柏素霞 (揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校 225003)

數(shù)學(xué)承載著人類(lèi)文明中的思想和文化，數(shù)學(xué)教育作為基礎(chǔ)教育的重要組成部分，必然承擔(dān)著提升“文化自信”、落實(shí)“立德樹(shù)人”的重任．新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱(chēng)《課標(biāo)2022》)在“課程理念”中提出，課程內(nèi)容選擇要“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿和數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[1]2；在“課程目標(biāo)”中提出，學(xué)生能“對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)的美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問(wèn)難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”[1]11．因此，在新課改及“雙減”背景之下，如何利用數(shù)學(xué)文化素材構(gòu)建有血有肉、充滿人文氣息的數(shù)學(xué)課堂，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，培育學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人目標(biāo)是值得深入研究的課題．

1 當(dāng)前數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的現(xiàn)狀及分析

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教育越來(lái)越重視“數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂”的研究和實(shí)踐．然而當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理想案例并不多見(jiàn)，常見(jiàn)以下兩種誤區(qū)：一是形式上“標(biāo)簽”化，課堂中大多以閱讀材料、觀看視頻、講述故事等單一形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，數(shù)學(xué)文化元素只是課堂的簡(jiǎn)單附加，可有可無(wú)，僅限于給課堂貼上文化“標(biāo)簽”；二是內(nèi)容上缺乏“重構(gòu)”，深度融合不夠，以數(shù)學(xué)史的介紹為主，缺少對(duì)前人偉大智慧、深邃思想的深度學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟．總而言之，就是數(shù)學(xué)文化和教學(xué)內(nèi)容“兩張皮”，數(shù)學(xué)文化入耳了，但入腦、特別是入心不夠．

汪曉勤等人根據(jù)西方學(xué)者的一些觀點(diǎn)，將課堂上的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化五個(gè)維度[2].課堂實(shí)踐中，對(duì)數(shù)學(xué)文化不同維度利用得不均衡，就導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)不能全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)文化進(jìn)課堂應(yīng)力求多維度呈現(xiàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)的深度融合．

2 數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)深度融合的一個(gè)案例

在一次“數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂”區(qū)域教學(xué)研討活動(dòng)中，筆者有幸聆聽(tīng)了華東師范大學(xué)廣陵實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)賀天慧老師的“三角形的中位線”一課，令人眼前一亮，感悟頗多.現(xiàn)呈現(xiàn)此教學(xué)案例，與同行交流．

2.1 板塊一：夢(mèng)回《九章》

問(wèn)題1如圖1，中國(guó)漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中記載了求三角形土地面積的問(wèn)題：“今有圭田廣十二步，正從二十一步，問(wèn)為田幾何？”

圖1

從古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中求三角形土地面積問(wèn)題引入，引導(dǎo)學(xué)生思考三角形面積公式的推導(dǎo)方法，激趣生“疑”，從而引出我國(guó)魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的“出入相補(bǔ)”法．

問(wèn)題2(播放介紹劉徽“出入相補(bǔ)”法的微視頻)視頻中，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

問(wèn)題3視頻中的三種方法都有什么共同點(diǎn)？(追問(wèn))每一種方法都先在三角形上取了兩個(gè)點(diǎn)，這是兩個(gè)什么點(diǎn)(圖2)？

圖2

引導(dǎo)學(xué)生感悟“出入相補(bǔ)”法及其蘊(yùn)含的將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形(包括矩形)去解決問(wèn)題的“轉(zhuǎn)化”思想，體會(huì)古人的智慧，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中前人寶貴的思維經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到三角形兩邊中點(diǎn)．

2.2 板塊二：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

問(wèn)題4連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是一條特殊的線段，我們能給它起一個(gè)名稱(chēng)嗎？

由數(shù)學(xué)史料中對(duì)于三角形面積公式的推導(dǎo)方法，發(fā)現(xiàn)新的研究對(duì)象——中位線，揭示課題，并給中位線下定義．

問(wèn)題5三角形的中位線與中線有何區(qū)別？三角形有幾條中位線？嘗試畫(huà)一畫(huà)．

通過(guò)問(wèn)題和操作及時(shí)鞏固三角形中位線的概念(圖3)．

圖3

問(wèn)題6我們研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，一般都是先研究什么，再研究什么？我們可以按照一個(gè)什么路徑去研究三角形中位線？

教師調(diào)動(dòng)學(xué)生過(guò)去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的一般思路：定義→性質(zhì)→應(yīng)用，并幫助學(xué)生規(guī)劃三角形中位線的學(xué)習(xí)路徑．

2.3 板塊三：定理探究

問(wèn)題7三角形的中位線具有怎樣的性質(zhì)？它與第三條邊之間有怎樣的關(guān)系？你是怎么猜想到的？

問(wèn)題8通過(guò)目測(cè)和度量得到的結(jié)論有說(shuō)服力嗎？

讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)出三角形的中位線，由中位線平分三角形的兩條邊，自然地啟發(fā)學(xué)生探究中位線和第三條邊之間的關(guān)系．教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合劉徽利用“出入相補(bǔ)”法推導(dǎo)三角形面積公式的過(guò)程，從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面去作大膽猜想，讓學(xué)生充分表達(dá)，闡述觀點(diǎn)，再?gòu)?qiáng)調(diào)猜想仍需進(jìn)行證明，讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的思維進(jìn)階．

問(wèn)題9如何證明你的猜想？嘗試寫(xiě)出已知、求證，并尋求證明思路．

問(wèn)題10你是如何想到證明思路的？可以用劉徽的“出入相補(bǔ)”法證明三角形中位線定理嗎？

先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組討論，交流證明方法，最后請(qǐng)各組展示不同的證明思路并交流思路的來(lái)源，讓學(xué)生充分感悟劉徽“出入相補(bǔ)”法對(duì)證明思路的啟迪作用．最后師生共同完善證明過(guò)程，形成三角形中位線定理的文字及符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)．

問(wèn)題11為什么要在學(xué)習(xí)完平行四邊形后再學(xué)習(xí)三角形的中位線？

啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟利用旋轉(zhuǎn)變換將三角形問(wèn)題“轉(zhuǎn)化”為平行四邊形來(lái)解決，滲透整體建構(gòu)的、發(fā)展的數(shù)學(xué)觀．

2.4 板塊四：新知應(yīng)用

問(wèn)題12三角形中位線應(yīng)用的例題或習(xí)題(略)．

問(wèn)題13在古代兩河流域，有四位兄弟幸福和睦地生活著．父親的去世打破了四兄弟平靜的生活，他們?yōu)榉指罡赣H留下的一塊三角形土地而爭(zhēng)論不休，誰(shuí)都不肯吃虧……請(qǐng)你想一個(gè)分割土地的方法，讓四兄弟都能滿意．

給出古巴比倫泥板書(shū)上記錄的一個(gè)小故事，先讓學(xué)生自己嘗試不同的分割方法，再展示并比較哪一種方法最好．通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，用三條中位線分割的方法(圖4)既能保證土地面積相等，又能使分得的土地形狀相同，借此向?qū)W生滲透中國(guó)古代儒家思想中的中庸之道，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的人文精神．

圖4

2.5 板塊五：反思小結(jié)

問(wèn)題14今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？它有哪些應(yīng)用？

問(wèn)題15今天在我們研究三角形中位線的過(guò)程中，你的最大感受是什么？

通過(guò)反思交流，讓學(xué)生再次感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧創(chuàng)造，領(lǐng)悟前人思想對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟迪和幫助，增強(qiáng)民族自豪感．

3 深度融合：數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的應(yīng)然要求

3.1 案例分析

M·克萊因指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要問(wèn)題是動(dòng)機(jī)問(wèn)題．“三角形的中位線”課例從古代數(shù)學(xué)題入手，引出劉徽的“出入相補(bǔ)”法，讓學(xué)生自然關(guān)注到“連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)”的特殊線段，引發(fā)了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提出了新的研究課題．課中，引導(dǎo)學(xué)生從“出入相補(bǔ)”中直觀猜想三角形中位線的性質(zhì)，并古法今用，運(yùn)用“出入相補(bǔ)”法對(duì)三角形中位線定理進(jìn)行證明，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)淵源，觸摸古人的光輝足跡，同時(shí)推陳出新，享受創(chuàng)造的快樂(lè)．課末，運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)解決巴比倫泥板書(shū)上的問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“社會(huì)角色”和“多元文化”功能．最后，挖掘問(wèn)題中的德育因子，促進(jìn)學(xué)習(xí)品質(zhì)、情感態(tài)度目標(biāo)的達(dá)成．

汪曉勤認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化內(nèi)容在課堂中的應(yīng)用，除了附加式，還有復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式等高層次的運(yùn)用方式[3].僅僅附加式地運(yùn)用數(shù)學(xué)文化，為了文化而文化，無(wú)形中增加課堂負(fù)擔(dān)，不能在數(shù)學(xué)文化素材和數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起內(nèi)在的聯(lián)系，不能幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，難以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解．本案例中，對(duì)數(shù)學(xué)文化素材的使用做到了幾種方式的有效疊加，如引用巴比倫泥板書(shū)上的問(wèn)題是復(fù)制式；由《九章算術(shù)》上的問(wèn)題引出三角形面積公式的推導(dǎo)，繼而揭示三角形中位線的概念是順應(yīng)式；運(yùn)用劉徽的“出入相補(bǔ)”法證明三角形中位線定理是重構(gòu)式．教師對(duì)將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史料轉(zhuǎn)化為有價(jià)值的教學(xué)材料進(jìn)行了積極的嘗試，并取得了較好的效果．

深度融合是數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的應(yīng)然要求，為了數(shù)學(xué)的教和學(xué)服務(wù)，數(shù)學(xué)文化才能入耳，更能入腦、入心．?dāng)?shù)學(xué)文化素材不僅是課堂的調(diào)味品，更重要的是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，提出研究課題，啟迪研究思路，具有情境載體、思想引領(lǐng)、方法示范、文化熏陶等多重教育功能．?dāng)?shù)學(xué)史料中的問(wèn)題和方法也可以成為探究新課、知識(shí)應(yīng)用的理想素材．

3.2 案例啟示

(1)在數(shù)學(xué)文化中提出新的研究對(duì)象，涵育理性思維品質(zhì)

任何一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象都不是橫空出世，都有它的源頭，都有其學(xué)習(xí)的必要性．研究數(shù)學(xué)史料，挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，是提出新的研究對(duì)象的重要途徑．《課標(biāo)2022》中指出，數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要體現(xiàn)為“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．其中數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)包括：“能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)．”[1]5因此，借鑒或重構(gòu)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，讓數(shù)學(xué)文化轉(zhuǎn)化為充滿教育意蘊(yùn)的生動(dòng)素材，將新知置于具體的文化情境中，為所教的數(shù)學(xué)知識(shí)提供動(dòng)機(jī)和目的，引導(dǎo)學(xué)生提出新問(wèn)題，研究新對(duì)象，通過(guò)數(shù)學(xué)文化“理解數(shù)學(xué)”，涵育思維，這是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的理想選擇．

如上述課例的引入課題環(huán)節(jié)，即是通過(guò)“出入相補(bǔ)”法的介紹將歷史意蘊(yùn)悄無(wú)聲息地融入教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)了概念的引入以及問(wèn)題的探究，讓新知自然發(fā)生．

再如，南京的杭秉全老師在執(zhí)教一節(jié)“乘法公式”公開(kāi)課時(shí)，課的結(jié)尾處有這樣的片段：

師：“今天我們研究了完全平方公式，你能提出一個(gè)值得繼續(xù)研究的問(wèn)題嗎？”

生：“我在想，有沒(méi)有完全立方公式？”

師：“你的問(wèn)題提得很好！中國(guó)南宋的楊輝，他的研究方向和你一樣，他已經(jīng)出成果了，你可以去了解一下……”

教師沒(méi)有直接說(shuō)明“楊輝三角”，而用輕松詼諧的語(yǔ)言創(chuàng)設(shè)理性思維情境，引導(dǎo)學(xué)生以先賢為榜樣，繼完全平方公式后對(duì)整式乘法進(jìn)行深入研究，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)永不滿足的學(xué)習(xí)品質(zhì)和追求新知的科學(xué)態(tài)度．

(2)在數(shù)學(xué)文化中生發(fā)性質(zhì)規(guī)律猜想，發(fā)展邏輯推理能力

數(shù)學(xué)離不開(kāi)推理．合情推理用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論,演繹推理用于證明結(jié)論，兩者相輔相成，缺一不可[4]6-7很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，我們的教學(xué)更重視演繹推理而忽視合情推理，這不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展．《課標(biāo)2022》提出：初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)包括“推理能力”和“創(chuàng)新意識(shí)”，創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵具體指向“通過(guò)具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗(yàn)證”[1]11．因此，發(fā)展合情推理能力，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，有利于樹(shù)立學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度．而數(shù)學(xué)文化內(nèi)容可以為形成猜想提供適切、有趣的學(xué)習(xí)情境．

如上述課例中，“出入相補(bǔ)”法啟發(fā)了學(xué)生對(duì)三角形中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)；再如，后續(xù)“三角形的中位線”應(yīng)用課上，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)改變?cè)倪呅蔚男螤顚?duì)瓦里尼翁四邊形(中點(diǎn)四邊形)的性質(zhì)進(jìn)行猜想，并推導(dǎo)證明，同時(shí)對(duì)“瓦里尼翁四邊形”名稱(chēng)的由來(lái)進(jìn)行背景介紹；又如，學(xué)習(xí)了“圓”的新知后，設(shè)計(jì)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圓繪制“萊洛三角形”的拓展活動(dòng)[5]，并研究它的性質(zhì)，學(xué)生沿著先人的足跡體會(huì)發(fā)現(xiàn)的價(jià)值，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，同時(shí)，合情推理和演繹推理能力協(xié)同發(fā)展，既培養(yǎng)了創(chuàng)新精神，又形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S方式．

(3)在數(shù)學(xué)文化中形成問(wèn)題解決策略，滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)的發(fā)展承載著學(xué)科底蘊(yùn)和文化背景，尤其是數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造過(guò)程中突發(fā)的靈感、深遂的思想以及因某一問(wèn)題而頓悟的心境等都是隱性的學(xué)習(xí)資源．個(gè)體理解數(shù)學(xué)的過(guò)程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過(guò)程具有相似性，前人的思想和智慧，前人在解決某個(gè)問(wèn)題時(shí)曾經(jīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤或障礙可以使學(xué)生獲得戰(zhàn)勝困難的勇氣，更重要的是獲得思想方法的啟發(fā)．

如上述課例中，引導(dǎo)學(xué)生從“出入相補(bǔ)”法得到性質(zhì)證明的思路；再如，在教學(xué)“相似三角形”的應(yīng)用時(shí)，學(xué)習(xí)公元前600年左右，古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯(Thales)憑借一根細(xì)繩測(cè)出了金字塔高度的方法，啟發(fā)學(xué)生探究如何測(cè)量旗桿的高度，從而實(shí)現(xiàn)智慧傳承、精神超越．

(4)在數(shù)學(xué)文化中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)以致用意識(shí)

數(shù)學(xué)發(fā)展史中流傳已久的歷史名題有著經(jīng)典性、歷史性、趣味性等特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的重要源泉.這些數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)歲月的洗禮依舊歷久彌新，對(duì)其進(jìn)行再探索，除了能鞏固知識(shí)、激發(fā)興趣，還能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的洞察力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)“社會(huì)角色”和“多元文化”內(nèi)涵的理解，改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)．

如上述課例中，古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中記載的四兄弟等分三角形田地的問(wèn)題是三角形中位線的典型應(yīng)用；再如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“盈不足”問(wèn)題，可以作為“二元一次方程組的應(yīng)用”的 學(xué)習(xí)載體，融入課堂設(shè)計(jì)；又如，教學(xué)“對(duì)頂角”時(shí)，先介紹《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”[6]，并組織學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，感知“對(duì)頂角”，進(jìn)而對(duì)“對(duì)頂角”進(jìn)行研究，這種課堂組織不僅加強(qiáng)了數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的聯(lián)系，而且讓學(xué)生體會(huì)墨家躬身實(shí)踐的學(xué)習(xí)理念，體悟到數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)以致用的意識(shí)．

當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)的深度融合需要數(shù)學(xué)教師有深厚的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的起源、聯(lián)系、推廣、應(yīng)用等方面的歷史、文化素材有全面的了解，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)能既關(guān)注趣味性，又關(guān)注有效性、科學(xué)性和可學(xué)性，使學(xué)生在充滿文化味的課堂中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過(guò)程，完成知識(shí)內(nèi)化、吸收的同時(shí)獲得思維的發(fā)展、品格的提升等．在教學(xué)時(shí)，如何設(shè)計(jì)更加有利于學(xué)生的學(xué)是根本，這還需要我們?cè)趯⒗砟盥鋵?shí)于實(shí)踐的道路上不斷探索．