蘇麗娟

【摘要】最值問(wèn)題是出現(xiàn)在各級(jí)各類競(jìng)賽中的一類重要題型，其形式、方法多樣，情形復(fù)雜，不同的問(wèn)題要運(yùn)用相應(yīng)的對(duì)策.對(duì)于已知兩個(gè)或多個(gè)變量的和，求解有關(guān)代數(shù)式的最值等問(wèn)題，運(yùn)用均值代換法求解，可將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，將條件和目標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，起到事半功倍之效.

【關(guān)鍵詞】均值代換；競(jìng)賽；最值

若x+y=a（a≠0），則可設(shè)

x=a2+t，y=x=a2-t；

若x+y+z=a（a≠0），則可設(shè)

x=a3+t1，y=x=a3+t2，z=a3+t3，

其中t1+t2+t3=0.

運(yùn)用上述變換求解問(wèn)題的方法稱之為均值代換法.

下面舉例說(shuō)明均值代換法在求解一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中的應(yīng)用.

例1實(shí)數(shù)x，y滿足x2-3xy+y2=2，則x2+y2的值域是.（第6屆希望杯高二2試）

解因?yàn)閤2+y2-3xy=2，

所以可設(shè)x2+y2=1+t，-3xy=1-t.

由x2+y2=1+t≥0，得t≥-1.

由x2-2xy+y2≥0，

即x2+y2≥2xy，

得1+t≥2·t-13，

解得t≥-5，不滿足t≥-1.

由x2+2xy+y2≥0，

即x2+y2≥-2xy，

得1+t≥2·1-t3，解得t≥-15，

所以1+t≥45，即x2+y2≥45，

當(dāng)且僅當(dāng)x=-y，x2-3xy+y2=2，即x=105，y=-105，或x=-105，y=105時(shí)，等號(hào)成立.

故x2+y2的值域是45，+∞.

注本題由于x，y和滿足的條件方程具有對(duì)稱性，且x2-3xy+y2=2（定值），所以通過(guò)進(jìn)行均值代換，再結(jié)合重要不等式的變形求解.

例2實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，S=x2+y2，則1Smax+1Smin=.（1993年全國(guó)聯(lián)賽）

解因?yàn)?x2-5xy+4y2=5，

所以可設(shè)4x2+4y2=52+t，-5xy=52-t，

顯然4x2+4y2=52+t>0，

即t≥-52.

由x2+y2≥2xy，得4x2+4y2≥8xy，

即52+t≥-85·52-t，

解得t≤656，

所以52+t≤52+656=403，

即4x2+4y2≤403，

所以S=x2+y2≤103，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y，4x2-5xy+4y2=5，即x=y=-153或x=y=153時(shí)，等號(hào)成立，

所以Smax=103.

因?yàn)椋▁+y）2≥0，

所以x2+y2≥-2xy，

得4x2+4y2≥-8xy，

所以52+t≥8552-t，即 t≥1526，

所以52+t≥52+1526=4013，

即4x2+4y2≥1013，

所以S=x2+y2≥1013，

當(dāng)且僅當(dāng)x=-y，4x2-5xy+4y2=5，即x=6513，y=-6513或x=-6513，y=6513時(shí)，等號(hào)成立，

所以Smin=1013，

故1Smax+1Smin=310+1310=85.

注本題解法與例1的解法有著異曲同工之妙.也是依據(jù)x，y和滿足的條件方程具有對(duì)稱性，且4x2-5xy+4y2=5（定值），通過(guò)均值代換，再結(jié)合重要不等式的變形求解.

例3已知a>0，b>0，且3a+2b=4，則2aa+1+32b的最小值為.

解由3a+2b=4，可設(shè)

3a=2-t，2b=2+t，-2<t<2，

所以2aa+1+32b=21+1a+32b

=63+3a+32b=65-t+32+t

=65-t+32+t×1

=1765-t+32+t（5-t+2+t）

=179+6（2+t）5-t+3（5-t）2+t

≥179+26（2+t）5-t·3（5-t）2+t

=9+627，

當(dāng)且僅當(dāng)6（2+t）5-t=3（5-t）2+t，即t=33-266+3，從而a=33+21223，b=72-72時(shí)，等號(hào)成立.

故2aa+1+32b的最小值為9+627.

注本題根據(jù)已知等式3a+2b=4（定值），進(jìn)行均值代換，代入所求式后，得到關(guān)于新元的式子，進(jìn)行“1”的代換，配湊、變形利用基本不等式求解.

例4已知a+b+c=1，則3a+1+3b+1+3c+1的最大值為.

解因?yàn)閍+b+c=1，

所以可設(shè)a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，

其中t1+t2+t3=0，

于是（3a+1+3b+1+3c+1）2

=（2+3t1+2+3t2+2+3t3）2

=（2+3t1）+（2+3t2）+（2+3t3）+

22+3t1·2+3t2+22+3t2·2+3t3+

22+3t1·2+3t3

≤（2+3t1）+（2+3t2）+（2+3t3）+

（2+3t1+2+3t2）+（2+3t2+2+3t3）+

（2+3t1+2+3t3）

=18+9（t1+t2+t3）=18，

當(dāng)且僅當(dāng)t1=t2=t3=0，即a=b=c=13時(shí)，等號(hào)成立，

所以3a+1+3b+1+3c+1≤32，

故3a+1+3b+1+3c+1的最大值為32.

注本題由于a，b，c具有輪換性，其和為定值1，所以通過(guò)進(jìn)行均值代換，再結(jié)合二元均值不等式求解，此解法別具一格，充分體現(xiàn)了均值代換法的應(yīng)用價(jià)值和解題魅力.