范楚君， 劉曉俊

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院 上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

正規(guī)族理論的核心問(wèn)題是關(guān)于正規(guī)定則的研究，其發(fā)展主要分為兩大板塊：一是亞純函數(shù)正規(guī)族的研究，這方面的主要方法有Zalcman 引理以及涉及導(dǎo)數(shù)的Pang-Zalcman 引理；二是關(guān)于一般復(fù)流形間全純映射族的正規(guī)定則。

則當(dāng)t=3,4,5時(shí) ， F在D上正規(guī)。

定理6 是對(duì)定理4 和定理5 結(jié)果的進(jìn)一步推廣。

事實(shí)上，對(duì)于N=3而 言，當(dāng)t=3，即超平面處于一般位置時(shí)，只須要求 2t+2=8個(gè)超平面即可。

2 定義與符號(hào)

先介紹 PN(C)相關(guān)的定義與符號(hào)[5]。

PN(C)=CN+1{0}/～是N維復(fù)射影空間。對(duì)任意x=(x0,x1,···,xN),y=(y0,y1,···,yN)，x,y∈CN+1{0},x～y當(dāng) 且僅當(dāng)存在某個(gè) λ ∈C， 使得(x0,x1,···,xN)=λ(y0,y1,···,yN)。 (x0,x1,···,xN) 的等價(jià)類(lèi)記作[x]=[x0:x1:···:xN]，則

PN(C)上可引入一個(gè)自然的度量，即對(duì)于點(diǎn)[ω]和 [ω′]之 間的 距 離，采用 CN+1中 2 個(gè)圓 γ 和 γ′之間的歐幾里得距離來(lái)表示，其中， γ 和 γ′分別代表在球面S2N+1上 的這2 個(gè)點(diǎn)（這里取 |ω|=|ω′|=1）。簡(jiǎn)單計(jì)算可得

再假設(shè) ω′=ω+dω ， 并舍去關(guān)于 |dω|的二階以上的小量，得到相應(yīng)的度量形式：

定義1 設(shè)U?D是 開(kāi)集，若f0,f1,···,fN在U內(nèi)全純且沒(méi)有公共零點(diǎn)，則稱(chēng)f? =(f0,f1,···,fN)是f的一個(gè)既約表示。

對(duì)全純曲線f的任何一個(gè)既約表示f?，定義全純函數(shù)

再取

定義2 設(shè)f=[f0:f1:···:fN]:D→PN(C)是一個(gè)全純曲線，z∈D， 再設(shè)f?是f在z處的任何一個(gè)既約表示，記

其中， α?=(a?0,a?1,···,a?N)T為非零法向量，?=1,2,···,q。

按照文獻(xiàn)[6]中關(guān)于t次一般位置的定義，有定義4。

定義4 設(shè)N,t,q均 為正整數(shù)，且t≥N,q≥2t-N+1。稱(chēng) 超 平 面H1,H2,···,Hq?PN(C)處 于t次 一 般 位置，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意集合P?{1,2,···,q}， #P=t+1，存在單射μ :{0,1,···,N}→P， 使得Hμ(0),···,Hμ(N)處于一般位置。#P表示集合P中元素的個(gè)數(shù)是t+1 個(gè)。

而對(duì)于超曲面的情形，有定義5。

定義5[7]設(shè)M?PN(C)是一個(gè)非空閉子集，t是一個(gè)正整數(shù)，Q1,Q2,···,Qq是 PN(C)中q(≥t+1)個(gè)超曲面，稱(chēng)它們關(guān)于M處于t次一般位置，如果對(duì)任意 {i0,i1,···,it}?{1,2,···,q}，有

3 主要引理

1991 年，Aladro 等[8]將Zalcman 引理進(jìn)行推廣，得出結(jié)論：由雙曲區(qū)域映射到一般的Hermite流形上的全純映射族仍滿(mǎn)足Zalcman 引理。這為正規(guī)族理論的發(fā)展開(kāi)創(chuàng)了新的方向。

引理1 設(shè) F是一族從 Cm中 的雙曲區(qū)域 Ω映到PN(C)的 全純映射。 F 在 Ω上不正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)存在子列 {fn}?F ，點(diǎn)列 {zn}?Ω 滿(mǎn) 足zn→z0∈Ω，正數(shù)列 { ρn}滿(mǎn) 足 ρn→0+，使得

在 Cm上 內(nèi)閉一致收斂于從 Cm映 射到 PN(C)的非常值全純映射g(ξ)。

在主要定理的證明過(guò)程中，還需要如下的引理2。

引理2(Hurwitz 引理)[2]設(shè) {fn(z)}是定義在區(qū)域D?C內(nèi) 的一列全純函數(shù)，a∈C是任意一個(gè)復(fù)數(shù)，且設(shè)fn(z)在D的任意一個(gè)緊子集上一致收斂于非常值的全純函數(shù)f(z)。 若存在點(diǎn)z0∈D，使得f(z0)=a， 則對(duì)于每一個(gè)充分大的n， 方程fn(z)=a在D內(nèi) 有根。此外，存在z0的 某鄰域U，使得f(z)-a在U內(nèi)根的總數(shù)與fn(z)-a在U內(nèi)根的總數(shù)相同（計(jì)重?cái)?shù)）。

1999 年，Eremenko 證 明 了 一 個(gè)Picard 型 定理，即引理3。

引理3[9]設(shè)f:C →X是一條全純曲線，其中X是 PN(C)中 的一個(gè)閉子集。再設(shè)Q1,Q2,···,Q2t+1是PN(C)中 的超曲面，關(guān)于X處于t次 一般位置。若f不取Qi， 即〈f,Qi〉≠0, 1 ≤i≤2t+1， 則f必為常映射。

為了便于輔助主要定理的證明，將引理3 推導(dǎo)為引理4。

引理4[7]設(shè)f:C →PN(C)是一條全純曲線，H1,H2,···,Hq均 是 PN(C)中 處于t次一般位置的超平面，其中，q≥2t+1,t≥N，若對(duì)每個(gè)i∈{1,2,···,q}，f不取Hi， 或者f(C)?Hi，則f必為常映射。

引 理5[3]設(shè)g=[g0:g1:···:gN]:C →PN(C)是一條有窮級(jí)的全純曲線，且g0(ζ)?0，N≥2是一個(gè)整數(shù)。H?={x∈PN(C):〈x,α?〉=0}是 PN(C)中處于一般位置的超平面，且其第一系數(shù)a?0均不為零，?=1,2,···,N+1.g?(ζ)=(g0,g1,···,gN)(ζ)是g的 任 意既約表示，令

若G?(ζ)≠0且G?′(ζ)≠0, ζ ∈C ， 則g是線性退化的。

引理6[10]設(shè)f(z)為 整函數(shù)，若f(z)的球面導(dǎo)數(shù)f#(z) 有 界，則f(z)的級(jí)最多為1。

4 主要定理的證明

4.1 定理3 的證明

b.若p2=0 ， 則p0,p1不全為零。

(a)若p1≠0 ， 則g1,g3可 由g0,g2線 性 表 出，類(lèi)似于a 的證明，矛盾；

(b)若p0≠0,p1=0 ， 而g0≠0，矛盾。

因此， F在D上正規(guī)。

當(dāng)N=3，t≥4時(shí) ，所需超平面的個(gè)數(shù)會(huì)隨著t值的增長(zhǎng)而增加。目前，仍未能找到明確的上界。