?蘇州工業(yè)園區(qū)星湖學(xué)校 沈 奕

1 原題展示

(2021江蘇泰州15題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中,點A坐標(biāo)為(8，5)，⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B，若∠APB=30°，則點P的坐標(biāo)為______.

圖1

2 試題評價

2.1 簡而不凡，內(nèi)涵豐富

本題以圓、切線、30°角、點的坐標(biāo)等常見素材為背景設(shè)置問題，圖形簡約而熟悉，題干精煉而別致，結(jié)構(gòu)簡單而富有美感，是一道內(nèi)涵豐富、設(shè)計巧妙、考查學(xué)生素養(yǎng)的填空題.

從背景條件來看，涉及知識點豐富，有點的坐標(biāo)、切線的判定與性質(zhì)、特殊四邊形的判定與性質(zhì)、相似、勾股定理等核心知識.

從轉(zhuǎn)化策略來看，蘊含多個基本圖形的構(gòu)造，如：添平行線構(gòu)造“8字形”“A字形”證三角形相似，連接圓心與切點，將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為垂線段的長度，見直角構(gòu)造“一線三垂直”.將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題(方程)，通過邏輯推理與數(shù)學(xué)計算進行解答.

2.2 突出能力與基本素養(yǎng)

求點的坐標(biāo)的實質(zhì)是求出線段長，求線段長是初中幾何最為常見的一種題型，同時也是高中生必備的解題基本功之一.其解題思路是：(1)將待求線段放到全等圖形中，運用全等三角形的性質(zhì)求出線段長；(2)將待求線段放在特殊圖形(如平行四邊形、直角三角形)中，并運用這些圖形的特殊性質(zhì)進行推理或運用線段和差進行綜合分析求解；(3)將待求線段放在相似三角形中，運用題目條件或構(gòu)造“8字形”“A字形”或其他基本結(jié)構(gòu)，運用相似性質(zhì)推理；(4)其他的還有勾股定理，銳角三角函數(shù)，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等幾何變換等.

本題求線段長的方法靈活多變，既考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)技能及數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗，又考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.同時本題需添加輔助線才能解決，對模型意識、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、圖形直觀、圖形分析等考查到位.

2.3 方法多樣，考查探究意識

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是如何培養(yǎng)學(xué)生的理性思考能力，盲目的堆砌式解題方法，不僅不會促進學(xué)生思維能力的發(fā)展、技能的形成，相反會使學(xué)生厭惡數(shù)學(xué).如何激發(fā)學(xué)生的理性思維?一題多解無疑是一種有效的方法.對于本題，可以從內(nèi)部知識的關(guān)聯(lián)性，以“在哪里？那里有什么？要到哪里去”為思考問題的路徑，發(fā)散思維，多聯(lián)系、多角度深入思考，便可以得到不同的解法，從而有效發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神與探究意識，更重要的是讓學(xué)生的理性思維得以拓展，不受慣性思維模式的束縛，培養(yǎng)思維品質(zhì)和應(yīng)變能力.

3 題意分析及解答

在解答之前應(yīng)該意識到，點A的坐標(biāo)(8，5)及30°角是我們要牢牢把握和突破的思維核心.一般來說見30°角想到含30°角的直角三角形，因此，只需連接圓心與切點就可以辦到.所以連接圓心與兩個切點(設(shè)圓與x軸相切的切點為點C)，由切線的性質(zhì)得OC=8，BA=CA=5.但PB是斜線段，無法與坐標(biāo)有效聯(lián)系起來.因此還要分析題目中的其他隱含信息，作出其他輔助線.

思路一：構(gòu)造特殊四邊形.

分析：點A坐標(biāo)為(8，5)，在圖2中已經(jīng)用水平線段或豎直的垂線段表示出來.在Rt△PAB中，∠APB=30°，BA=5，則PA=10.如果不作輔助線，解題思路受阻.因此，下一步的解題重點是如何作出輔助線，有效運用已知條件.

圖2

此時，我們可以將解題目標(biāo)轉(zhuǎn)向題目所求：“求點P的坐標(biāo)”，要求出點P的坐標(biāo)，必須出現(xiàn)水平線段或豎直的垂線段.實現(xiàn)解題目標(biāo)有下列三種方法：

(1)過點P和點A作水平線及垂線，構(gòu)造矩形，利用矩形性質(zhì)及勾股定理；

(2)過點A作y軸的垂線，構(gòu)造矩形，利用矩形性質(zhì)及勾股定理；

(3)過點C作PA的平行線，證明平行四邊形和直角三角形.

方法一：以P為直角頂點構(gòu)造長方形.

解：連接CA并延長，過點P作PH⊥CA，交CA的延長線于點H，如圖3所示，則四邊形PHCO為長方形.

圖3

由切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，而∠APB=30°，所以在Rt△APB中，PA=2AB=10.

又矩形PHCO的邊CO=8，所以PH=8.

Rt△PAH中，由勾股定理得

因此PO=HC=HA+AC=6+5=11.

故點P的坐標(biāo)為(0，11).

方法二：以A為直角頂點構(gòu)造長方形.

解：連接CA，BA，過點A作AH⊥PO，垂足為H，如圖4所示.

圖4

由三個直角知四邊形HACO為長方形.

由點A坐標(biāo)為(8，5)，所以AH=8.

由切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，而∠APB=30°，所以在Rt△APB中，

PA=2AB=10.

所以PO=PH+HO=6+5=11.

故點P的坐標(biāo)為(0，11).

方法三：構(gòu)造平行四邊形.

解：連接CA，BA，過點C作PA的平行線CN，交PO于點N,如圖5所示.

圖5

由AP∥CN，PN∥AC，得四邊形PNCA為平行四邊形.

所以PN=AC=5，NC=PA=10.

所以PO=PN+NO=5+6=11.

故點P的坐標(biāo)為(0，11).

點評：在平面直角坐標(biāo)系中求點的坐標(biāo)，一般的解題策略是作坐標(biāo)軸的平行線，出現(xiàn)水平線段或豎直的垂線段，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何推理.而特殊四邊形的內(nèi)涵豐富，性質(zhì)繁多，可以有效實現(xiàn)這一目標(biāo).

思路二：構(gòu)造“ 一線三垂直”相似.

分析：題目的原圖與課本的“切線長定理”有一定關(guān)聯(lián).原圖已經(jīng)有一條切線，可以過點P作圓的另一條切線，并利用平面直角坐標(biāo)系的垂直結(jié)構(gòu)構(gòu)造“一線三垂直”基本圖形，證明直角三角形相似.

方法四：作切線，構(gòu)造“一線三垂直”相似.

解：連接CA，BA，過點P作⊙O的切線PE，切點為E，連接AE，過點E作OC的平行線交PO于點G，交AC于點F.如圖6所示.

圖6

故點P的坐標(biāo)為(0，11).

分析：由前面分析知∠PBA=90°，結(jié)合所求的目標(biāo)是點的坐標(biāo)，需出現(xiàn)直角或水平線，再類比“方法四”，可以以點B為直角頂點構(gòu)造“一線三垂直” 基本圖形，證明直角三角形相似.

方法五：作水平線，構(gòu)造“一線三垂直”相似.

圖7

在Rt△ABH中，由AH2+BH2=AB2，可得

故點P的坐標(biāo)為(0，11).

點評：聯(lián)系課本中的基本定理，基本圖形，結(jié)合已知條件中的切線，再結(jié)合題目所求，需出現(xiàn)水平線與垂線段，三者發(fā)力，并加以聯(lián)系，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為幾何基本模型，再運用幾何圖形的性質(zhì)，進一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.可以看出，不同知識的關(guān)聯(lián)性與相通性是將數(shù)學(xué)基本知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)基本技能是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

思路三：構(gòu)造A字形相似.

分析：由切線及坐標(biāo)軸知AC∥PO，延長PA與x軸交于點M，則出現(xiàn)“A字形”，再運用相似與一次函數(shù)的性質(zhì)或相似與勾股定理或相似與三角函數(shù)知識來解答.

方法六：A字形+一次函數(shù).

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

圖8

設(shè)CM=4x，則AM=5x.

令x=0，則y=11.

所以點P的坐標(biāo)為(0，11).

方法七：A字形+勾股定理.

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

所以點P的坐標(biāo)為(0，11).

方法八：A字形+三角函數(shù).

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

點評：平面直角坐標(biāo)系蘊含有直角的天然條件，與坐標(biāo)結(jié)合，可以運用函數(shù)圖象；與圓的切線結(jié)合，出現(xiàn)直角，會產(chǎn)生平行線，我們自然想到延長PA，出現(xiàn)A字形，這也是最為經(jīng)典與常見的相似基本模型.方法六將相似與一次函數(shù)結(jié)合，解法超凡脫俗，富有靈氣；方法七將相似與勾股定理結(jié)合，解法經(jīng)典，中規(guī)中矩；方法八將相似與三角函數(shù)結(jié)合，解答簡單，讓人回味.

4 教學(xué)反思

在平時教學(xué)中，不少教師選擇最優(yōu)解法，用最少的時間去講解作業(yè)或試卷中的試題，很少肯花時間讓學(xué)生思考，學(xué)生當(dāng)時聽后，覺得易懂，但遇到陌生的“生僻”的問題又找不到行之有效的解題方法，這樣循環(huán)往復(fù)，教師就覺得學(xué)生“笨”，“怎么講過的還是不會做？”因此，在平時解題活動中，教師要對典型題，包括選擇題、填空題進行深度探究；要舍得花時間去思考分析，注重思考的過程、分析的途徑，比如，這些條件是如何與求解結(jié)論聯(lián)系起來的，是通過哪條線、哪個角進行轉(zhuǎn)化的，為什么可以這樣作輔助線.解題后學(xué)生要進行反思、總結(jié)：當(dāng)時是如何想的？為什么老師這樣解答？這樣的解題方式對以后的解題有什么幫助？要進行一題多解、一題多變、多解歸一等變式訓(xùn)練，注重積累解題經(jīng)驗.

正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要標(biāo)志.”深刻探究就要讓學(xué)生經(jīng)歷操作、思考、推理、反思等過程，對數(shù)學(xué)知識加強領(lǐng)會與感悟，并積累分析和解決問題的基本經(jīng)驗，進而把這些經(jīng)驗遷移到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).