李寶全

（甘肅省通渭縣第二中學(xué)，甘肅 通渭）

傳統(tǒng)文化中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)資源，教師可以仔細(xì)探究，建立傳統(tǒng)元素與高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。

一、傳統(tǒng)民間建筑與高中數(shù)學(xué)的融合

傳統(tǒng)民間建筑是民族地域特色、文化特色、風(fēng)土人情的象征。其中，福建土樓已被列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為中國(guó)建筑榮譽(yù)的代表。教師可根據(jù)土樓的幾何特征，將其與高中數(shù)學(xué)相融合。

教學(xué)目標(biāo)：掌握直線與圓的位置關(guān)系。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

（一）創(chuàng)設(shè)情境問題

在一座土樓結(jié)構(gòu)的普通住宅區(qū)，居民阿光為了防止小偷光顧，在土樓院子里的樹上安裝了一個(gè)監(jiān)控器。已知監(jiān)控的范圍是半徑為50 米的圓形區(qū)域，阿光家位于監(jiān)控器的正東100 米處，土樓大門位于監(jiān)控正南60 米處，如果小偷從阿光家出來(lái)徑直走出大門，試問阿光安裝的監(jiān)控能否起作用？

（二）導(dǎo)入教學(xué)

王維《使至塞上》中有一句“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”，展現(xiàn)了一幅落日沉入黃河的畫面。教師可以利用多媒體展示夕陽(yáng)與河面的位置變化圖，并將夕陽(yáng)演化為圓，河面演化為直線，從而引出直線與圓的位置關(guān)系。

（三）引發(fā)思考

教師提出問題：“根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)情況，大家分析一下直線與圓有幾種位置情況?！?/p>

（四）交流探討

學(xué)生合作學(xué)習(xí)，在草稿本上畫圖分析，得出三種情況：

（1）直線與圓沒有交點(diǎn)。（2）直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)。（3）直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)。

通過(guò)學(xué)生的分析，教師引出圓相離、圓相切、圓相交的知識(shí)概念。

（五）結(jié)合課本圖4.2-1 的問題，回到最初設(shè)定的土樓監(jiān)控問題上

解決措施為：將土樓的院子模擬成圓形平面，以監(jiān)控中心為圓心，做x 軸與y 軸，并在x、y 軸上標(biāo)出阿光家與大門所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，以10 米為單位長(zhǎng)度。

則：監(jiān)控圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心O的方程為：x2+y2=25

小偷從阿光家到大門的徑直路線，即直線l 的方程為：6x+10y-60=0

即問題可以演化為圓心為O 的圓與直線l 有無(wú)公共點(diǎn)。

（六）課堂總結(jié)，練習(xí)鞏固

上述教學(xué)中，學(xué)生不僅掌握了直線與圓的位置關(guān)系，還擴(kuò)充了解了福建土樓的結(jié)構(gòu)特征，從而感受到傳統(tǒng)民間建筑的智慧與魅力。

二、中國(guó)古代貨幣與高中數(shù)學(xué)的融合

古代貨幣是政治與經(jīng)濟(jì)的重要象征。圓形方孔錢是融合古人“天圓地方”的思想而設(shè)計(jì)鑄造的。以明代方孔錢為元素，教師可將其融入概率的教學(xué)中。

【教學(xué)設(shè)計(jì)1】

教學(xué)內(nèi)容：古典概型的概率計(jì)算。

教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境問題

假如你穿越到了明朝永樂年間，并被當(dāng)朝某紈绔貴公子囚禁，他讓你做一個(gè)游戲，贏了便放你走。該紈绔拿來(lái)一個(gè)錢袋，里面裝有10 枚方孔錢，5 枚洪武通寶，5 枚永樂通寶。規(guī)定你一次抓2 枚錢，若2 枚都是永樂通寶，則放你走，否則你將繼續(xù)被囚禁。并且為了防止你摸出兩種錢的不同，改用夾子去夾。那么，你被放走的希望大不大？

（二）概念導(dǎo)入

經(jīng)過(guò)基本事件概念的學(xué)習(xí)，教師提問：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合例子闡述一下什么是基本事件。有什么特點(diǎn)？”

1.從 w、o、r、k 中任選兩個(gè)字母的基本事件。

2.擲兩枚硬幣的基本事件。

3.有 5 枚普洱茶塊，分量分別是 2 克、3 克、4 克、5克、6 克，任取三塊的基本事件。

（三）引發(fā)思考

教師設(shè)定問題：“這三個(gè)例子的共同點(diǎn)有哪些？”

（四）交流探究

學(xué)生相互交流，合作學(xué)習(xí)，在教師的指導(dǎo)下引出古典概型的概念。

（五）回到最初方孔錢的問題，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，求出夾到兩枚錢皆為永樂通寶的概率

（六）總結(jié)課堂，練習(xí)題鞏固

【教學(xué)設(shè)計(jì)2】

教學(xué)目標(biāo)：掌握幾何概型的概率計(jì)算公式。

教學(xué)過(guò)程：

（一）結(jié)合古典概型的情境問題，繼續(xù)創(chuàng)設(shè)新問題

你獲得了勝利，紈绔準(zhǔn)備放你走，不料卻無(wú)意發(fā)現(xiàn)你是一名暗器高手，最擅長(zhǎng)使用銀針。于是紈绔向你提出一個(gè)問題，他告訴你手中永樂通寶的尺寸，讓你估算出中間方孔的面積，估算結(jié)果接近了就放你走。你作為現(xiàn)代人，經(jīng)過(guò)換算，得出永樂通寶的直徑為2.4 厘米。你將選擇什么方法來(lái)估算中間方孔的面積？

（二）課堂實(shí)驗(yàn)，引出幾何概型的特點(diǎn)及概率計(jì)算公式

教師按照課本圖3.3-1 制作兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，讓兩名學(xué)生進(jìn)行課本上的游戲?qū)嶒?yàn)。

（三）延伸思考

教師提出以下問題：

1.在區(qū)間［1，8］上任取一個(gè)整數(shù)，恰好取在區(qū)間［1，4］上的概率為多少？

2.在區(qū)間［1，8］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，恰好取在區(qū)間［1，4］上的概率為多少？

（四）交流學(xué)習(xí)

學(xué)生通過(guò)交流探討，得出幾何概型的概率計(jì)算公式。

（五）回到最初估算永樂通寶中間方孔面積的問題

可采取的方法為：

1.用銀針投擲洪武通寶10 次，結(jié)果6 次投中方孔中心。

2.已知錢的直徑為2.4 厘米，則錢幣總面積約等于4.5 厘米；設(shè)方孔面積為S，結(jié)合幾何概型的概率計(jì)算公式，可得：6/10=S/4.5，解得 S≈2.7（厘米）。

上述教學(xué)中，學(xué)生既掌握了概率方面的知識(shí)，又了解了古代貨幣的樣式、特征，從而實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)文化知識(shí)的普及和拓展。

三、古代數(shù)學(xué)題與現(xiàn)代數(shù)學(xué)解法融合

古代數(shù)學(xué)題中包含很多傳統(tǒng)元素以及傳統(tǒng)數(shù)學(xué)計(jì)算思路，教師可以將古代數(shù)學(xué)題與現(xiàn)代解題方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)元素與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的融合。

【教學(xué)設(shè)計(jì)1】

教學(xué)目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的計(jì)算公式。

教學(xué)過(guò)程：

（一）結(jié)合古代數(shù)學(xué)題創(chuàng)設(shè)問題情境

教師在多媒體顯示屏上展示經(jīng)典的古代數(shù)學(xué)問題：今有女善織，日益功疾。初日織五尺，今一月織九匹三丈。問日益幾何？

據(jù)《孫子算經(jīng)》可知一匹為四丈，一丈為十尺，一月三十天。

（二）搭建支架一

1.教師列出公式［an=a1+（n-1）d］，提問：“大家看一下這是什么公式？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是之前學(xué)過(guò)的內(nèi)容，回答：“通項(xiàng)公式?！?/p>

教師繼續(xù)提問：“假設(shè)現(xiàn)在我要將等差數(shù)列的各個(gè)項(xiàng)相加，大家猜一猜會(huì)得到什么樣的結(jié)果？”學(xué)生開始猜想假設(shè)。

2.教師引入新問題：“德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)在很短的時(shí)間內(nèi)對(duì)1 至100 的自然數(shù)完成了求和，大家猜一猜他是如何做到的？”學(xué)生經(jīng)過(guò)分析，向老師簡(jiǎn)單敘述解題過(guò)程。

3.教師提問：“現(xiàn)在我們把這個(gè)問題演化成對(duì)自然數(shù)1 至n 的求和，會(huì)得到什么結(jié)果？”

（三）交流學(xué)習(xí)

學(xué)生通過(guò)交流后繼續(xù)沿用高斯的首尾相加，即：

第一項(xiàng)+倒數(shù)第一項(xiàng)得到：1+n

第二項(xiàng)+倒數(shù)第二項(xiàng)得到：2+（n-1）=n+1

第三項(xiàng)+倒數(shù)第三項(xiàng)得到：3+（n-2）=n+1

…

第 n 項(xiàng) + 倒數(shù)第 n 項(xiàng)得到：n+［n-（n-1）］=n+1

從而得到 1+2+3+…+n=（n+1）×n/2

（四）搭建支架二

教師提問：“假設(shè)等差數(shù)列｛an｝前n 項(xiàng)和為Sn，Sn=a1+a2+a3…+an，當(dāng)公差數(shù)為 d 時(shí)，推算一下｛an｝前 n 項(xiàng)和的公式。”

（五）交流探討

學(xué)生協(xié)作學(xué)習(xí)，交流、分析、探討，在教師輔助下得出：

Sn=n（a1+an）/2

帶入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，則為：

Sn=na1+n（n-1）/2×d

（六）回到最初的古代數(shù)學(xué)題，套用現(xiàn)代等差數(shù)列求和公式解決“日益幾何”的問題

即：設(shè)第n 日織的布為 an，前Sn日織布總數(shù)為Sn=a1+a2+a3+…+an，織布量公差為 d，已知 a1=5，S30=390，根據(jù)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和，則：

390=30×5+30×29/2×d，

解得 d=16/29（尺）。

（七）總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，課堂練習(xí)鞏固

【教學(xué)設(shè)計(jì)2】

教學(xué)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的公式。

教學(xué)過(guò)程：

（一）結(jié)合古代數(shù)學(xué)題創(chuàng)設(shè)問題情境

教師在多媒體顯示屏展示《算法統(tǒng)宗》中的問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，請(qǐng)問各層幾盞燈？

（二）搭建支架

1.回顧前幾節(jié)課所學(xué)的等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的倒序相加法，即第一項(xiàng)與倒數(shù)第一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)相加……

2.結(jié)合課本中國(guó)王賞麥的故事，將問題演化成如何求等比數(shù)列前64 項(xiàng)的和。學(xué)生結(jié)合故事中棋盤上放麥粒的規(guī)律，得到：S64=1+2+22+23+…+263。

3.結(jié)合上述問題，教師引出本節(jié)內(nèi)容，即等比數(shù)列｛an｝的前 n 項(xiàng)和公式，提出問題：“假設(shè)等比數(shù)列｛an｝前n 項(xiàng)和為Sn，第一項(xiàng)為a1，則其前n 項(xiàng)和為多少？”

（三）交流學(xué)習(xí)

學(xué)生結(jié)合已掌握的知識(shí)，展開合作學(xué)習(xí)，在草稿本上假設(shè)、推演，在教師的指導(dǎo)下得出結(jié)果為：

Sn=a（11-qn）/1-q（q≠1），又因?yàn)閍1=qn-1，所以該公式還可以寫為：

Sn=a1-anq/1-q（q≠1）；

（四）回到最初的古代塔燈問題，套用現(xiàn)代等比數(shù)列前n 項(xiàng)求和公式

即設(shè)第n 層有an盞燈，共Sn盞燈，已知公比q=2，S7=381，則

381=a（11-27）/1-2，解得a1=3，所以，第n 層燈數(shù)為an=3×2n-（1盞）。

上述教學(xué)中，通過(guò)古代數(shù)學(xué)問題，引出現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受古代數(shù)學(xué)思維與現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維的對(duì)比，從而引發(fā)思維碰撞，感受古人智慧的同時(shí)提高思考能力。