祁武超， 張賀銘， 田素梅， 許衛(wèi)鍇

(沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136)

1 引 言

大展弦比機(jī)翼因其大的升阻比和小的誘導(dǎo)阻力因子及零升阻力因子而廣泛應(yīng)用于大型民用飛機(jī)、軍用運(yùn)輸機(jī)和警用無人機(jī)等領(lǐng)域。在巡航飛行及執(zhí)行任務(wù)時(shí)，具有大展弦比機(jī)翼的飛機(jī)往往需要攜帶功能性組件，且多以外掛物的形式懸吊于機(jī)翼下方，如圖1所示。由于具有明顯彈性軸的大展弦比機(jī)翼通常呈現(xiàn)出長且柔的懸臂梁特點(diǎn)，其本身已具有較低的固有頻率，此時(shí)在機(jī)翼上增加外載相當(dāng)于增加了質(zhì)量屬性，可能會(huì)進(jìn)一步降低機(jī)翼的固有頻率并使得機(jī)翼顫振速度發(fā)生大的改變。這對于已給定飛行包線的飛機(jī)會(huì)使得其在給定的設(shè)計(jì)顫振速度之前發(fā)生機(jī)翼顫振，并導(dǎo)致嚴(yán)重的安全性問題。所以，對攜帶外掛的大展弦比機(jī)翼進(jìn)行顫振特性研究是未來飛行器氣動(dòng)彈性領(lǐng)域發(fā)展的熱點(diǎn)問題之一。

圖1 美國太陽神號無人機(jī)Fig.1 U.S.Apollo UAV

20世紀(jì)90年代，楊智春等[1，2]就采用顫振分析的重頻理論對帶外掛的二元機(jī)翼的顫振頻率及顫振邊界變化的一般規(guī)律進(jìn)行了研究，建立試驗(yàn)?zāi)Ｐ脱芯苛烁┭觥⑵胶蛡?cè)擺等連接剛度對機(jī)翼外掛系統(tǒng)顫振特性的影響。趙永輝[3]詳細(xì)論述了大展弦比等剖面直機(jī)翼、帶操縱面的直機(jī)翼和后掠機(jī)翼的顫振分析方法。近年來，對于帶外掛物大展弦比機(jī)翼顫振特性的研究多見于外掛物對機(jī)翼顫振特性的改變。Librescu等[4]對攜帶外掛物的復(fù)合材料機(jī)翼進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究，考慮了薄壁各向異性復(fù)合材料梁受外掛質(zhì)量影響的彎扭耦合問題，并基于Hamilton原理和Galerkin方法求解了橫向剪切和翹曲抑制效應(yīng)。Fazelzadeh等[5]研究了帶外掛懸臂機(jī)翼滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)狀態(tài)下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象，利用有限元方法建立了氣動(dòng)彈性控制方程，分析了橫滾角速度、后掠角、外掛質(zhì)量和位置對機(jī)翼發(fā)散和顫振的影響。Chen等[6]基于諧波平衡法提出了一種增量方法以分析帶外掛機(jī)翼的非線性氣動(dòng)彈性問題，得到了與數(shù)值解吻合的極限環(huán)分岔。王立強(qiáng)等[7]基于結(jié)構(gòu)重疊網(wǎng)格技術(shù)，采用有限體積法研究了不同掛位外掛物的繞流流場，發(fā)現(xiàn)不同掛位的外掛物氣動(dòng)特性各有特點(diǎn)。李家旭等[8]采用十字交叉升力面模型和細(xì)長體模型分別對機(jī)翼/外掛物模型進(jìn)行了顫振計(jì)算，比較了單獨(dú)外掛物剛體模態(tài)下兩種氣動(dòng)力模型對應(yīng)的廣義氣動(dòng)力系數(shù)。段靜波等[9]將傳遞函數(shù)方法應(yīng)用于帶外掛機(jī)翼的顫振分析，利用干凈機(jī)翼的彎扭振動(dòng)微分方程和Therdorson非定常氣動(dòng)力模型建立了機(jī)翼顫振方程，并運(yùn)用傳遞函數(shù)方法，將顫振微分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式，通過求解復(fù)特征值問題獲得了帶外掛機(jī)翼的顫振速度和顫振頻率。曹良秋等[10]為解決機(jī)身或機(jī)翼加掛測試吊艙、設(shè)備吊艙及試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷韧鈷煳锏妮d荷計(jì)算問題，以相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范為指導(dǎo)，給出了一種飛機(jī)外掛物載荷分析計(jì)算的工程方法。陳立勇等[11]研究了機(jī)翼帶多外掛物引起的高階高頻顫振的特性，得出明顯的以副翼旋轉(zhuǎn)和機(jī)翼二扭為主的高階高頻顫振，與風(fēng)洞試驗(yàn)規(guī)律基本一致。Zhang等[12]研究了帶外掛機(jī)翼非線性極限環(huán)振動(dòng)的穩(wěn)定性和局部分岔行為，考慮了3類分岔響應(yīng)方程的退化平衡點(diǎn)，并基于4階Runge -Kutta法得到了解析結(jié)果。Liu等[13]基于增量諧波平衡法研究了帶外掛機(jī)翼準(zhǔn)周期性氣動(dòng)彈性影響分析，證實(shí)不可約頻率的出現(xiàn)和消失引起了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振蕩。Burlon等[14]討論了帶附加質(zhì)量的二節(jié)點(diǎn)彎扭耦合梁的精確頻率響應(yīng)，利用復(fù)模態(tài)分析方法建立了梁的模態(tài)頻率響應(yīng)函數(shù)，可用于任意載荷下的時(shí)域分析。Kwon等[15]研究了結(jié)構(gòu)損傷和外掛物的存在對機(jī)翼在跨聲速條件下顫振穩(wěn)定性的影響，研究結(jié)果表明，在加裝了外掛物后，機(jī)翼的跨音速顫振穩(wěn)定性會(huì)大幅降低。Aksongur等[16]對沿跨度方向有多個(gè)承載質(zhì)量點(diǎn)懸臂梁的彎扭耦合行為進(jìn)行了動(dòng)力特性分析，結(jié)果表明，彎扭組合梁的動(dòng)力學(xué)行為高度依賴于外部質(zhì)量的位置和大小，當(dāng)質(zhì)量塊接近梁端時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率會(huì)嚴(yán)重降低。Xu等[17]研究了帶外掛柔性機(jī)翼的非線性響應(yīng)問題，引入了2種非穩(wěn)態(tài)氣動(dòng)模型以確定氣動(dòng)載荷，得到由線性氣動(dòng)力模型確定的響應(yīng)峰值要高于非線性氣動(dòng)力的情形。Wang等[18]研究了帶外掛和后掠角的復(fù)合材料飛機(jī)機(jī)翼非線性模態(tài)間的耦合作用，討論了模態(tài)相互作用過程中能量的流動(dòng)方向以及跳躍現(xiàn)象。龍海斌等[19,20]針對外掛武器對無人直升機(jī)縱向氣動(dòng)特性影響的問題，對加裝武器系統(tǒng)前后不同速度、武器安裝角和掛載狀態(tài)下的氣動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，證實(shí)采用懸臂梁外掛方式加裝武器對阻力有顯著影響。

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，提出使用假設(shè)模態(tài)法得到帶外掛物大展弦比直機(jī)翼的彎曲和俯仰模態(tài)，結(jié)合片條理論進(jìn)行顫振分析，給出多外掛情形下的顫振速度恢復(fù)方法。

2 帶外掛大展弦比直機(jī)翼的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

在研究大展弦比直機(jī)翼的顫振特性時(shí)引入兩個(gè)假設(shè),在結(jié)構(gòu)方面將機(jī)翼簡化為一維梁式模型；在空氣動(dòng)力方面采用片條理論或修正的片條理論。對于外掛物，只考慮其質(zhì)量屬性而忽略其剛度屬性，將其看作質(zhì)點(diǎn)來對待，而對于連接機(jī)翼和外掛物的桿件，將其模型化為不計(jì)重量的剛性桿。

圖2 大展弦比直機(jī)翼Fig.2 A straight wing with high aspect ratio

忽略外掛俯仰運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的z向位移，且忽略外掛物氣動(dòng)力對機(jī)翼顫振的影響，則帶外掛物的大展弦比直機(jī)翼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的彈性勢能可表示為

(1)

忽略機(jī)翼展向方向的變形速度，則機(jī)翼自身動(dòng)能TW為

(2)

式中ρ為機(jī)翼的體密度，m為單位長度機(jī)翼的質(zhì)量，Sα為單位展長機(jī)翼對彈性軸的質(zhì)量靜矩，Iα為單位展長機(jī)翼對彈性軸的質(zhì)量慣性矩。外掛物的動(dòng)能TE為

(3)

對于帶外掛物的大展弦比直機(jī)翼，利用模態(tài)疊加法將其變形表示為

(4)

(5)

系統(tǒng)的動(dòng)能為

(6)

式中

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中

(12)

(13)

式中

非定常氣動(dòng)力所作虛功為

(14)

(15)

(16)

(17)

本文可以將模態(tài)坐標(biāo)下的氣動(dòng)力Q進(jìn)一步改寫為

(18)

3 顫振分析

(19)

(20)

(21)

(22)

由式(25)可得到系統(tǒng)廣義力的表達(dá)式為

(23)

式中

(i=1,2,…,Nw;j=1,2,…,Nα)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

由顫振方程式(24)可得到特征值為

λ=(1+ig)/ω2=λRe+iλI m

(29)

進(jìn)一步得到

(30)

4 數(shù)值算例

4.1 單個(gè)外掛物情形

考察一個(gè)大展弦比機(jī)翼[3]，其物理參數(shù)列入 表1，進(jìn)行顫振計(jì)算時(shí)取空氣密度為1.225 kg/m3。機(jī)翼總質(zhì)量為0.1728 kg，取前2階彎曲模態(tài)(固有頻率分別為3.06928 Hz和19.2362 Hz)和前2階扭轉(zhuǎn)模態(tài)(固有頻率分別為45.7827 Hz和137.348 Hz)參與計(jì)算，該大展弦比直機(jī)翼的顫振計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

可以看出，在沒有懸吊外掛物時(shí)，該機(jī)翼顫振現(xiàn)象出現(xiàn)在第1階俯仰模態(tài)上，顫振速度VF 0=35.22 m/s，顫振頻率fF 0=24.29 Hz。與文獻(xiàn)[3]的計(jì)算結(jié)果相比，計(jì)算誤差為0.23%。

表1 大展弦比機(jī)翼的物理參數(shù)Tab.1 Parameters of a wing with high aspect ratio

圖3 顫振計(jì)算結(jié)果(ma=0)Fig.3 Results of flutter analysis (ma=0)

圖4 顫振計(jì)算結(jié)果(ma=0.1)Fig.4 Results of flutter analysis(ma=0.1)

考察外掛物的質(zhì)量及掛載位置對機(jī)翼顫振速度的影響性規(guī)律。圖5為考慮外掛物的弦向坐標(biāo)xa的變化對機(jī)翼顫振速度的影響。其中，N=xa/xα為外掛物的弦向坐標(biāo)的無量綱量，代表外掛物和z軸的距離為機(jī)翼重心到彈性軸距離的倍數(shù)，縱軸VF和fF分別為顫振速度和顫振頻率。

從圖5(a)可以看出，機(jī)翼顫振速度隨著外掛物質(zhì)量的增加整體上呈遞減趨勢，這是由于外掛物質(zhì)量對機(jī)翼固有頻率的貢獻(xiàn)明顯，外掛物質(zhì)量越大，機(jī)翼及外掛物整體的固有頻率越低。顫振速度曲線在外掛物靠近機(jī)翼前緣時(shí)顯得稀疏，而在彈性軸和重心軸附近呈現(xiàn)聚集趨勢，而在靠近機(jī)翼后緣時(shí)又開始變得稀疏。在外掛物質(zhì)量較小并懸掛于靠近機(jī)翼前緣位置時(shí)機(jī)翼顫振速度可能會(huì)高于不攜帶外掛時(shí)機(jī)翼的顫振速度，如ma=0.01 kg且N=-5時(shí)，機(jī)翼顫振速度為35.96 m/s，高于不攜帶外掛時(shí)機(jī)翼的顫振速度35.22 m/s。同時(shí)，顫振速度會(huì)隨著懸掛點(diǎn)位置向機(jī)翼后緣遷移而減小，且減小趨勢基本上呈線性變化。另外，當(dāng)外掛物質(zhì)量足夠大時(shí)，顫振速度隨懸掛點(diǎn)位置的變化呈現(xiàn)出極值特性，在彈性軸附近達(dá)到極大值，在通過極值點(diǎn)時(shí)，機(jī)翼顫振模態(tài)從第1階俯仰模態(tài)跳躍為第2階彎曲模態(tài)。當(dāng)外掛物質(zhì)量不甚大時(shí)，這種極值特性開始發(fā)生遷移，極值點(diǎn)從彈性軸開始向重心軸轉(zhuǎn)移，且這種極值特性開始顯得不明顯，并逐漸過渡為線性變化趨勢。從圖5(b)可以看出，外掛質(zhì)量越大，顫振頻率越低。當(dāng)外掛質(zhì)量小于0.02 kg時(shí)，顫振頻率隨外掛位置的改變量在2.5 Hz以內(nèi)，而當(dāng)外掛質(zhì)量大于0.05 kg時(shí)，顫振頻率的改變量在5 Hz以上。當(dāng)外掛靠近后緣時(shí)，頻率曲線在外掛物質(zhì)量較小時(shí)較為稀疏，而在質(zhì)量較大時(shí)呈現(xiàn)密集趨勢。

圖5 顫振速度和頻率隨xa的變化Fig.5 Change of flutter velocity and frequency with xa

從圖6(a)可以看出，對于不同質(zhì)量的外掛物，當(dāng)掛載位置距離翼根小于L/2時(shí)，顫振速度曲線密集，機(jī)翼顫振速度的改變量小于7.5%，且質(zhì)量越小，顫振速度改變量越小。在M=0.6時(shí)，機(jī)翼顫振速度發(fā)散性明顯，而在M=0.7和M=0.8附近，顫振速度曲線再次聚集，體現(xiàn)為懸臂梁模態(tài)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)位置。并且，在M=0.8時(shí)，顫振速度曲線隨掛載質(zhì)量的順序發(fā)生了改變，掛載質(zhì)量大時(shí)，顫振速度也表現(xiàn)為增大趨勢。隨后，在M=0.9時(shí)，顫振速度的離散性迅速增大，且掛載質(zhì)量越大，機(jī)翼顫振速度越低，而當(dāng)將掛載置于翼尖時(shí)，顫振速度的離散性有所收斂，但對于大質(zhì)量外掛物來講，機(jī)翼仍保持了較低的顫振速度。從圖6(b)可以看出，外掛物的質(zhì)量越大，顫振頻率越低，且顫振頻率的下降速度也越大。當(dāng)M=0.8且ma≥0.3時(shí)，顫振頻率曲線表現(xiàn)為取極小值，而當(dāng)M=0.9時(shí)，這簇曲線又表現(xiàn)為極大值性質(zhì)。而當(dāng)ma≤0.2時(shí)，這種極值性質(zhì)表現(xiàn)不明顯甚至體現(xiàn)出相反的趨勢，這是由于較小質(zhì)量的外掛物對機(jī)翼固有頻率的影響也較小。

圖6 顫振速度和頻率隨ya的變化Fig.6 Change of flutter velocity and frequency with ya

由以上分析可知，當(dāng)在機(jī)翼上懸吊單個(gè)外掛時(shí)，應(yīng)考慮外掛質(zhì)量、掛載的弦向位置和展向位置對顫振速度的影響。在弦線方向上，當(dāng)外掛質(zhì)量較小時(shí)，將掛載點(diǎn)向前緣點(diǎn)遷移有助于提高顫振速度，而當(dāng)外掛質(zhì)量較大時(shí)，最佳的掛載點(diǎn)在彈性軸和重心軸附近。在翼展方向上，當(dāng)掛載點(diǎn)靠近翼根時(shí)，顫振速度對外掛質(zhì)量參數(shù)不敏感，而當(dāng)外掛物不能懸吊于翼根附近時(shí)，選擇0.7倍～0.8倍翼展附近作為懸掛點(diǎn)可有效維持甚至小幅提高機(jī)翼顫振速度。

4.2 多個(gè)外掛物情形

對于多個(gè)外掛的情形，仍以4.1節(jié)的大展弦比機(jī)翼為例。一般不同的外掛數(shù)量、質(zhì)量分布及掛點(diǎn)分布形式均對機(jī)翼的顫振速度有明顯影響，本節(jié)僅以機(jī)翼攜帶多個(gè)相同外掛并沿展向均勻分布(不包含翼尖)為例進(jìn)行討論，攜帶外掛總質(zhì)量為0.1 kg。通常，對于機(jī)翼結(jié)構(gòu)而言，過多的外掛數(shù)目和過大的外掛質(zhì)量會(huì)造成大的翼根彎矩而導(dǎo)致安全性問題，且可能會(huì)對氣動(dòng)性能產(chǎn)生嚴(yán)重影響，所以機(jī)翼上的外掛物數(shù)目不宜過多和過重。圖7給出了外掛物數(shù)目分別為1～6個(gè)時(shí)顫振速度和顫振頻率隨掛載弦向坐標(biāo)xa的變化曲線， 為外掛物的弦向坐標(biāo)的無量綱量。

圖7 顫振速度和頻率隨xa的變化Fig.7 Flutter velocity and frequency versus xa

從圖7(a)可以看出，在保持弦向位置同向改變時(shí)，具有不同數(shù)目外掛物的機(jī)翼顫振速度曲線在彈性軸和重心軸附近匯集，這意味著若將總質(zhì)量不變的外掛物置于彈性軸或重心軸下方時(shí)，機(jī)翼的顫振速度對外掛數(shù)目不敏感。另外，從左側(cè)圖像可以看出，當(dāng)外掛數(shù)目為6時(shí)(單個(gè)外掛質(zhì)量最小)，在靠近機(jī)翼前緣位置懸吊外掛物有效提高了機(jī)翼的顫振速度，提高比例達(dá)到20.74%。這種效應(yīng)隨著外掛數(shù)目減少(單個(gè)外掛質(zhì)量增大)而降低，且在外掛數(shù)目為3時(shí)，顫振速度開始低于不帶外掛物時(shí)機(jī)翼的顫振速度。在將外掛物靠近后緣懸吊時(shí)，不同數(shù)目外掛物的機(jī)翼顫振速度均呈現(xiàn)線性下降趨勢，下降最快和下降最為緩慢的分別為單個(gè)外掛物和3個(gè)外掛物的情形。從圖7(b)可以看出，不同外掛物的顫振頻率曲線簇在彈性軸附近亦呈現(xiàn)匯集趨勢。在將懸吊點(diǎn)從彈性軸靠近前緣時(shí)，整體呈現(xiàn)出外掛物數(shù)目越少，顫振頻率越高的特點(diǎn)，而在彈性軸之后，則呈現(xiàn)出外掛數(shù)目越多，顫振頻率越高的特點(diǎn)。并且，攜帶外掛物的機(jī)翼顫振頻率(最高為16.9 Hz)均小于不攜帶外掛物時(shí)的顫振頻率(24.29 Hz)，這是由于機(jī)翼質(zhì)量屬性增加引起結(jié)構(gòu)固有頻率下降造成的。

4.3 顫振速度恢復(fù)

機(jī)翼在設(shè)計(jì)定型時(shí)，顫振速度包線已然確定。在后續(xù)使用時(shí)，若有需求懸吊外掛物，則會(huì)改變機(jī)翼質(zhì)量屬性分布，顫振速度也會(huì)隨之發(fā)生改變。這一過程若造成機(jī)翼顫振速度下降過大，則會(huì)嚴(yán)重威脅到人員和飛機(jī)的安全性。所以，在機(jī)翼上懸吊外掛物時(shí)，理想是能不改變機(jī)翼原有的顫振速度。通過3.1節(jié)和3.2節(jié)的分析可知，在機(jī)翼靠近前緣的位置懸吊較小質(zhì)量的外掛物可有助于顫振速度的提高，而在彈性軸及重心軸附近懸吊外掛物時(shí)，機(jī)翼顫振速度對外掛質(zhì)量是不敏感的。所以，對于多個(gè)外掛物的情形，可以通過適當(dāng)調(diào)整各外掛物懸吊點(diǎn)在展向和弦向方向的位置以期獲取與不帶外掛物機(jī)翼相近的顫振速度。如此，可提出如下顫振速度優(yōu)化問題，

(31)

式中Xa為尋求的設(shè)計(jì)變量向量，包含n個(gè)外掛物質(zhì)量、弦向坐標(biāo)和展向坐標(biāo)信息，函數(shù)向量g(Xa)和h(Xa)分別為機(jī)翼結(jié)構(gòu)和外掛物需要滿足的不等式約束和等式約束。本文選取優(yōu)化目標(biāo)為最小化帶外掛機(jī)翼顫振速度與不帶外掛機(jī)翼顫振速度的差值，而不是最大化帶外掛機(jī)翼顫振速度，因?yàn)閱渭兊靥岣邫C(jī)翼顫振速度可能會(huì)使得某約束式gj(Xa)≤0達(dá)到約束邊界而產(chǎn)生安全性問題。在本算例中，要求所有外掛物對翼根處總的彎矩不超過將所有外掛物均置于展向L/2處的彎矩，并限定所有外掛物的質(zhì)量總和為0.1 kg。為簡化優(yōu)化問題，取外掛物數(shù)目為5個(gè)，并固定其展向坐標(biāo)為均勻分布，調(diào)整每個(gè)外掛物的質(zhì)量和弦向位置以使得目標(biāo)函數(shù)最小。如此，式(40)的優(yōu)化問題具體化為

別后可重來，多少事，脈脈無言相送，欲訴又低徊。憐弱絮風(fēng)前，嬌紅雨后，更啼雞聲聲催喚。奈此去云蘿煙霧，只空余凄惋。[注]系系：《詩余：別意》，《嘉興新報(bào)》1940年10月15日。

(32)

考慮到實(shí)際問題中掛點(diǎn)位置會(huì)受到機(jī)翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的影響(如翼肋和長桁位置等)，求解式(32)的優(yōu)化問題時(shí)將設(shè)計(jì)域進(jìn)行離散，得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為

Xa={0.03,0;0.03,0;0.02,0;0.01,-4xα;

0.01,-5xα}

此時(shí)翼根處的彎矩為0.392LN·m，滿足式(32)的約束條件，本文取重力加速度為9.8 m/s2。得到的顫振速度為35.2276 m/s，優(yōu)化目標(biāo)余量為 0.0075 m/s，優(yōu)化目標(biāo)余量與VF 0的比值為0.021%。

另一方面，考慮將外掛物均懸吊于重心軸下方，而將懸掛質(zhì)量和展向坐標(biāo)作為優(yōu)化變量，此時(shí)顫振速度恢復(fù)的優(yōu)化問題可寫為

(33)

同樣基于離散優(yōu)化，得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為

Xa={0.1,0.072;0,0.144;0,0.216;0,0.288;0,0.36}

從以上的分析可以看到，對于以俯仰為主顫振模態(tài)的機(jī)翼，可以通過調(diào)整外掛物的質(zhì)量和位置以獲得與原有機(jī)翼相近的顫振速度，而簡單地將外掛物置于重心軸的下方則達(dá)不到顫振速度恢復(fù)的效果。

5 結(jié) 論

基于假設(shè)模態(tài)法以及懸臂梁的彎曲和俯仰模態(tài)函數(shù)推導(dǎo)了帶外掛大展弦比直機(jī)翼在模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程，結(jié)合二維氣動(dòng)片條理論，利用V-g法在不同掛載形式下進(jìn)行了顫振計(jì)算，得到如下主要結(jié)論。

(1) 在機(jī)翼上僅有單個(gè)外掛物時(shí)，若外掛質(zhì)量較小，則應(yīng)將掛載點(diǎn)向前緣點(diǎn)遷移以提高顫振速度，而當(dāng)外掛質(zhì)量較大時(shí)，最佳的掛載點(diǎn)在彈性軸和重心軸附近。在翼展方向上，應(yīng)優(yōu)先選擇靠近翼根懸吊外掛物，其次為選擇機(jī)翼模態(tài)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)位置。

(2) 對于多個(gè)外掛物的情形，當(dāng)外掛物質(zhì)量不變時(shí)，不同數(shù)目外掛物的機(jī)翼顫振速度和顫振頻率曲線在彈性軸和附近匯集。在外掛物的質(zhì)量都不太大時(shí)，靠近機(jī)翼前緣位置懸吊外掛物對提高顫振速度具有明顯優(yōu)勢。

(3) 利用在前緣附近懸吊小質(zhì)量外掛的形式可在一定程度上實(shí)現(xiàn)機(jī)翼顫振速度恢復(fù)，而將外掛物均置于重心軸下方則達(dá)不到顫振速度恢復(fù)的效果。