201210 華東師范大學(xué)張江實(shí)驗(yàn)中學(xué) 孫建良

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際生活的具體表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用，是真實(shí)的生活問題經(jīng)過一定數(shù)學(xué)模型處理而形成的題目形式.復(fù)旦大學(xué)李大潛教授認(rèn)為：“應(yīng)用題主要目的是檢驗(yàn)學(xué)生能否應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決一些經(jīng)過簡化甚至理想化的‘實(shí)際問題’.”[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.”[2]由此可見，應(yīng)用題涉及數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，是對學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、理解問題的能力、分析與解決問題的能力的綜合考查，故對學(xué)生的要求較高.

近年來，筆者對2000年至2021年上海高考數(shù)學(xué)試題(全部秋考數(shù)學(xué)試題和部分春考數(shù)學(xué)試題)及2022年上海春考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.2000年至2016年，上海實(shí)行“三加一”高考模式，高考數(shù)學(xué)試卷分為理科試卷與文科試卷，理科試卷與文科試卷中有部分題目相同，為了不產(chǎn)生重復(fù)，筆者只對理科試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.從2017年起，上海實(shí)施新高考綜合改革，高考數(shù)學(xué)試卷只有一份，不分文科與理科，應(yīng)屆高中畢業(yè)生既可以參加春考，也可以參加秋考.因而，對于這一階段，筆者同時(shí)分析秋考與春考數(shù)學(xué)試題.

一、 高考應(yīng)用題涉及的類別

表1展示了2000年至2021年上海高考以及2022年上海春考數(shù)學(xué)試卷(共28套)中應(yīng)用題的考查內(nèi)容、對應(yīng)大類和對試題特點(diǎn)的概括.

表1 2000年至2021年上海高考以及2022年上海春考數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類統(tǒng)計(jì)表

二、 高考應(yīng)用題的若干特點(diǎn)

(一)高考應(yīng)用題所涉及的內(nèi)容

從對28套高考數(shù)學(xué)試卷的統(tǒng)計(jì)來看，2011年的應(yīng)用題只出現(xiàn)在填空題中，2000年與2009年的應(yīng)用題同時(shí)出現(xiàn)在填空題和解答題中，其余年份的應(yīng)用題均出現(xiàn)在解答題中.從考查內(nèi)容來看，試卷中工程建設(shè)問題(周長、面積、體積)的出現(xiàn)次數(shù)最多，共6次；測量問題其次，為5次；增長率問題名列第三，為4次；其他還涉及路程追及(3次)、農(nóng)藥殘留、銷售打折、生產(chǎn)利潤、廣告燈設(shè)計(jì)、衛(wèi)生費(fèi)支出、通勤時(shí)間、交通流量、垃圾點(diǎn)設(shè)置、共享單車保有量、扇形、知識(shí)掌握程度、報(bào)刊點(diǎn)設(shè)置等問題，共計(jì)16類問題.這些題目基本涉及日常生活中的一般問題，都比較貼近學(xué)生的生活和認(rèn)知能力范圍，為學(xué)生正確理解試題并解決問題提供可能.同時(shí)，它們讓學(xué)生感受到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活的應(yīng)用，更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力[2].

(二)高考應(yīng)用題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)

高考應(yīng)用題所涉及的知識(shí)面較廣，基本涵蓋高中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容.其中，與傳統(tǒng)函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù))有關(guān)的內(nèi)容出現(xiàn)10次；與不等式、二次曲線、面積有關(guān)的內(nèi)容均出現(xiàn)6次；與數(shù)列、解三角形、矩形有關(guān)的內(nèi)容均出現(xiàn)4次.另外，相關(guān)題目還考查了極坐標(biāo)、百分?jǐn)?shù)、圓、五邊形、平均數(shù)、圓錐和新定義函數(shù)等.值得注意的是，題目中新定義函數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)在逐步增加.這對教師的教與學(xué)生的學(xué)均提出了新的要求，值得廣大師生的重視.

(三)高考應(yīng)用題所涉及的試題形式

2011年高考的應(yīng)用題只出現(xiàn)在填空題中，2000年與2009年高考的應(yīng)用題既有填空題，又有解答題，其余年份的應(yīng)用題均為解答題，屬于中高難度的試題，對學(xué)生的要求較高.近年來，上海高考數(shù)學(xué)卷的總題量為21題，應(yīng)用題位置相對固定，為第19題.這是一個(gè)承上啟下的位置，如果能夠順利突破，則對解決最后兩道試題有激勵(lì)作用.從試題的長度來看，應(yīng)用題題干一般都較長，包括文字、字母和符

號(hào)，平均長度約為150個(gè)字符左右，題目蘊(yùn)含的信息量較大，對學(xué)生的閱讀能力與理解能力均提出了相當(dāng)高的要求.特別是2019年春考第19題，這道應(yīng)用題的內(nèi)容涉及衛(wèi)生費(fèi)支出，題目特別長，有近330個(gè)字符，而且題中還出現(xiàn)了表格信息，對學(xué)生正確理解題意帶來了明顯的挑戰(zhàn).據(jù)當(dāng)年老師回憶，很多學(xué)生在閱讀題目時(shí)就開始敗下陣來，更不用說解決問題了.從試題的呈現(xiàn)形式來看，有的試題通過簡單的文字與數(shù)學(xué)表達(dá)式呈現(xiàn)，求解要求明確，結(jié)果封閉；有的試題則包含了文字、數(shù)學(xué)表達(dá)式、圖像和表格，條件形式多樣，求解是一個(gè)說理過程，結(jié)果半開放.從總體來看，無論哪一類高考應(yīng)用題，都應(yīng)該做到長度適中，語言清晰準(zhǔn)確.

(四)高考應(yīng)用題所涉及的解題方法

應(yīng)用題的解題方法與題目所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，因題而異有不同的解題方法，雖然沒有完全統(tǒng)一的方法，但也有一些規(guī)律可循.分類討論的方法在解題時(shí)經(jīng)常被使用.應(yīng)用題一般來自現(xiàn)實(shí)世界，它的變量要與實(shí)際生活相一致，或要有實(shí)際意義，所以要特別注意變量的取值范圍和實(shí)際存在的可能.正因如此，分類討論就必不可少.還有較多應(yīng)用題涉及工程造價(jià)最節(jié)約、方案設(shè)計(jì)最合理等問題，自然地，在解題過程中需要求函數(shù)的最值.限于上海高中學(xué)生掌握的知識(shí)，目前學(xué)生能用于求最值的方法中，常用的有二次函數(shù)、三角函數(shù)與基本不等式等方法.用二次函數(shù)求最值，要注意的是所求最值不一定在頂點(diǎn)處取得，還要考慮函數(shù)的頂點(diǎn)是否在閉區(qū)間內(nèi)，對于兩個(gè)閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與頂點(diǎn)函數(shù)值的大小，不要忘記進(jìn)行必要的討論.用三角函數(shù)求最值，同樣要考慮自變量的取值范圍.用基本不等式求最值，一定要注意不等式成立的條件，特別要搞清楚等號(hào)成立的條件.

(五)高考應(yīng)用題所涉及內(nèi)容與時(shí)事熱點(diǎn)間的關(guān)系

人們都說文學(xué)來源于生活，但又高于生活，數(shù)學(xué)同樣如此.例如，2010年舉辦了上海世界博覽會(huì)，其主題是“城市讓生活更美好”.結(jié)合這一熱點(diǎn)，當(dāng)年高考應(yīng)用題(第21題)出現(xiàn)了一道與制作圓柱形燈籠有關(guān)的問題，體現(xiàn)了喜慶祥和的氛圍.2017年，共享經(jīng)濟(jì)發(fā)展如火如荼，當(dāng)年的高考應(yīng)用題就出現(xiàn)了共享單車投放問題，說明數(shù)學(xué)與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的密切關(guān)系.為了改善生態(tài)環(huán)境，促進(jìn)人與自然的和諧發(fā)展，2019年上海開始實(shí)行全面的垃圾分類，2020年春考(2020年1月舉行)的應(yīng)用題就設(shè)計(jì)了與垃圾點(diǎn)設(shè)置便利性有關(guān)的問題.這對提高學(xué)生垃圾分類的意識(shí)，促進(jìn)人類的永續(xù)發(fā)展大有益處，也是滲透德育的有效途徑.

三、 對高考應(yīng)用題設(shè)計(jì)的建議

上海高考應(yīng)用題的設(shè)計(jì)彰顯了數(shù)學(xué)的工具性和應(yīng)用性.學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實(shí)用性；用數(shù)學(xué)的思想去觀察、思考現(xiàn)實(shí)世界中的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使問題的處理結(jié)果科學(xué)精準(zhǔn).總之，高考應(yīng)用題的編制是優(yōu)質(zhì)的，反映了上?；A(chǔ)教育的高質(zhì)量和教育綜合改革的成果，是值得肯定的.同時(shí)，細(xì)細(xì)分析研究，可以發(fā)現(xiàn)其中也有值得探討的空間.

(一)應(yīng)提高高考應(yīng)用題所涉條件的清晰性

2021年春考試題的第19題是一道應(yīng)用題，具體題目如下.

(1)團(tuán)隊(duì)在O點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有A，B兩站點(diǎn)，測量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=20千米，可知P在A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為x軸正半軸，北側(cè)為y軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，P在北偏東60°處，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和P點(diǎn)坐標(biāo).

(2)團(tuán)隊(duì)又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有C，D兩站點(diǎn)，測量距離發(fā)現(xiàn)|QA|-|QB|=30千米，|QC|-|QD|=10千米，求|OQ|(精確到1米)和Q點(diǎn)位置(精確到1米，1°).

這道題分為兩個(gè)獨(dú)立的小問，沒有總題干，一般情況下，這兩個(gè)小問應(yīng)該互不相干，這樣一來，小問(2)就無法解答.唯一讓這兩個(gè)小問產(chǎn)生聯(lián)系的是“團(tuán)隊(duì)”二字.但這兩個(gè)“團(tuán)隊(duì)”是否指同一個(gè)集體，是否在同一次測量中得到數(shù)據(jù)，在題中均不是很明確.當(dāng)年不少考生對此提出了疑問，對同一問題的理解產(chǎn)生歧義，以致影響了部分考生的解答.面對一道題目，如果不同的人閱讀后有不同的理解，那么題目的表述方式就值得商榷.從數(shù)學(xué)的角度來說，這樣的題目嚴(yán)謹(jǐn)性有待進(jìn)一步加強(qiáng)，需要進(jìn)行修正，使題目的表述更加規(guī)范精準(zhǔn).可以對這道題目加一個(gè)總題干，在總題干中說明團(tuán)隊(duì)進(jìn)行測量的公共條件，這樣就不會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生誤解，不會(huì)影響學(xué)生解題.

(二)應(yīng)提高高考應(yīng)用題的實(shí)際意義

2004年高考數(shù)學(xué)試題的應(yīng)用題如下.

某單位用木料制作如圖1所示的框架,框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積為8cm2.問x，y分別為多少(精確到0.001m)時(shí)用料最省?

圖1

所以當(dāng)x的長為0.023m，y的長為0.028m時(shí)，木框的用料最省.

此題的題目本身不長，給出的條件也比較簡潔，初看時(shí)讓人感覺不是一道難題，解決起來比較容易.其實(shí)不然，本題有一個(gè)條件陷阱：給出的邊長單位是m，而面積的單位是cm2.

解題時(shí)，首先須統(tǒng)一單位，這樣才能求得正確結(jié)果.不過從解答結(jié)果來看，要制作木框的邊長僅為0.023m與0.028m，這在實(shí)際生活中很少見，只有在制作微縮作品時(shí)才可能出現(xiàn)，但用木材制作，精度也不會(huì)太高，用料最省的要求也似乎缺乏實(shí)際意義.由此可見，本題雖不能說有錯(cuò)，但立意有些經(jīng)不起推敲.

四、 高考應(yīng)用題復(fù)習(xí)應(yīng)注意的問題

(一)指導(dǎo)學(xué)生讀懂弄通題意

應(yīng)用題一般題目較長，信息量大，要深刻理解，需要認(rèn)真閱讀題目.首先，要整體讀題，把題目讀通，理解題目的含義，明白這是怎樣的一個(gè)問題.其次，要詳細(xì)讀題，弄清楚題目給出的條件和求解要求，并將其逐一圈劃出來，如果題目較長或給出的條件較多，可以進(jìn)行編號(hào)，以便在解題時(shí)充分利用條件，避免產(chǎn)生遺漏.再次，要精準(zhǔn)讀題，弄清楚每一個(gè)名詞、概念、定義的含義，分析每一個(gè)條件與結(jié)論的數(shù)學(xué)意義.遇到包含一個(gè)總題干和若干小問的題目時(shí)，要分清楚是總題干給出的條件，還是各小問滿足的條件.面對復(fù)雜一些的問題，通過多次讀題，完整準(zhǔn)確地掌握題目的總體概況、具體的條件和所求的結(jié)論，為正確解題奠定基礎(chǔ).

(二)指導(dǎo)學(xué)生尋找條件之間的關(guān)系

應(yīng)用題給出的條件一般較多，如何梳理題目中的條件、建立各條件之間的關(guān)系是正確解題的關(guān)鍵.要注意題目中出現(xiàn)的關(guān)鍵詞和重要語句，如數(shù)量之間的等量和不等量關(guān)系、變量之間的正比例與反比例關(guān)系、點(diǎn)線面體之間的位置關(guān)系等，它們均是條件與條件之間搭建關(guān)系的橋梁.還要善于挖掘題目中的隱含條件和條件之間隱含的關(guān)系，找到正確的解題方法與途徑，順利解決問題.

(三)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類歸納

應(yīng)用題題目繁多、類型各異，對學(xué)生來說挑戰(zhàn)不小.在進(jìn)行高考應(yīng)用題復(fù)習(xí)時(shí)，教師要幫助學(xué)生進(jìn)行分類歸納，如可將題目分為工程建設(shè)問題、路程追及問題、增長率問題、測量問題等，對相關(guān)題型進(jìn)行必要的訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握題目分析、條件提取、關(guān)系建立和正確解題的方法，并對題目適當(dāng)變形，舉一反三，達(dá)到學(xué)以致用的效果.這樣，當(dāng)學(xué)生遇到新問題時(shí)，就能進(jìn)行必要的分析與轉(zhuǎn)化，會(huì)把新的問題轉(zhuǎn)化為相對熟悉的題型，用類比、化歸和建模等有效手段解決問題，從而實(shí)現(xiàn)解決新問題的目的.

應(yīng)用題是教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，因?yàn)閼?yīng)用題與現(xiàn)實(shí)世界緊密相連，涉及的知識(shí)種類和解題方法千變?nèi)f化，沒有統(tǒng)一的模式可以套用.應(yīng)用題的解答是數(shù)學(xué)基本知識(shí)與基本能力的綜合應(yīng)用，對學(xué)生的能力要求較高.應(yīng)用題又是高考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)，頗受社會(huì)有識(shí)之士的關(guān)注，所以數(shù)學(xué)教師和學(xué)生要充分重視應(yīng)用題.從教師教學(xué)的角度來看，教師要認(rèn)真研究應(yīng)用題的題型，尋找一些適合學(xué)生能力要求的方法，對學(xué)生進(jìn)行有效指導(dǎo).從學(xué)生的角度來看，學(xué)生要活學(xué)活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力.這樣，應(yīng)用題就不再是師生難以攀越的高臺(tái)，反而成為師生共同進(jìn)步的階梯.