁軸承兩邊施加的壓力設(shè)定為200 N 。軸承轉(zhuǎn)速分別為外圈故障軸承測試轉(zhuǎn)速1050 r/min，內(nèi)圈故障軸承測試轉(zhuǎn)速900 r/min。

柔性薄壁軸承裝配到橢圓軸后，其內(nèi)外圈為橢圓，故障特征頻率和普通滾動軸承完全不同，對于外圈損傷和內(nèi)圈損傷，柔性薄壁軸承的故障特征頻率可用下式表示[6，23]：

式中fbfo為柔性薄壁軸承外圈故障振動頻率；fbfi為柔性薄壁軸承內(nèi)圈故障振動頻率，z 為滾動體的數(shù)量，fi 為轉(zhuǎn)頻，rb為內(nèi)圈滾道的外半徑，rg為滾動體的半徑，ρ為內(nèi)圈橢圓滾道極徑，表達(dá)式為：

式中? a，b 分別是內(nèi)圈橢圓滾道的長、短軸半徑；β=ωi t，其中ωi為內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)角速度。

2.1 外圈故障柔性薄壁軸承振動特征提取

對外圈故障的柔性薄壁軸承的振動信號進(jìn)行分析，振動信號采樣頻率為12800 Hz，采樣點數(shù)為8192，轉(zhuǎn)頻fi =17.5 Hz 。圖6（ a ）為外圈故障時域波形，圖6（b）為其 STFT 后的時頻圖。根據(jù)式（28）和（30）計算外圈故障頻率范圍為176.78～184.33 Hz，平均頻率為180.56 Hz 。由圖6可以看出柔性薄壁軸承外圈故障信號在高頻和低頻處都存在明顯的周期性沖擊，其中高頻處的沖擊為故障頻率被高頻載波調(diào)制形成，低頻處的沖擊為柔性薄壁軸承正常運(yùn)轉(zhuǎn)時變?yōu)闄E圓形后的長短軸交替產(chǎn)生的沖擊[7]。

對上述信號的 STFT 時頻圖做 TMSST，文獻(xiàn)[24]驗證了對于軸承故障沖擊的提取，S 變換相比 STFT 和 CWT 具有更好的效果，故本文同時對信號做 S 變換進(jìn)行效果對比。圖 7為 TMSST 和 S 變換后的時頻圖，其中圖7（ c ）和（d）分別為圖7（ a ）和（b）紅色矩形框內(nèi)的細(xì)節(jié)放大圖。由圖7可知， TMSST 相比于 S 變換可以得到能量更為集中的時頻圖，但是由于噪聲等因素的影響，使得壓縮后的寬頻帶脈沖分量不是一條理想的直線，為了更好地提取故障脈沖特征，則要選取合適頻率點進(jìn)行更進(jìn)一步分析。

對于頻率點的選取，文獻(xiàn)[16]選取沖擊能量最大處的頻率點，并用于深溝球軸承故障的提取取得較好的效果。該方法先對 TMSST 結(jié)果的每個頻率點利用下式求取特征量：

式中? ?（ω）表示 TMSST 結(jié)果在頻率點ω的平均值。方程（31）可以表示 TMSST 結(jié)果具有最突出的脈沖特征的頻率點。分析該式可知，該式本質(zhì)上取每個頻率點切片去均值化后求頻譜，取頻譜幅值最大值作為該頻率點特征值。因為幅值大小對應(yīng)著能量，同時頻譜提取的是周期性變化量，所以該特征量可以反映頻率點處能量最大的周期性分量的能量大小。然后取使 TFES（ω）達(dá)到最大的ω作為特征頻率點。

對圖7中 TMSST 得到的時頻圖采用 TFES（式（31））和本文提出的 TFCK（式（26））進(jìn)行頻率點的選取。圖 8為以 TFES 為特征量選取頻率點得到的故障沖擊特征。其中圖8（ a ）為各頻率點處的 TFES（ω），當(dāng)ω=256.3 Hz 時 TFES（ω）取得最大值。取ω=256.3 Hz 時對應(yīng)時頻矩陣的行向量作為該處的脈沖特征，如圖8（b）所示。進(jìn)一步分析該脈沖特征頻譜，如圖8（ c ）所示，可明顯看出二倍轉(zhuǎn)頻及相應(yīng)的倍頻成分，這是由柔性薄壁軸承正常工作時變?yōu)闄E圓形以及受力特性產(chǎn)生的沖擊成分，不是外圈故障導(dǎo)致。從這一結(jié)果可見該方法不適用于柔性薄壁軸承外圈故障提取。

接下去采用相關(guān)峭度法對此信號的 TMSST 結(jié)果進(jìn)行處理。其中故障特征頻率取平均故障特征頻率，根據(jù)式（27）計算得到 T =71。取 T =71計算不同移位周期數(shù) M 時原始信號的相關(guān)峭度值，結(jié)果如表2所示。由表2得 M =1時，相關(guān)峭度值最大，故取 M =1。

圖9為 T =71，M =1時以 TFCK 選取頻率點得到的故障沖擊特征。其中圖9（ a ）為各頻率點處的 TFCK（ω），當(dāng)ω=4847 Hz 時 TFCK（ω）取得最大值。取ω=4847 Hz 時對應(yīng)時頻矩陣的行向量作為該處的脈沖特征，如圖9（b）所示，上方小圖為紅框處的放大圖。相比于圖8（b）中的脈沖特征，圖9（b）中提取的脈沖特征效果更好。進(jìn)一步分析該脈沖特征頻譜，如圖9（ c ）所示，有179.7 Hz 頻率及相應(yīng)的倍頻成分，這與該軸承外圈故障特征頻率均值計算值接近相等。同時采用 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度進(jìn)行分析對比，利用下式進(jìn)行頻率點的選?。?/p>

式中? ST（ t，ω）為 S 變換結(jié)果，?（ω）表示 S 變換結(jié)果在頻率點ω處的平均值。

圖10為 T =71，M =1時以 STCK選取頻率點得到的故障沖擊特征。其中圖10（ a ）為各頻率點處的 STCK（ω），當(dāng)ω=5123 Hz 時 STCK（ω）取得最大值。取ω=5123 Hz 時對應(yīng)時頻矩陣的行向量作為該處的脈沖特征，如圖10（b）所示。

相比于圖9（b）中的脈沖特征，圖10（b）中提取的脈沖特征的幅值差別較大且相對發(fā)散。進(jìn)一步分析該脈沖特征頻譜，如圖10（ c ）所示。雖然也可明顯看出179.7 Hz 頻率以及相應(yīng)的倍頻成分，但顯然沒有圖9（ c ）突出，且可觀察到的倍頻更少。綜合對比圖7，9和10，說明本文方法能夠更清晰地反映信號的時頻特性。

由式（28）和（30）可知，柔性薄壁軸承外圈故障頻率本身在定轉(zhuǎn)速下也具有時變性，但傅里葉頻譜只能反映沖擊信號的整體頻率特征。為了驗證故障特征頻率的時變性，進(jìn)一步對圖9（b）中提取的脈沖特征進(jìn)行分析，因為兩個相鄰脈沖間隔時間為脈沖周期，因脈沖周期是故障特征頻率的倒數(shù)，對于柔性薄壁軸承而言，這種脈沖周期是時變的，脈沖周期的倒數(shù)則為該處的沖擊頻率。對所有相鄰脈沖間隔求取沖擊頻率，可以驗證故障頻率在時域下的波動性。考慮到實驗采集信號會因為噪聲等一系列干擾因素的存在導(dǎo)致求取的脈沖間隔周期存在粗大誤差，采用圖11所示方法來去除粗大誤差，其中f[k]為對所有相鄰脈沖間隔分別求得的沖擊頻率集合。

對圖9（b）和10（b）的脈沖特征分析其波動性，結(jié)果如圖12所示。雖然本文方法和 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度都能反映出柔性薄壁軸承外圈故障特征頻率存在明顯的波動，但 S 變換結(jié)果波動明顯過大。為了定量進(jìn)行描述，求取沖擊頻率波動方差，得到本文方法和 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度求得的柔性薄壁軸承外圈故障沖擊頻率波動的方差分別為16.0427和23.2897 Hz 。說明本文方法能驗證外圈故障頻率的時變性且具有更好效果。

2.2? 內(nèi)圈故障柔性薄壁軸承振動特征提取

對內(nèi)圈故障的柔性薄壁軸承的振動信號進(jìn)行分析，振動信號采樣頻率為12800 Hz，采樣點數(shù)為8192，轉(zhuǎn)頻為fi =15 Hz 。根據(jù)式（29）和（30）計算故障頻率范圍為187.00～193.47 Hz，平均頻率為190.24 Hz 。圖13為采集的外圈故障時域波形（圖13（ a ））及其 STFT 后的時頻圖（圖13（b））。由圖13可看出內(nèi)圈故障柔性薄壁軸承在高頻和低頻處也都存在明顯的周期性沖擊，沖擊組成與外圈故障類似。

對上述信號做 TMSST 和 S 變換，圖14為 TMS ? ST 和 S 變換后的時頻圖，其中圖14（ c ）和（d）分別為圖14（ a ）和（b）紅色矩形框內(nèi)的細(xì)節(jié)放大圖。

對圖14中 TMSST 得到的時頻圖分別采用 TFES 和本文提出的 TFCK進(jìn)行頻率點的選取。圖15為以 TFES 為特征量選取頻率點得到的故障沖擊特征。其中圖15（ a ）為各頻率點處的 TFES（ω），當(dāng)ω=89.06 Hz 時 TFES（ω）取得最大值。取ω=89.06 Hz 時對應(yīng)時頻矩陣的行向量作為該處的脈沖特征，如圖15（b）所示。圖 15（ c ）為圖15（b）的頻譜，可看出二倍轉(zhuǎn)頻以及相應(yīng)的倍頻成分，這是由柔性薄壁軸承正常工作時變?yōu)闄E圓形以及受力特性產(chǎn)生的沖擊成分，不是內(nèi)圈故障導(dǎo)致。故該方法不適用于柔性薄壁軸承內(nèi)圈故障提取。

接著采用相關(guān)峭度法對此信號 TMSST 結(jié)果進(jìn)行處理。根據(jù)式（27）計算得到 T =68。取 T =68計算不同移位周期數(shù) M 時原始信號的相關(guān)峭度值，結(jié)果如表3所示。由表3得 M =1時，相關(guān)峭度值最大，故取 M =1。

圖16為 T =68，M =1時以 TFCK選取頻率點得到的故障沖擊特征。其中圖16（ a ）為各頻率點處的 TFCK（“），當(dāng)“=3728 Hz 時 TFCK（“）取得最大值。取“=3728 Hz 時對應(yīng)時頻矩陣的行向量作為該處的脈沖特征，如圖16（b）所示，上方小圖為紅框處的放大圖。圖 16（ c ）為圖16（b）的頻譜，可明顯看出189.1 Hz 頻率以及相應(yīng)的倍頻成分，這與該軸承內(nèi)圈故障特征頻率均值的計算值非常接近，說明本文算法可有效提取柔性薄壁軸承內(nèi)圈故障特征。

同時采用 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度進(jìn)行分析對比，利用式（32）進(jìn)行頻率點的選取。圖17為 T =68， M =1時以 STCK 選取頻率點得到的故障沖擊特征。其中圖17（ a ）為各頻率點處的 STCK（“），當(dāng)“=3755 Hz 時 STCK（“）取得最大值。取“=3755 Hz 時對應(yīng)時頻矩陣的行向量作為該處的脈沖特征，如圖17（b）所示，上方小圖為紅框處的放大圖。相比于圖16（b）中的脈沖特征，圖17（b）中提取的脈沖特征的幅值差別較大且相對發(fā)散。進(jìn)一步分析該脈沖特征頻譜，如圖17（ c ）所示。雖然也可明顯看出189.1 Hz 頻率以及相應(yīng)的倍頻成分，但顯然沒有圖16（ c ）突出，且可觀察到的倍頻更少。綜合對比圖14，16和17，說明本文方法能夠更清晰地反映信號的時頻特性。由式（29）和（30）可知，柔性薄壁軸承內(nèi)圈故障頻率本身在定轉(zhuǎn)速下也具有時變性，采用圖11流程處理圖16（b）和17（b）的脈沖特征，并分析其波動性，結(jié)果如圖18所示。對比本文方法和 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度結(jié)果，S 變換結(jié)果波動明顯過大。求取沖擊頻率波動方差，得到本文方法和 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度求得的柔性薄壁軸承內(nèi)圈故障沖擊頻率波動的方差分別為20.6794和77.3001 Hz 。說明本文方法能驗證了內(nèi)圈故障頻率的時變性且效果更好。

3 結(jié)論

針對柔性薄壁軸承故障特征頻率定轉(zhuǎn)速下存在時變性的特點，本文利用時間重分配多同步壓縮變換（TMSST）對類沖擊信號良好的時頻聚集性和相關(guān)峭度（CK）對于周期性沖擊特征的識別能力，提出了一種 TMSST 結(jié)合相關(guān)峭度的柔性薄壁軸承故障特征提取方法。分析了基于 STFT 的 TMSST 方法的原理，該方法在 STFT 的基礎(chǔ)上通過同步壓縮過程提高其時間維度的能量聚集性，從而得到脈沖特征的理想時頻圖，進(jìn)一步推導(dǎo)了基于 STFT 的 TMSST 方法的離散化算法。利用相關(guān)峭度準(zhǔn)則，選取相關(guān)峭度最大的頻率點處的脈沖特征進(jìn)行分析，從而得到故障特征。將該方法用于柔性薄壁軸承內(nèi)外圈故障特征提取，并將其與 S 變換結(jié)合相關(guān)峭度進(jìn)行對比，結(jié)果證明本文方法在成功提取故障特征的同時能更好地反映柔性薄壁軸承的故障特征頻率在定轉(zhuǎn)速下的時變性。相比于傳統(tǒng)的軸承故障頻率提取算法圍繞頻譜進(jìn)行分析而忽略時域特性，本文所提方法能夠清晰反映故障特征的時頻特性，同時定轉(zhuǎn)速下故障頻率時變性特征的提取也為柔性軸承故障診斷提供了一種新的參考指標(biāo)。

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A fault feature extraction method for flexible thin -wall bearingsbased on TMSST and correlation kurtosis

YU Chao-feng，ZHAO Xue-zhi

（School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

Abstract： For flexible thin-wall bearings，a fault feature extraction method based on time-reassigned multi-synchro-squeezing trans? form （TMSST） and correlation kurtosis is proposed . In this method，the compression operator is used to improve the time-fre? quency aggregation of STFT results . The pulse characteristics at the best frequency point are selected in combination with correla? tionkurtosis . The impulse frequency characteristics are obtained by analyzing the pulse characteristics . The method is applied to the feature extraction of fault signals of inner and outer rings of flexible thin-walled bearings，and compared with the correlation kurto? sis of S transform . The results show that the method in this paper can successfully extract fault features and better reflect the time - varying frequency of fault features，which provides a new perspective of time-frequency analysis for bearing fault diagnosis .

Key words ： fault diagnosis；flexible thin-wall bearing；characteristic frequency；time-reassigned multisynchrosqueezing transform； correlation kurtosis

作者簡介：虞超峰（1998―），男，碩士研究生。電話：18057058370；E-mail：ycf1103805262@163.com 。

通訊作者：趙學(xué)智（1970―），男，教授，博士生導(dǎo)師。電話：15360526062；E-mail：mezhaoxz@scut .edu .cn。