詹俊偉，曾 茹，王易之，薛詩(shī)川，黃光耀，吳俊杰

(國(guó)防科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院量子信息研究所兼高性能計(jì)算國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073)

1 引言

量子計(jì)算是后摩爾定律時(shí)代最重要的高性能計(jì)算前沿技術(shù)之一。量子計(jì)算使用量子比特編碼信息，通過(guò)對(duì)量子比特的操控和測(cè)量，完成計(jì)算任務(wù)。已有的量子算法研究表明[1,2]，量子計(jì)算擁有經(jīng)典計(jì)算機(jī)無(wú)法比擬的計(jì)算性能。近些年，隨著量子計(jì)算物理實(shí)現(xiàn)技術(shù)的不斷發(fā)展，尤其是超導(dǎo)量子體系[3]和光量子體系[4]的“量子優(yōu)越性”實(shí)驗(yàn)演示之后，量子計(jì)算的發(fā)展也進(jìn)入了新的階段[5]，面向?qū)嶋H問(wèn)題的專用量子計(jì)算成為發(fā)展重點(diǎn)之一。

1982年，美國(guó)物理學(xué)家Feynman[6]首次提出量子計(jì)算的概念時(shí)指出，使用經(jīng)典計(jì)算機(jī)模擬量子物理系統(tǒng)演化所需要的計(jì)算資源會(huì)隨著模擬系統(tǒng)規(guī)模的增加而出現(xiàn)指數(shù)爆炸問(wèn)題，而利用一個(gè)可控的量子設(shè)備來(lái)模擬量子物理系統(tǒng)，即量子模擬，會(huì)更加高效。量子自旋系統(tǒng)是一類典型的復(fù)雜多體量子物理系統(tǒng)，在凝聚態(tài)物理的研究中占有重要地位，拓?fù)湮飸B(tài)、量子霍爾效應(yīng)及量子自旋液體等新奇量子效應(yīng)，均與量子自旋系統(tǒng)有關(guān)。目前，量子自旋系統(tǒng)也是量子模擬領(lǐng)域一類重要的研究對(duì)象[7,8]。

完美態(tài)轉(zhuǎn)移PST(Perfect State Transfer) 是量子自旋系統(tǒng)中一類重要的量子信息傳輸模型[9]。最早由Christandl等[10,11]于2004年提出，即在一組特定的自旋量子比特間耦合作用強(qiáng)度下，初始時(shí)刻系統(tǒng)中某一自旋量子比特(后面簡(jiǎn)稱為量子比特)的量子態(tài)會(huì)周期性地轉(zhuǎn)移到另一量子比特上，且理論上轉(zhuǎn)移的概率為100%。完美態(tài)轉(zhuǎn)移在量子信息及量子計(jì)算領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價(jià)值：固態(tài)量子比特與移動(dòng)量子比特間的完美態(tài)轉(zhuǎn)移可以用于實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)程量子通信；量子處理器或量子存儲(chǔ)單元間的通信也可以通過(guò)固態(tài)量子比特陣列中的完美態(tài)轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn)；另外，完美態(tài)轉(zhuǎn)移還可用于量子態(tài)放大，糾纏態(tài)制備，甚至是實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算等[12 - 14]。目前，已有許多實(shí)驗(yàn)工作分別在光量子[15 - 21]、量子點(diǎn)[22]及超導(dǎo)量子線路[23]等物理體系中演示了完美態(tài)轉(zhuǎn)移的量子模擬。其中，光量子體系是完美態(tài)轉(zhuǎn)移實(shí)驗(yàn)研究中使用最多的物理體系，代表性工作包括：2016年，Chapman等[19]在光波導(dǎo)陣列中，演示了一對(duì)偏振編碼的糾纏光子中一個(gè)光子的完美轉(zhuǎn)移；2017年，Pitsios等[20]通過(guò)將完美態(tài)轉(zhuǎn)移映射為連續(xù)時(shí)間量子漫步，利用光波導(dǎo)線路模擬了自旋鏈淬火演化過(guò)程中的糾纏生成；2021年，Sturges等[21]在體塊光學(xué)平臺(tái)上，利用多光子間的干涉實(shí)現(xiàn)了完美態(tài)轉(zhuǎn)移的量子模擬。然而這些已有的研究工作大多數(shù)只能模擬固定參數(shù)下的完美態(tài)轉(zhuǎn)移，無(wú)法實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)可編程的量子模擬。Sturges等[21]的工作中雖然能夠調(diào)整所模擬的哈密頓量、演化時(shí)間等參數(shù)，但其使用的體塊光學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的可編程性和可擴(kuò)展性都嚴(yán)重受限。

近些年來(lái)，隨著集成光量子技術(shù)的發(fā)展[24]，光量子芯片逐漸成為量子模擬研究中一種重要的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[20,25,26]，且相比體塊光學(xué)在集成度、可編程性、操控精度和體積等方面都具有巨大優(yōu)勢(shì)。本文系統(tǒng)地分析了一維量子自旋鏈中完美態(tài)轉(zhuǎn)移的理論模型，首次基于光量子芯片，實(shí)驗(yàn)演示了完美態(tài)轉(zhuǎn)移的可編程量子模擬，為量子自旋系統(tǒng)的可編程量子模擬提供了一種新思路。本文的具體貢獻(xiàn)為：(1)提出了一種基于雙光子連續(xù)時(shí)間量子漫步的可編程完美態(tài)轉(zhuǎn)移量子模擬方法；(2)運(yùn)用基于光量子芯片的物理實(shí)驗(yàn)方法，動(dòng)態(tài)可編程地模擬了不同參數(shù)條件下一維量子自旋鏈中雙激發(fā)的完美態(tài)轉(zhuǎn)移。

本文結(jié)構(gòu)如下所示：第2節(jié)簡(jiǎn)述了一維量子自旋鏈中完美態(tài)轉(zhuǎn)移的基本模型；第3節(jié)介紹了基于連續(xù)時(shí)間量子漫步的可編程完美態(tài)轉(zhuǎn)移量子模擬方法；第4節(jié)根據(jù)第3節(jié)提出的模擬方法，在實(shí)驗(yàn)上模擬了不同參數(shù)條件下的完美態(tài)轉(zhuǎn)移；第5節(jié)對(duì)工作進(jìn)行總結(jié)與展望。

2 完美態(tài)轉(zhuǎn)移的基本模型

本文主要考慮XY型一維量子自旋鏈中的完美態(tài)轉(zhuǎn)移[10,11]。如圖1所示，假設(shè)該系統(tǒng)包含N個(gè)量子比特，從左到右依次編號(hào)為1,2,…,N。系統(tǒng)中只有相鄰的量子比特之間存在相互作用，且相互作用類型為XY型，即相互作用只出現(xiàn)在沿X軸和Y軸的自旋分量上。該系統(tǒng)的哈密頓量H的形式如式(1)所示：

(1)

Figure 1 PST in XY-type one-dimensional quantum spin system圖1 XY型一維量子自旋系統(tǒng)中的完美態(tài)轉(zhuǎn)移

(2)

(3)

(4)

(5)

3 基于光量子芯片的完美態(tài)轉(zhuǎn)移可編程量子模擬方法

3.1 完美態(tài)轉(zhuǎn)移模型的Jordan-Wigner變換

對(duì)于XY型一維量子自旋鏈，可以利用Jordan-Wigner變換將其映射為一個(gè)無(wú)自旋、無(wú)粒子間相互作用的費(fèi)米子系統(tǒng)(量子比特處于沿Z軸自旋向上映射為該空間節(jié)點(diǎn)被一個(gè)費(fèi)米子占據(jù)，而沿Z軸自旋向下映射為真空態(tài))[27]，映射后得到的系統(tǒng)哈密頓量Hf的形式如式(6)和式(7)所示：

(6)

(7)

那么，可以將一維量子自旋鏈映射為一個(gè)“帶自環(huán)”的無(wú)向加權(quán)圖G。其中，圖的節(jié)點(diǎn)V(G)表示系統(tǒng)中量子比特所占據(jù)的空間節(jié)點(diǎn)，圖的邊E(G)表示其所連接的2個(gè)量子比特之間存在相互作用，邊的權(quán)重即相互作用的強(qiáng)度。圖G的鄰接矩陣A表示如式(8)所示：

(8)

進(jìn)而，可以將對(duì)應(yīng)的量子態(tài)演化過(guò)程映射為一組無(wú)相互作用的費(fèi)米子在圖G上進(jìn)行連續(xù)時(shí)間量子漫步CTQW(Continuous-Time Quantum Walks)[28]。這里，費(fèi)米子的個(gè)數(shù)為系統(tǒng)給定初始量子態(tài)所對(duì)應(yīng)的激發(fā)數(shù)m。那么，原系統(tǒng)演化過(guò)程中激發(fā)分量由初始量子比特轉(zhuǎn)移到其他量子比特上的概率，則映射為費(fèi)米子從初始節(jié)點(diǎn)“躍遷”至其他節(jié)點(diǎn)的概率。

根據(jù)連續(xù)時(shí)間量子漫步的基本模型可得，m個(gè)無(wú)相互作用的費(fèi)米子在圖G上進(jìn)行量子漫步的哈密頓量Hm表示(這里不考慮Hm的投影)如式(9)所示：

Hm=(A?I?…?I)1+…+

(I?I?…?A)m

(9)

其中，I為單位算符。

演化算符Um如式(10)所示：

Um=(e-iAt)1?(e-iAt)2…?(e-iAt)m

(10)

其中，t表示演化時(shí)間。

3.2 基于連續(xù)時(shí)間量子漫步的光量子芯片

首先給出本課題組提出的一種可以實(shí)驗(yàn)演示兩粒子連續(xù)時(shí)間量子漫步的光量子芯片結(jié)構(gòu)[29],如圖2所示，這款光量子芯片主要由2部分構(gòu)成：1對(duì)SFWM(Spontaneous Four Wave Mixing)糾纏光子源和2個(gè)5(路徑)模的線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)L和R。泵浦光在SFWM光子源的作用下產(chǎn)生頻率關(guān)聯(lián)的光子對(duì)：信號(hào)光子和閑置光子。經(jīng)過(guò)選擇，使信號(hào)光子進(jìn)入L網(wǎng)絡(luò)，閑置光子進(jìn)入R網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而得到路徑糾纏的雙光子態(tài)，如式(11)所示：

(11)

Figure 2 Scheme of quantum photonic chip structure based on CTQW圖2 基于連續(xù)時(shí)間量子漫步的光量子芯片結(jié)構(gòu)

3.3 雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移的可編程量子模擬

(12)

(13)

同時(shí)，根據(jù)3.2節(jié)給出的光量子芯片結(jié)構(gòu)，可以將式(13)中的基底態(tài)矢量映射為路徑糾纏的雙光子態(tài)，如式(14)所示：

(14)

又根據(jù)式(9)和式(10)可知，模擬雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移對(duì)應(yīng)的哈密頓量和演化算符分別如式(15)和式(16)所示：

H2=A⊕2=A?I+I?A

(15)

U2=e-iH2t=e-iAt?e-iAt

(16)

其中，A表示一維量子自旋鏈映射得到的無(wú)向加權(quán)圖的鄰接矩陣，如式(8)所示。Albanese等[11]針對(duì)多激發(fā)的情況，給出了2類特殊的哈密頓量，可以實(shí)現(xiàn) “周期-鏡像”的完美態(tài)轉(zhuǎn)移。這2類哈密頓量對(duì)應(yīng)的相互作用參數(shù)和磁場(chǎng)能量取值可分別由式(17)和式(18)給出：

(17)

(18)

其中，l=0,1,…,N-1。在芯片上，通過(guò)將2個(gè)線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)均配置為e-iAt，便可得到雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移模擬所需的演化算符U2。因此，要利用光量子芯片實(shí)現(xiàn)哈密頓量、初態(tài)及演化時(shí)間等參數(shù)可變的雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移可編程量子模擬，芯片上的2個(gè)線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)需分別配置,如式(19)所示：

Utotal=e-iAt·Uini

(19)

根據(jù)3.1節(jié)中介紹的映射關(guān)系，雙激發(fā)從第i和j號(hào)量子比特轉(zhuǎn)移至第p和q號(hào)量子比特上的概率，等于糾纏雙光子態(tài)所模擬的2個(gè)費(fèi)米子從線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)第i和j號(hào)路徑模式“躍遷”至第p和q號(hào)路徑模式的概率，如式(20)所示：

(20)

因此，在實(shí)驗(yàn)中通過(guò)測(cè)量2個(gè)線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)第p和q號(hào)路徑模式間的雙光子符合概率，即可得到雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移演化過(guò)程中概率分布的模擬結(jié)果。另外，本文所使用的光量子芯片上2個(gè)線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)均為5模，所以，實(shí)驗(yàn)上可模擬的一維量子自旋鏈規(guī)模為N=5。

4 基于光量子芯片的完美態(tài)轉(zhuǎn)移可編程量子模擬實(shí)驗(yàn)

根據(jù)第3節(jié)所介紹的完美態(tài)轉(zhuǎn)移量子模擬方法，本文利用基于雙光子連續(xù)時(shí)間量子漫步的光量子芯片，完成了不同參數(shù)下雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移的可編程量子模擬實(shí)驗(yàn)。

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖3為一維量子自旋鏈中雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移可編程量子模擬的實(shí)驗(yàn)裝置。本文主要使用基于連續(xù)時(shí)間量子漫步的光量子芯片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。其中，使用波長(zhǎng)為1 550 nm的連續(xù)激光器作為泵浦光，經(jīng)過(guò)激光放大器進(jìn)行功率放大后，由光柵陣列耦合至光量子芯片上。根據(jù)3.3節(jié)所介紹的完美態(tài)轉(zhuǎn)移可編程量子模擬方法，實(shí)驗(yàn)裝置中的主機(jī)通過(guò)電控板給光量子芯片施加控制電信號(hào)，產(chǎn)生模擬所需的雙光子態(tài)并將線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)配置為對(duì)應(yīng)的演化算符。光量子芯片輸出的光信號(hào)經(jīng)由光柵陣列耦出芯片，通過(guò)單模光纖接至超導(dǎo)納米線單光子探測(cè)器，使用符合計(jì)數(shù)器解析出探測(cè)到的雙光子符合計(jì)數(shù)信息，并將其發(fā)送至主機(jī)。根據(jù)芯片上2個(gè)線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)各路徑模式間的雙光子符合計(jì)數(shù)，可以計(jì)算出雙激發(fā)完美態(tài)轉(zhuǎn)移演化過(guò)程中的轉(zhuǎn)移概率分布。

Figure 3 Experimental setup for programmable quantum simulation of perfect state transfer圖3 完美態(tài)轉(zhuǎn)移可編程量子模擬實(shí)驗(yàn)裝置

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文利用光量子芯片，在實(shí)驗(yàn)中模擬了3.3節(jié)給出的2類“周期-鏡像”哈密頓量和不同初始激發(fā)位置下，完美態(tài)轉(zhuǎn)移演化過(guò)程中雙激發(fā)轉(zhuǎn)移概率分布隨時(shí)間的變化(由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量精度較高，測(cè)量誤差遠(yuǎn)小于數(shù)據(jù)值，在實(shí)驗(yàn)結(jié)果的圖中無(wú)法清晰地表示，因此圖中未給出誤差數(shù)據(jù))：

(1)第1類哈密頓量：由圖4可得，雙激發(fā)從初始位置第1和2號(hào)量子比特，以周期T=π/2，轉(zhuǎn)移至其鏡像位置第4和5號(hào)量子比特，轉(zhuǎn)移概率(簡(jiǎn)化起見，均選取第1次實(shí)現(xiàn)完美態(tài)轉(zhuǎn)移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.983±0.006，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的保真度為0.982±0.012；由圖5可得，雙激發(fā)從初始位置第3和4號(hào)量子比特，同樣以周期T=π/2，轉(zhuǎn)移至其鏡像位置第2和3號(hào)量子比特，轉(zhuǎn)移概率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.991±0.007，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的保真度為0.977±0.011。

(2)第2類哈密頓量：由圖6可得，雙激發(fā)從初始位置第1和2號(hào)量子比特，以周期T=π，轉(zhuǎn)移至其鏡像位置第4和5號(hào)量子比特，轉(zhuǎn)移概率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.981±0.006，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的保真度為0.971±0.019；由圖7可得，雙激發(fā)從初始位置第3和4號(hào)量子比特，以周期T=π，轉(zhuǎn)移至其鏡像位置第2和3號(hào)量子比特，轉(zhuǎn)移概率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.987±0.004，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的保真度為0.950±0.029。

Figure 4 Time evolution of two excitations starting from first and second qubits under type-Ⅰ Hamiltonian圖4 第1類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第1和2號(hào)量子比特的雙激發(fā)演化過(guò)程

Figure 6 Time evolution of two excitations starting from first and second qubits under type-Ⅱ Hamiltonian圖6 第2類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第1和2號(hào)量子比特的雙激發(fā)演化過(guò)程

Figure 5 Time evolution of two excitations starting from third and fourth qubits under type-Ⅰ Hamiltonian圖5 第1類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第3和4號(hào)量子比特的雙激發(fā)演化過(guò)程

5 結(jié)束語(yǔ)

量子模擬是量子計(jì)算最重要的研究方向之一。量子自旋系統(tǒng)在凝聚態(tài)物理的研究中占據(jù)重要地位，是量子模擬領(lǐng)域主要的研究對(duì)象之一。本文利用基于雙光子連續(xù)時(shí)間量子漫步的光量子芯片，針對(duì)一維量子自旋鏈中的完美態(tài)轉(zhuǎn)移模型，實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了哈密頓量、初始量子態(tài)及時(shí)間等參數(shù)可變的可編程光量子模擬，在實(shí)驗(yàn)層面驗(yàn)證了在Albanese等提出的2類特殊哈密頓量作用下，能夠?qū)崿F(xiàn)XY型量子自旋鏈中雙激發(fā)“周期-鏡像”的完美態(tài)轉(zhuǎn)移。另外，對(duì)于更一般的任意多激發(fā)及高維量子系統(tǒng)中的態(tài)轉(zhuǎn)移模型，將在后續(xù)研究中完成。

Figure 7 Time evolution of two excitations starting from third and fourth qubits under type-Ⅱ Hamiltonian圖7 第2類哈密頓量作用下初始激發(fā)位置為第3和4號(hào)量子比特的雙激發(fā)演化過(guò)程