徐逸群，張邦寧，張曉凱，郭道省

(陸軍工程大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007)

0 引言

無(wú)線環(huán)境地圖(Radio Environment Map，REM)能夠?yàn)檎J(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)提供多域環(huán)境信息和先驗(yàn)知識(shí)[1-2]，可以用于解決網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、干擾協(xié)調(diào)、功率控制和動(dòng)態(tài)頻譜接入等問(wèn)題。REM構(gòu)建的基本任務(wù)是從空間離散分布的頻譜感知設(shè)備獲取的無(wú)線電監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，推理沒(méi)有感知節(jié)點(diǎn)位置的信號(hào)強(qiáng)度。

現(xiàn)有研究中REM構(gòu)建的算法主要有近鄰(Nearest Neighbor，NN)插值法、逆距離加權(quán)近鄰(Inverse Distance Weighted Nearest Neighbor，IDW-NN)插值法[3-5]和基于空間統(tǒng)計(jì)學(xué)的克里金(Kriging)插值法[3,5-10]。其中，NN和IDW-NN沒(méi)有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論支持，但是算法的實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，易于理解且計(jì)算量較??；克里金算法有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，保證了其最佳線性無(wú)偏性，但該算法基于平穩(wěn)性假設(shè)，即感知數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性僅僅與2點(diǎn)之間的距離相關(guān)，該假設(shè)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的極大簡(jiǎn)化。這些構(gòu)建算法都沒(méi)有考慮復(fù)雜環(huán)境對(duì)電波傳播的影響。

近年來(lái)，群智頻譜感知(Crowd-sourced Spectrum Sensing，CSS)技術(shù)受到廣范關(guān)注[11-12]，該技術(shù)利用現(xiàn)有移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)中的移動(dòng)通信終端來(lái)執(zhí)行頻譜感知任務(wù)。NN能夠提供海量數(shù)據(jù)，如何從這些數(shù)據(jù)中提取有用信息，提升REM構(gòu)建的準(zhǔn)確性，值得深入研究。

REM構(gòu)建的準(zhǔn)確性，受到2個(gè)重要因素的制約：一是所研究的環(huán)境的復(fù)雜性，復(fù)雜的地形地物對(duì)電波傳播的影響較大，待估計(jì)位置的信號(hào)與已測(cè)量位置的信號(hào)之間的相關(guān)性受到不同環(huán)境的影響呈現(xiàn)出空間異構(gòu)的相互關(guān)系；二是采集數(shù)據(jù)的位置和數(shù)據(jù)量，一方面需要更多的數(shù)據(jù)以提升準(zhǔn)確性，另一方面在實(shí)際監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，采集更多數(shù)據(jù)帶來(lái)額外的系統(tǒng)開(kāi)銷，提升了數(shù)據(jù)處理分析難度。因此，需對(duì)數(shù)據(jù)采集的位置進(jìn)行優(yōu)化，在提升準(zhǔn)確率的同時(shí)盡可能減少冗余數(shù)據(jù)。

本文提出一種新穎的基于變換核高斯回歸模型的REM構(gòu)建算法，該算法以高斯過(guò)程(Gaussian Processes，GP)為基本框架，考慮了環(huán)境異構(gòu)性對(duì)REM構(gòu)建的影響，能夠從群智感知數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)環(huán)境異構(gòu)性信息。此環(huán)境異構(gòu)性信息是進(jìn)行空間數(shù)據(jù)選擇的重要前提，因此在所提模型基礎(chǔ)上，利用獲取的空間異構(gòu)性信息，提出了2種無(wú)線電頻譜監(jiān)測(cè)空間選點(diǎn)方案，進(jìn)一步提升REM構(gòu)建的準(zhǔn)確性，并通過(guò)數(shù)據(jù)選擇降低系統(tǒng)開(kāi)銷和數(shù)據(jù)冗余。

1 系統(tǒng)模型和問(wèn)題描述

1.1 系統(tǒng)模型

對(duì)某二維平面空間內(nèi)群智感知設(shè)備的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，不失一般性，假設(shè)此二維平面區(qū)域?yàn)? km×1 km的范圍。區(qū)域內(nèi)的感知設(shè)備將其位置和測(cè)量的接收信號(hào)強(qiáng)度上報(bào)給融合中心。

REM構(gòu)建的主要任務(wù)是推理沒(méi)有感知設(shè)備位置的信號(hào)強(qiáng)度，進(jìn)而繪制該區(qū)域的功率譜密度圖。在實(shí)際信號(hào)強(qiáng)度測(cè)量過(guò)程中，采用長(zhǎng)期測(cè)量的方法以消除小尺度衰落和噪聲的影響，得到的平均接收信號(hào)強(qiáng)度可分解為3個(gè)部分，分別為自由空間傳播路徑損耗、陰影效應(yīng)和測(cè)量設(shè)備導(dǎo)致的誤差，如式(1)所示：

(1)

式中，Pt為發(fā)送功率；d0為參考單位距離；λ為波長(zhǎng)；η為自由空間傳播損耗因子；Lt為信號(hào)源位置；lj為第j個(gè)感知設(shè)備的位置；Sj為信號(hào)源至第j個(gè)感知設(shè)備的陰影衰落分量；Nj為第j個(gè)感知設(shè)備的測(cè)量誤差。

1.2 問(wèn)題描述

自由空間傳播損耗可以通過(guò)鏈路計(jì)算得到，因此REM構(gòu)建的困難在于陰影效應(yīng)引起的電波傳播變化。在無(wú)線通信系統(tǒng)中，考察單個(gè)接收點(diǎn)的陰影效應(yīng)時(shí)，通常將其建模為一個(gè)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的變量。文獻(xiàn)[13]針對(duì)空間陰影效應(yīng)的空間相關(guān)性進(jìn)行了詳細(xì)的研究，通過(guò)將構(gòu)建的空間損耗場(chǎng)模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，證明了發(fā)射源相同而接收點(diǎn)接近時(shí)，空間陰影效應(yīng)有較強(qiáng)的相關(guān)性。有學(xué)者將這種相關(guān)性運(yùn)用于REM的構(gòu)建中[8-9]，以提升REM構(gòu)建的準(zhǔn)確性。

以前的研究中，空間相關(guān)陰影效應(yīng)被建模為一個(gè)各向同性且平穩(wěn)的過(guò)程，此假設(shè)可以等同為假設(shè)電波在空間中傳播受到的影響是相同的，即傳播環(huán)境是勻質(zhì)性的。而實(shí)際上，電波傳播環(huán)境十分復(fù)雜，特別是在城市區(qū)域，由于信號(hào)傳播的陰影效應(yīng)影響，不同位置數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性不僅僅取決于二者之間的距離。復(fù)雜的環(huán)境提升了空間推理的難度，由于環(huán)境的異構(gòu)性，要提升REM構(gòu)建的準(zhǔn)確性，應(yīng)將空間內(nèi)陰影效應(yīng)分量建模為各向異性和非平穩(wěn)的過(guò)程。本文研究的算法旨在表征環(huán)境的異構(gòu)性，以進(jìn)一步提升空間頻譜推理的準(zhǔn)確性。

此外，由于數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性，某一點(diǎn)的數(shù)據(jù)可以提供其臨近點(diǎn)的信息。從信息熵的角度考慮，在空間內(nèi)每增加一個(gè)感知節(jié)點(diǎn)，即可降低該區(qū)域的不確定性。然而，當(dāng)區(qū)域內(nèi)感知節(jié)點(diǎn)密集到一定程度時(shí)，新增節(jié)點(diǎn)提供的信息熵越來(lái)越小，增加感知節(jié)點(diǎn)的性價(jià)比逐漸降低。同時(shí)，由于環(huán)境的非勻質(zhì)性，在某些地形、地物環(huán)境不太復(fù)雜的區(qū)域內(nèi)，只需要少量的感知設(shè)備即可表征該區(qū)域內(nèi)的信息；而在地形、地物環(huán)境較為復(fù)雜的區(qū)域內(nèi)，則需要布置更多的感知設(shè)備。由于空間環(huán)境的復(fù)雜性，實(shí)際應(yīng)用中，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的空間位置也會(huì)對(duì)REM構(gòu)建結(jié)果產(chǎn)生影響。因此，應(yīng)根據(jù)環(huán)境異構(gòu)性信息設(shè)計(jì)相應(yīng)的頻譜監(jiān)測(cè)設(shè)備的選點(diǎn)方案。

2 變換核高斯回歸模型

REM構(gòu)建的本質(zhì)是一個(gè)復(fù)雜的回歸任務(wù)，而GP由于其靈活性，特別適用于此類任務(wù)。作為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的一個(gè)重要工具，GP近來(lái)年得到了廣泛的研究[14-18]。

GP回歸參數(shù)的訓(xùn)練通過(guò)最大化邊際似然函數(shù)來(lái)完成。邊際似然函數(shù)表示為：

N(y|0,Σθ),

(2)

則負(fù)邊緣對(duì)數(shù)似然函數(shù)(Negative Log Marginal Likelihood，NLML)表示為：

L(θ)=-lnp(y|X,θ)=

(3)

式中，det(·)表示矩陣的行列式。

GP訓(xùn)練過(guò)程被構(gòu)建為下列非凸優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

通常，使用基于梯度下降的優(yōu)化算法，尋找NLML的最優(yōu)解。

GP的核函數(shù)隱含了關(guān)于建模的函數(shù)f所屬類別的假設(shè)[17]，等同于學(xué)習(xí)算法中的“歸納偏好”。在此意義上，關(guān)于模型的先驗(yàn)知識(shí)，可以通過(guò)GP的核函數(shù)嵌入到GP回歸模型中。有一些常用的基礎(chǔ)核函數(shù)，如線性核函數(shù)、徑向基函數(shù)核函數(shù)、周期核函數(shù)、Matern核函數(shù)和譜混合核函數(shù)等[18]。核函數(shù)的設(shè)計(jì)和選擇對(duì)GP回歸模型的性能有很大的影響。例如，線性核函數(shù)推斷出的模型函數(shù)f為線性函數(shù)，周期核函數(shù)推斷出的模型函數(shù)f具有周期化的結(jié)構(gòu)。

Wilson提出的深度核學(xué)習(xí)(Deep Kernel Learning,DKL)將深度架構(gòu)的表示能力封裝到GP中，具有利用數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)核函數(shù)的能力。DKL從一個(gè)參數(shù)為θ的基本核函數(shù)k(xi,xj|θ)開(kāi)始，利用權(quán)重參數(shù)為w的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Deep Neural Network，DNN)對(duì)原輸入進(jìn)行非線性變換，將基礎(chǔ)核函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

k(xi,xj|θ)→k(h(xi,w),h(xj,w)|θ,w)，

(5)

式中，h(·)為DNN的非線性變換。DKL大幅度提升了GP的表示能力，并通過(guò)優(yōu)化GP的邊際似然函數(shù)為核函數(shù)提供自動(dòng)學(xué)習(xí)功能。但是，在某些情況下，DKL算法的穩(wěn)定性較差，GP會(huì)嘗試?yán)肈NN的靈活性在所有的輸入數(shù)據(jù)之間建立相關(guān)性，同時(shí)DKL中的DNN容易產(chǎn)生過(guò)擬合[19]。

在GP中引入非平穩(wěn)性的一種方法是引入一個(gè)非線性變換h(x)，將空間D中的輸入x變換到一個(gè)新的空間D′中[14]。在DKL中，DNN是用于變換輸入空間的非線性變換，且該線性變換由DNN的權(quán)重參數(shù)表征。然而，在空間頻譜推理問(wèn)題中，模型的輸入是感知設(shè)備的位置信息，所表示的空間是實(shí)際的物理空間。用DNN對(duì)該空間進(jìn)行非線性變換易引起空間折疊效應(yīng)，不適用于本節(jié)研究問(wèn)題中的物理量。因此，DKL雖然有強(qiáng)大的表示力和從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)核函數(shù)的能力，但不適用于REM構(gòu)建問(wèn)題。

受到DKL的優(yōu)缺點(diǎn)的啟發(fā)，解決REM構(gòu)建問(wèn)題應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)具有以下特性的非線性變換：

① 非線性變換能夠通過(guò)一些參數(shù)來(lái)表征，通過(guò)變化參數(shù)值可以改變非線性變化的形態(tài)，以使其具有一定的表示能力，可以靈活地表示各向異性和非平穩(wěn)性；

② 非線性變換應(yīng)是單射，具有拓?fù)渫咝裕瑥亩粫?huì)引起空間折疊效應(yīng)。

通過(guò)設(shè)計(jì)3種簡(jiǎn)單的具有上述特性的非線性變換，并將這3種簡(jiǎn)單的非線性變換組合起來(lái)，可以構(gòu)造一個(gè)靈活的非線性變換來(lái)表征空間異質(zhì)性。下文將詳細(xì)說(shuō)明這3種變換。

為了清楚表述，某一點(diǎn)在二維空間的位置表示為s=(s1,s2)；α,β和γ表示非線性變換的超參數(shù)，超參數(shù)的值在模型設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)具體研究問(wèn)題的范圍和復(fù)雜度選擇確定；用w和w，或二者加下標(biāo)表示的權(quán)重參數(shù)決定非線性變換的具體形態(tài)，權(quán)重參數(shù)的取值在模型訓(xùn)練過(guò)程從感知數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)獲得。

2.1 坐標(biāo)軸變換單元

坐標(biāo)軸變換單元(Axial Transformation Unit，ATU)是指對(duì)多維數(shù)據(jù)的其中一個(gè)維度(即其中一個(gè)坐標(biāo)軸)進(jìn)行獨(dú)立的非線性變換，通過(guò)一下步驟實(shí)現(xiàn)：

① 以二維空間為例，將輸入數(shù)據(jù)的位置坐標(biāo)信息歸一化至[0,1]或[-1,0]，為方便區(qū)分，可以將橫軸歸一化至[0,1]，縱軸歸一化至[-1,0]。

② 對(duì)某個(gè)維度的ATU通過(guò)一系列基函數(shù)φ(sk)的加權(quán)和來(lái)實(shí)現(xiàn)，ATU的基函數(shù)如圖1(a)所示，分別對(duì)2個(gè)維度進(jìn)行坐標(biāo)軸變換的示例如圖1(b)和圖1(c)所示。其中，第一個(gè)基函數(shù)斜率為1的線性變換函數(shù)φ1(sk)=sk，其余基函數(shù)為平移的Sigmoid函數(shù)：

(a)ATU的基函數(shù)

(6)

式中，參數(shù)αi1決定了Sigmoid函數(shù)的梯度；αi2決定了Sigmoid函數(shù)的偏移位置；r為Sigmoid函數(shù)的數(shù)量，決定了在[0,1]內(nèi)非線性變換的分辨率，該分辨率也決定了非線性變換的表示能力，當(dāng)環(huán)境較為復(fù)雜、局部特征較多時(shí)，可以增大該分辨率，用更多的Sigmoid函數(shù)構(gòu)成非線性變換。

③ 將變換后的值歸一化至[0,1]或[-1,0]。

由于Sigmoid函數(shù)的單調(diào)性，如果將所有權(quán)重參數(shù)限制為正值，則可以保證ATU是由[0,1]→[0,1]或[-1,0]→[-1,0]的單射非線性變換，且該變化具有一定的靈活性，可以通過(guò)權(quán)重參數(shù)控制變換的具體形態(tài)。維度1的ATU計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中表示歸一化。

圖2 維度1的ATU計(jì)算結(jié)構(gòu)

綜上，將對(duì)輸入向量的第k維的ATU定義為：

(7)

(8)

式中，

(9)

2.2 徑向基函數(shù)變換單元

徑向基函數(shù)變換單元(Radial Basis Function Transformation Unit，RBFTU)是對(duì)原空間局部擴(kuò)展或者壓縮，該變換定義為:

fr(s;wr,β,γ)=s+wr(s-γ)e-β‖s-γ‖,

(10)

式中，超參數(shù)γ=(γ1,γ2)是局部擴(kuò)張或者壓縮的中心點(diǎn)；超參數(shù)β可以控制局部擴(kuò)展或者壓縮的邊界；權(quán)重參數(shù)wr決定擴(kuò)張或者壓縮的程度。若將權(quán)重參數(shù)wr限制在(-1,e3/2/2)，則可確保該變換為單射[20]。RBFTU的計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 RBFTU的計(jì)算結(jié)構(gòu)

中心位置在(0.25,-0.125)的RBFTU示例如圖4(a)所示，通過(guò)選擇不同的超參數(shù)γ和β，并將不同的RBFTU級(jí)聯(lián)在一起，可以構(gòu)造整個(gè)空間范圍內(nèi)不同局部壓縮和擴(kuò)張的非線性變換，如圖 4(b)所示。研究環(huán)境較復(fù)雜時(shí)，可以增加級(jí)聯(lián)的RBFTU的分布密度。

(a)單個(gè)徑向基函數(shù)變換的影響區(qū)域范圍

2.3 莫比烏斯變換單元

莫比烏斯變換是在復(fù)平面上的一對(duì)一的可以映射到自身的保角變換[21]。令z=s1+s2j,(j2=-1)，莫比烏斯變換單元(Mobius Transformation Unit，MTU)可以定義為：

fm(s;wm)=(R[gm(z)],I[gm(z)]),

(11)

式中，

(12)

a,b,c,d是滿足ad-bc≠0的復(fù)數(shù)。MTU的權(quán)重參數(shù)為：

wm=[R(a),I(a),R(b),I(b),R(c),I(c),

R(d),I(d)]。

(13)

MTU的計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 MTU的計(jì)算結(jié)構(gòu)

MTU變換一個(gè)二維空間D2=[0,1]×[0,1]內(nèi)的一個(gè)正方形棋盤形狀的示例如圖6所示。從式(12)可以推導(dǎo)出gm(-d/c)=∞，因此，為了確保D2內(nèi)的點(diǎn)不會(huì)映射至∞，必須將-d/c限制在復(fù)平面上由點(diǎn)[0+0j,0+1j,1+1j,1+0j]包圍的區(qū)域內(nèi)。

圖6 MTU示例

上述3種基本變換單元都滿足本節(jié)提出的2種基本性質(zhì)，可以作為構(gòu)建二維空間內(nèi)的復(fù)雜非線性單射同胚變換的基本模塊?？梢愿鶕?jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景的不同，設(shè)計(jì)并選擇這些變換的不同組合對(duì)原空間內(nèi)的核函數(shù)進(jìn)行變換。同時(shí)，所有的權(quán)重參數(shù)：

(14)

可以與GP的基礎(chǔ)核函數(shù)的參數(shù)一起，通過(guò)最小化GP的NLML，從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)得到參數(shù)的具體取值。

變換核高斯回歸(Transformed Kernel Gaussian Process Regression，TKGPR)模型如圖7所示。構(gòu)建的TKGPR模型包含維度1的ATU、維度2的ATU、一系列的RBFTU的級(jí)聯(lián)和一個(gè)MTU，這些基礎(chǔ)變換一起構(gòu)建出對(duì)原始二維空間的單射非線性變換，最后，將變換后的結(jié)果輸入GP得到輸入點(diǎn)的信號(hào)強(qiáng)度的概率分布。

圖7 TKGPR模型

組合成的非線性變換可以用復(fù)合函數(shù)表示為：

(15)

從僅有參數(shù)σ2和l的基礎(chǔ)核函數(shù)：

(16)

開(kāi)始，用非線性變換轉(zhuǎn)換原始核函數(shù)：

k(si,sj;σ,l)→k(h(si;W),h(sj;W);σ,l,W),

(17)

式中，h(s;W)為由參數(shù)W決定的合成的非線性映射。

將此算法命名為變換核學(xué)習(xí)(Transformed Kernel Learning，TKL)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)研究區(qū)域的情況選擇基本變換的組合方式以及每個(gè)基本變換單元的超參數(shù)的數(shù)量，使得模型的復(fù)雜度與待研究區(qū)域內(nèi)環(huán)境的復(fù)雜度相一致。

3 兩種基于TKGPR模型的分布式頻譜監(jiān)測(cè)空間選點(diǎn)算法

使用群智感知數(shù)據(jù)進(jìn)行REM構(gòu)建主要存在以下幾點(diǎn)問(wèn)題：① 群智感知終端是利用用戶移動(dòng)通信設(shè)備進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，設(shè)備能力較弱、數(shù)據(jù)精確度不高；② 大量群智感知設(shè)備提供了大量的冗余數(shù)據(jù)，在模型訓(xùn)練階段大量的數(shù)據(jù)可以更好地訓(xùn)練GP模型，而在REM預(yù)測(cè)階段冗余數(shù)據(jù)提供的信息量有限，帶來(lái)了數(shù)據(jù)處理的計(jì)算壓力；③ 由于用于終端運(yùn)行感知任務(wù)會(huì)帶來(lái)額外的電量消耗，用戶不愿意長(zhǎng)期運(yùn)行于數(shù)據(jù)感知狀態(tài)，雖然有學(xué)者針對(duì)群智感知設(shè)備的運(yùn)行成本進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，但利用大量用戶長(zhǎng)期進(jìn)行感知還是會(huì)產(chǎn)生額外的經(jīng)濟(jì)消耗。

針對(duì)上述問(wèn)題，本節(jié)研究的場(chǎng)景為：在模型訓(xùn)練階段，通過(guò)利用N個(gè)群智感知節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)結(jié)合TKGPR模型獲取當(dāng)前研究區(qū)域內(nèi)的環(huán)境異構(gòu)性信息，即該區(qū)域內(nèi)的變換核函數(shù)參數(shù)。由于區(qū)域內(nèi)的地形、地物短時(shí)間內(nèi)變化較小，可以近似為不變。因此，估計(jì)出的變換核函數(shù)參數(shù)可以繼續(xù)用于REM的構(gòu)建過(guò)程。在構(gòu)建階段，考慮采用2種方式：一種是設(shè)置專用的頻譜采集設(shè)備獲取更高精度的測(cè)量數(shù)據(jù)，在此區(qū)域內(nèi)布置k(k?N)個(gè)專用的監(jiān)測(cè)節(jié)點(diǎn)以取代群智監(jiān)測(cè)的方法；另一種是在大量群智感知中選擇k(k?N)個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)用于空間推理，獲取實(shí)時(shí)的REM狀態(tài)，以降低數(shù)據(jù)獲取成本和需處理的數(shù)據(jù)量。

本節(jié)提出2種基于TKGPR模型的頻譜監(jiān)測(cè)空間選點(diǎn)算法，分別為基于貪婪算法的互信息最大化(Greedy-based Mutual Information Maximum，GMIM)空間選點(diǎn)算法和基于變分推斷(Variational Inference，VI)的空間選點(diǎn)算法。

2種選點(diǎn)算法同樣基于GP，GMIM利用GP模型的核函數(shù)進(jìn)行選點(diǎn)，將訓(xùn)練產(chǎn)生的核函數(shù)作為算法的輸入條件。GMIM算法流程如圖8所示。VI算法是通過(guò)改變GP回歸模型的優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行選點(diǎn)，將TKGPR模型訓(xùn)練過(guò)程和空間選點(diǎn)過(guò)程結(jié)合起來(lái)，以證據(jù)下界(Evidence Lower Bound，ELBO)作為算法優(yōu)化目標(biāo)以自動(dòng)完成空間選點(diǎn)，基于VI的選點(diǎn)算法流程如圖9所示。下面詳細(xì)闡述2種空間選點(diǎn)算法。

圖8 GMIM算法流程

圖9 基于VI的選點(diǎn)算法流程

3.1 基于貪婪算法的互信息最大化空間選點(diǎn)算法

首先，將研究區(qū)域網(wǎng)格狀離散化，并將選點(diǎn)問(wèn)題定義為：在R2空間內(nèi)的有限大小的子集V內(nèi)選取k個(gè)最優(yōu)的位置，其中V為離散化得到的可能選擇的位置，假設(shè)選擇的最優(yōu)的k個(gè)點(diǎn)組成集合A，則沒(méi)有感知設(shè)備的點(diǎn)表示為VA。網(wǎng)格狀離散化點(diǎn)集示意如圖10所示，空間離散化的所有點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集V，紅色點(diǎn)為點(diǎn)集A，藍(lán)色點(diǎn)為點(diǎn)集VA。

圖10 網(wǎng)格狀離散化點(diǎn)集示意

將空間選點(diǎn)的優(yōu)化目標(biāo)定義為選擇的k個(gè)點(diǎn)能夠盡可能預(yù)測(cè)沒(méi)有感知節(jié)點(diǎn)位置處的數(shù)據(jù)，即尋找一個(gè)A*能夠最大程度降低沒(méi)有感知設(shè)備位置處數(shù)據(jù)的熵：

(18)

式中，H(·)為隨機(jī)變量的熵。式(18)等同于最大化點(diǎn)集A處的隨機(jī)變量和點(diǎn)集VA處隨機(jī)變量的互信息量I(yA;yVA)，為簡(jiǎn)化表示，定義選擇點(diǎn)集A后的互信息量為：

MI(A)=I(yA;yVA)。

(19)

對(duì)互信息量進(jìn)行優(yōu)化是一個(gè)NP-完全問(wèn)題，無(wú)法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到最優(yōu)解，因此，考慮采用貪婪算法逐個(gè)增加監(jiān)測(cè)點(diǎn)以獲取此問(wèn)題的次優(yōu)解。假設(shè)下一個(gè)選取的點(diǎn)為z，最大化增加該點(diǎn)后提升的互信息量：

MI(A∪z)-MI(A)=H(yA∪z)-H(yA∪z|yV(A∪z))-

[H(yA)-H(yA|yVA)]=

H(yA∪z)-H(yV)+H(yV(A∪z))-

[H(yA)-H(yV)+H(yVA)]=

H(yz|yA)-H(yz|yV(A∪z))。

(20)

(21)

基于貪婪算法的互信息最大化監(jiān)測(cè)設(shè)備選點(diǎn)算法如算法1所示。

算法1:基于貪婪算法的互信息最大化監(jiān)測(cè)點(diǎn)選擇算法輸入:協(xié)方差矩陣ΣVV,監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)目k,可選位置集合V輸出:選擇的監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置集合A1:將集合A設(shè)置為空集?2:for j=1→k do3: for z∈VA do 4: δz←σ2z-ΣzAΣAAAA-1ΣAzσ2z-ΣzA-ΣA-A--1ΣA-z5: end for6: z?←argmax7: A←A∪z?8:end for

3.2 基于變分推斷的空間選點(diǎn)算法

在研究空間內(nèi)需要選擇M個(gè)點(diǎn)，假設(shè)這些選擇的測(cè)量點(diǎn)組成的向量為：

Z=[z1,z2,…,zM]，

(22)

這M個(gè)點(diǎn)的取值可以表示為：

u=f(Z)。

(23)

為了使從這M個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)得出的高斯過(guò)程f的后驗(yàn)分布盡可能接近利用所有的數(shù)據(jù)得到后驗(yàn)分布，假設(shè)qφ,θ(f)為通過(guò)數(shù)據(jù)(Z，u)得出的f的后驗(yàn)概率分布，φ為引入的變分參數(shù)，該參數(shù)包括分布qφ,θ(f)的均值、方差，以及M個(gè)點(diǎn)的位置信息。為了使得qφ,θ(f)盡可能接近利用所有數(shù)據(jù)獲取的后驗(yàn)概率分布，使用KL散度表征其與所有數(shù)據(jù)的后驗(yàn)概率分布pθ(f|y,X)的距離：

KL(qφ,θ(f)‖pθ(f))-lnpθ(y|X)。

(24)

調(diào)整式(24)兩邊各項(xiàng)位置可得：

KL(qφ,θ(f)‖pθ(f))，

(25)

式(25)左邊第1項(xiàng)為GP的對(duì)數(shù)邊緣似然函數(shù)(Log Marginal Likelihood，LML)，第2項(xiàng)為從m個(gè)數(shù)據(jù)得到的f的后驗(yàn)概率分布與所有數(shù)據(jù)得到的f的后驗(yàn)概率分布的KL散度；式右側(cè)定義為ELBO[14]。由于KL散度的取值為非負(fù)值，當(dāng)：

qφ,θ(f)=pθ(f|y,X)，

(26)

時(shí)，左側(cè)的KL散度取值為0，ELBO的值等于對(duì)數(shù)邊緣似然分布，因此ELBO為L(zhǎng)ML的下界。在GP中，通常設(shè)置LML為優(yōu)化目標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化對(duì)數(shù)邊緣分布的下界，即：

(27)

(28)

式中，第I部分可以通過(guò)下列推導(dǎo)表示為：

(29)

因此，式(28)可表示為：

KL(qφ(u)‖pφ,θ(u))。

(30)

假設(shè)變分分布為多元高斯分布：

qφ(u)～N(μu,Suu)，

(31)

則式(30)右側(cè)可以用閉式表達(dá)式表示。同時(shí)，式(30)表明，可以使用批量梯度下降算法，完成模型的訓(xùn)練。在優(yōu)化ELBO的同時(shí)，可以得到TKGPR模型各個(gè)參數(shù)的取值，以及變分參數(shù)的取值，其中包括各個(gè)點(diǎn)的位置信息。

4 仿真結(jié)果和分析

4.1 REM構(gòu)建仿真

4.1.1 模型構(gòu)建

選擇TKGPR模型的超參數(shù)如下：2個(gè)ATU的分辨率取值都為20，級(jí)聯(lián)的RBFTU以9×9的方式均勻分布在二維空間內(nèi)，每個(gè)RBFTU的邊界與臨近RBFTU的中心點(diǎn)相交以確保變換對(duì)整個(gè)區(qū)域的覆蓋，選擇徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)為GP的基礎(chǔ)核函數(shù)。按此方法構(gòu)建的TKGPR模型有133個(gè)控制參數(shù)。每個(gè)ATU有21個(gè)參數(shù)，級(jí)聯(lián)的RBFTU共有81個(gè)參數(shù)，MTU有8個(gè)參數(shù)，RBF核函數(shù)有2個(gè)參數(shù)。在實(shí)際使用中，可以根據(jù)研究問(wèn)題的復(fù)雜度選擇構(gòu)建空間非線性變換的參數(shù)數(shù)量。

4.1.2 訓(xùn)練和推理過(guò)程

TKGPR模型的訓(xùn)練集為{X,y},X為群智感知設(shè)備的位置，y為接收信號(hào)強(qiáng)度。利用反向傳播算法進(jìn)行模型訓(xùn)練，并借助“PyTorch”用GPU加速訓(xùn)練模型訓(xùn)練過(guò)程。根據(jù)式(3)和式(17)，將TKGPR的NLML作為損失函數(shù)，可以表示為：

(32)

通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t得到參數(shù)的梯度：

(33)

最后，利用訓(xùn)練好的模型參數(shù)，可以得到無(wú)感知終端位置處的接收信號(hào)強(qiáng)度的預(yù)測(cè)分布。該預(yù)測(cè)分布不僅僅得到預(yù)測(cè)的結(jié)果，同時(shí)還提供了結(jié)果的不確定性度量，這是GP優(yōu)勢(shì)之一。

4.1.3 性能分析對(duì)比

在仿真分析中，模擬了區(qū)域?yàn)? km×1 km范圍內(nèi)180×180個(gè)點(diǎn)的陰影效應(yīng)分量，并選擇該區(qū)域內(nèi)均勻隨機(jī)分布的若干點(diǎn)作為群智感知設(shè)備的感知數(shù)據(jù)。利用感知數(shù)據(jù)，采用NN、IDWNN、普通克里金(Ordinary Kriging，OK)、GP和本節(jié)提出的TKL算法，恢復(fù)了該區(qū)域內(nèi)陰影效應(yīng)分量。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)NN和IDWNN算法參與計(jì)算的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量大約為20時(shí)，其估計(jì)性能較好，因此選擇鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)為20與其他算法進(jìn)行對(duì)比。OK算法的性能由選擇的變差函數(shù)形式?jīng)Q定，本文參考文獻(xiàn)[8]使用指數(shù)半變差函數(shù)。

使用500個(gè)群智感知設(shè)備，用不同算法恢復(fù)的區(qū)域內(nèi)的陰影效應(yīng)及真實(shí)陰影效應(yīng)的對(duì)比如圖 11所示，圖11(a)為群智感知設(shè)備的觀測(cè)值，圖11(b)為真實(shí)的陰影效應(yīng)分量，圖11(c)～圖11(g)分別為NN，IDWNN，OK，GP及本節(jié)提出的TKL算法的恢復(fù)結(jié)果，該圖提供了不同算法空間推理結(jié)果的直觀印象。

(a)測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)

進(jìn)一步，通過(guò)與實(shí)際陰影效應(yīng)分量進(jìn)行對(duì)比，用4個(gè)指標(biāo)衡量算法的性能，分別為均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)、連續(xù)分級(jí)概率評(píng)分(Continuous Ranked Probability Score，CRPS)[22]、正確檢測(cè)區(qū)域比例(Correct Detection Zone Ratio，CDZR)和虛警區(qū)域比例(False Alarm Zone Ratio，F(xiàn)AZR)[1]。

RMSE用于評(píng)估點(diǎn)估計(jì)的結(jié)果，CRPS將平均絕對(duì)誤差推廣至概率預(yù)測(cè)場(chǎng)景下，是一種廣泛應(yīng)用于當(dāng)預(yù)測(cè)結(jié)果為概率分布而觀測(cè)結(jié)果為確定值時(shí)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，可以理解為預(yù)測(cè)分布與在真實(shí)確定值點(diǎn)處的退化分布之間(單位階躍函數(shù))的平方積分距離：

(34)

不同算法RMSE和CRPS隨群智感知設(shè)備數(shù)量變化的曲線如圖 12和圖 13所示。

圖12 不同算法RMSE隨群智感知設(shè)備數(shù)量變化的曲線

圖13 不同算法CRPS隨群智感知設(shè)備數(shù)量變化的曲線

可以看出，GP和OK算法的RMSE大致相同，而GP有更好的CRPS。由于GP和OK算法都基于環(huán)境同質(zhì)性的假設(shè)，因此預(yù)測(cè)分布的平均值大致相同。當(dāng)群智傳感器的數(shù)量大于 400 時(shí)，所提出的 TKL算法優(yōu)于所有其他算法。TKL 算法可以從感知數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)環(huán)境信息，并將此信息隱含在非線性變換的參數(shù)中，為其準(zhǔn)確性提供了性能增益。當(dāng)群智感知設(shè)備的數(shù)量較少時(shí)，TKL算法性能較差，這是因?yàn)榫植繀^(qū)域內(nèi)的感知設(shè)備太少，導(dǎo)致算法無(wú)法捕捉到環(huán)境的異質(zhì)性。

CDZR和FAZR的對(duì)比分析如圖 14和圖 15所示，分別展示了不同算法的CDZR和FAZR隨研究區(qū)域內(nèi)群智感知數(shù)量變化的曲線。同樣，當(dāng)研究區(qū)內(nèi)的群智感知設(shè)備的數(shù)量超過(guò)400，算法可以捕捉到局部環(huán)境的異質(zhì)性時(shí)，提出的TKL算法的CDZR高于其他算法。TKL算法的FAZR略低于OK和GP算法，但若將FAZR和CDZR聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行評(píng)估，可以發(fā)現(xiàn)，算法以較小的FAZR損失換取了較大的CDZR的提升。這也符合認(rèn)知通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則，即避免對(duì)主用戶的影響比頻譜利用機(jī)會(huì)的提升更加重要。

圖14 不同算法CDZR隨群智感知設(shè)備數(shù)量變化的曲線

圖15 不同算法FAZR隨群智感知設(shè)備數(shù)量變化的曲線

同時(shí)，在模型訓(xùn)練過(guò)程中發(fā)現(xiàn)TKL算法不易過(guò)擬合，它保留了GP不易過(guò)擬合的固有特性[14]。另外，與DKL中的DNN不同，TKL算法中的非線性變換受限于幾種單射映射，增加了GPR模型的靈活性，而不會(huì)引起DKL中的病態(tài)效應(yīng)[19]。在這些算法中，TKL 的復(fù)雜度最高，但由于網(wǎng)絡(luò)和數(shù)據(jù)采集技術(shù)的發(fā)展，可以獲取的數(shù)據(jù)量呈爆炸式增長(zhǎng)，且計(jì)算機(jī)的算力也在不斷得到提升。因此，此類算法的實(shí)現(xiàn)成為可能，具有很好的應(yīng)用前景。

4.2 空間選點(diǎn)算法仿真結(jié)果和分析

4.2.1 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置

在GMIM算法中，需要從有限的點(diǎn)集內(nèi)選擇頻譜監(jiān)測(cè)點(diǎn)，因此將研究空間離散化為40×40的柵格狀點(diǎn)陣，作為待選擇的頻譜監(jiān)測(cè)點(diǎn)集V，從中選擇100個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)。在模型訓(xùn)練階段，使用2 000組群智感知數(shù)據(jù)，訓(xùn)練TKGPR模型，以獲取研究區(qū)域內(nèi)的1 600個(gè)柵格點(diǎn)的協(xié)方差矩陣，作為GMIM算法的輸入條件。

在VI算法中，使用同樣的2 000組群智感知數(shù)據(jù)，將待選點(diǎn)的初始位置設(shè)為10×10矩形柵格狀均勻分布的點(diǎn)，通過(guò)優(yōu)化ELBO在訓(xùn)練TKGPR模型的同時(shí)，優(yōu)化這100個(gè)點(diǎn)的位置變量。

區(qū)分2種應(yīng)用場(chǎng)景，將所提算法與均勻隨機(jī)選點(diǎn)進(jìn)行分析對(duì)比。2種應(yīng)用場(chǎng)景分別為：① 監(jiān)測(cè)點(diǎn)和待估計(jì)點(diǎn)為有限個(gè)離散點(diǎn)集時(shí)；② 監(jiān)測(cè)點(diǎn)選擇的自由度較高，而需要使得整個(gè)區(qū)域內(nèi)推理的平均誤差較低時(shí)。

對(duì)5種情況進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，分別為：

① GMIM算法選擇點(diǎn)集A后，對(duì)點(diǎn)集VA處的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理；

② 在點(diǎn)集V中均勻隨機(jī)選點(diǎn)選擇點(diǎn)集A后，對(duì)點(diǎn)集V/A處的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理；

③ GMIM算法選點(diǎn)后，對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行推理；

④ VI算法選點(diǎn)后，對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行推理；

⑤ 在整個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻隨機(jī)選點(diǎn)后，對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行推理。

4.2.2 選點(diǎn)結(jié)果和性能對(duì)比

圖 16為真實(shí)陰影效應(yīng)，可用于與不同算法的頻譜推理結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖 17～圖 21為上述5種場(chǎng)景下的選點(diǎn)和空間頻譜推理結(jié)果。通過(guò)與區(qū)域內(nèi)真實(shí)的陰影效應(yīng)分量進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)：① 幾種選點(diǎn)方案的預(yù)測(cè)均值與真實(shí)值相比都損失了部分細(xì)節(jié)成分，但都能大體恢復(fù)出區(qū)域內(nèi)的陰影效應(yīng)分量的真實(shí)值;② 當(dāng)需推理點(diǎn)附近有監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，則該位置的預(yù)測(cè)方差較小；反之，當(dāng)距離最近的監(jiān)測(cè)點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，預(yù)測(cè)方差較大;③ VI選點(diǎn)算法得到預(yù)測(cè)均值最接近真實(shí)值，且區(qū)域內(nèi)方差整體較小。

圖16 真實(shí)陰影效應(yīng)

(a)GMIM選點(diǎn)及預(yù)測(cè)均值

(a)均勻隨機(jī)選點(diǎn)及預(yù)測(cè)均值

(a)GMIM選點(diǎn)及預(yù)測(cè)均值

(a)VI選點(diǎn)及預(yù)測(cè)均值

(a)均勻隨機(jī)選點(diǎn)及預(yù)測(cè)均值

為了對(duì)比不同場(chǎng)景下的算法性能，在使用RMSE和CRPS兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)上述5種場(chǎng)景的空間頻譜推理性能進(jìn)行了量化對(duì)比分析，如圖22所示。仿真結(jié)果表明，在有限個(gè)可數(shù)點(diǎn)集范圍內(nèi)進(jìn)行選點(diǎn)，GMIM空間選點(diǎn)算法與均勻隨機(jī)選點(diǎn)相比，REM構(gòu)建的RMSE可以降低1.23 dB，CRPS值降低0.64；對(duì)整個(gè)空間任意位置進(jìn)行選點(diǎn)時(shí)，VI空間選點(diǎn)算法與均勻隨機(jī)選點(diǎn)相比，REM構(gòu)建的RMSE可以降低1.56 dB，CRPS值降低0.73。GMIM是針對(duì)有限個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集設(shè)計(jì)的優(yōu)化方案，當(dāng)待預(yù)測(cè)點(diǎn)不在GMIM算法研究的點(diǎn)集V內(nèi)時(shí)，其性能不能得到明顯提升，而VI選點(diǎn)方案對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行頻譜推理時(shí)性能提升明顯。

圖22 不同選點(diǎn)算法的REM構(gòu)建性能

綜上，GMIM選點(diǎn)算法適用于可選點(diǎn)集和待預(yù)測(cè)點(diǎn)集為已知的離散點(diǎn)。在實(shí)際REM系統(tǒng)建設(shè)中，某一區(qū)域內(nèi)設(shè)置頻譜感知終端往往受到其他因素的限制(如建筑物的位置、設(shè)備網(wǎng)絡(luò)接入等)，僅能在有限個(gè)待選點(diǎn)中選擇，結(jié)合系統(tǒng)需關(guān)注的待預(yù)測(cè)點(diǎn)，可以采用GMIM算法進(jìn)行感知設(shè)備的選點(diǎn)規(guī)劃。而VI選點(diǎn)算法能夠大幅度提升整個(gè)區(qū)域內(nèi)頻譜推理的平均性能，但在實(shí)際系統(tǒng)建設(shè)實(shí)踐中，VI算法得到選點(diǎn)位置可能會(huì)因?yàn)槠渌蛩囟鵁o(wú)法設(shè)置感知節(jié)點(diǎn)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種考慮環(huán)境異質(zhì)性的TKL算法來(lái)處理空間頻譜推理問(wèn)題。主要思想是構(gòu)造由參數(shù)表征的非線性單射變換來(lái)表示空間各向異性和非平穩(wěn)性，結(jié)合GP建立TKGPR模型，利用梯度下降算法學(xué)習(xí)非線性映射和GP的參數(shù)，然后將訓(xùn)練好的模型用于空間頻譜推理。受DKL啟發(fā)的 TKL算法具有以下優(yōu)點(diǎn)：首先，不同于DKL中DNN的非線性變換，構(gòu)造的單射變換可以保持空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。其次，在訓(xùn)練過(guò)程中不容易過(guò)擬合。結(jié)果表明，當(dāng)群智感知設(shè)備的數(shù)量較多，局部空間內(nèi)分布的采樣數(shù)據(jù)密度較高時(shí)，空間頻譜推理的性能得到顯著提高。

在利用本文所提模型表征環(huán)境異構(gòu)性的基礎(chǔ)上，同樣基于GP，提出了2種感知設(shè)備選點(diǎn)算法：基于貪婪算法的互信息最大化選點(diǎn)算法和基于變分推斷的頻譜感知設(shè)備空間選點(diǎn)算法。仿真表明，采用這2種選點(diǎn)算法與均勻隨機(jī)設(shè)置監(jiān)測(cè)點(diǎn)相比得到的空間頻譜推理性能有所提高，其中VI算法推理的誤差最小。2種算法都基于合理的數(shù)學(xué)分析和理論推導(dǎo)，有各自不同的應(yīng)用場(chǎng)景，為REM構(gòu)建中頻譜監(jiān)測(cè)設(shè)備空間選點(diǎn)問(wèn)題提供了新的研究思路。

本文研究表明，GP方法適用于解決REM構(gòu)建中的空間頻譜推理問(wèn)題。當(dāng)前，將GP與深度學(xué)習(xí)算法相結(jié)合成為新的研究熱點(diǎn)，將二者結(jié)合用于REM構(gòu)建值得進(jìn)一步深入研究。此外，本文重點(diǎn)圍繞空間維度頻譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，空時(shí)維度聯(lián)合的頻譜數(shù)據(jù)已經(jīng)受到廣泛關(guān)注，如何聯(lián)合多維度的信息進(jìn)行聯(lián)合推理將成為本領(lǐng)域相關(guān)課題研究的重點(diǎn)。