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深入探究基本圖形 漸次展開一題一課
—— 以“相似三角形的判定”單元復習課為例

2022-11-25 11:30廣東省深圳科學高中龍崗分校洪順慶
中學數(shù)學 2022年20期
關鍵詞:一題本題三角形

?廣東省深圳科學高中龍崗分校 洪順慶

?浙江省杭州市余杭區(qū)海辰中學 程龍軍

1 引言

單元復習的主要功能是回顧知識和解決問題.傳統(tǒng)復習方式習慣于知識梳理、例題講評、鞏固訓練式的流程,導致課堂存在“大容量、小問題,淺思考”的現(xiàn)象,學生對數(shù)學問題淺嘗輒止.為此,筆者提出“一題一課”的單元復習形式,通過對問題的不斷分析、不斷聯(lián)系、不斷深入,引發(fā)學生思考,激發(fā)學生討論,提供更多的機會讓學生發(fā)現(xiàn)和提出問題,分析和解決問題,培養(yǎng)學生整體性、系統(tǒng)性、綜合性的思維方式,從而讓深度學習真正發(fā)生.下面以滬科版九年級上冊“22.2 相似形的判定”單元復習為例,探討一題一課式單元復習教學設計.

2 內容解析

本單元是滬科版數(shù)學教材九年級上冊第22章的第二單元,在全等三角形和比例線段的相關知識基礎上,研究相似三角形的預備定理和四個判定定理.這些內容為發(fā)展學生的幾何直觀和邏輯推理能力提供了重要素材,也為后續(xù)學習圓和三角函數(shù)的內容奠定了基礎.與全等三角形相比,本單元基本圖形眾多,基于比例式的邏輯推理較為抽象,學生在之前的新授課學習中,還不能深刻理解和應用基本圖形,也不能熟練運用比例式進行變形和推理.因此,單元復習課中亟需加強對判定定理的理解與應用,構建各知識點和基本圖形之間的關聯(lián),形成知識結構.基于上述考慮,特制定了如下教學目標:

(1)理解相似三角形中基本圖形的相互關系;

(2)會利用相似三角形的判定解決一些問題;

(3)經(jīng)歷基本圖形邏輯關系的探索過程,體驗解決問題策略的多樣性.

3 教學過程

3.1 溫故知新

問題1相似三角形的判定有哪些?類比全等三角形,說說兩類判定之間的聯(lián)系.

教學說明:學生逐條梳理相似三角形的判定,得到幾個判定之間的結構關系(如圖1),然后類比全等三角形,說明全等和相似之間特殊與一般的關系.復習課一方面要了解學生對知識的掌握情況,使復習更有針對性;另一方面也要體現(xiàn)單元知識的結構,這也是它功能和價值的體現(xiàn),表現(xiàn)在已經(jīng)了解幾何知識學習流程的基礎上,明確研究思路和研究方法,形成框架性的總結,為后續(xù)的靈活運用做準備.

圖1

3.2 合作探究

問題2如圖2,在△ABC中,已知點D,E分別為邊AB,AC上的一點,請補充一個合適的條件,使△ABC與△ADE相似.

圖2

教學說明:在學生原有的知識經(jīng)驗中,平行或斜交原三角形可以得到“A型相似”和“反A型相似”,這是解本題的依據(jù)和突破口,其中圖形的運動變化過程也是復習課要關注的.借助圖形和相似三角形的判定,從角和邊兩個角度自主探究,可能的結論如下.

圖3

圖4

本題設置了一個入口寬且解法多樣的開放性問題,有效整合了學生知識結構中的零散知識.學生既可以從角又可以從邊的角度去補充條件.較問題1,問題2體現(xiàn)出將學生的認知從識記提升到理解和應用的層次,并迅速吸引了學生眼球,激發(fā)學生的探究欲望.

問題3如圖5,當∠1=∠ACB時,連接BE,CD交于點F,試猜想圖中有幾對相似三角形,并證明你的猜想.

圖5

教學說明:學生分組討論并猜想圖中的相似三角形,可能的答案有①△ADE∽△ACB,②△ABE∽△ACD,③△FDB∽△FEC,④△FDE∽△FBC,等等.教師引導學生明確思路,依次證明①②③④.本題的難點有兩個,一是由△ADE∽△ACB推導出△ABE∽△ACD,二是由△FDB∽△FEC推導出△FDE∽△FBC.教師需要引導學生細致分析比例式并根據(jù)需要適當變形,尋找已知條件和目標的差異.學生也有可能會猜想△EFD與△EDB相似,對于這個假命題,可引導學生用分析法進行推理.假若△EFD∽△EDB,則∠EDF=∠EBD.由∠ECD=∠EBD,可得∠ECD=∠EDC,則有ED=EC.因為DE可以平行移動,因此ED=EC未必成立.故△EFD與△EDB不一定相似.

問題4如果把問題3中的條件∠1=∠ACB換成∠ECD=∠EBD,上述四對三角形還能相似嗎?

教學說明:本題是問題3的一個變式,通過上題的探究,學生意識到只需證明①②即可,而③④無需重新證明.通過此題強化了相似三角形判定的綜合運用,并由此得出“如果上述四對三角形有一對相似,則其余的三對也相似”.其實,例題的選擇不一定要多,有時只需對原有問題適當變式拓展或綜合利用,就能形成圖形的生長、知識的生長和思維的生長,達到舉一反三的效果.

問題5如圖6,當∠1=∠ABC時,連接BE,CD交于點F,圖中有幾對相似三角形?

圖6

問題3與問題5的圖形都是從一個母題特殊化得來,圖形結構類似,前者對后者產(chǎn)生較強的負遷移,學生習慣性地認為前面的四個結論也成立,加之問題5是開放性問題,這更增加了問題的難度.學生對于常見真命題的證明容易上手,而本題是需要證偽.這個證偽的挑戰(zhàn)性任務引導學生經(jīng)歷了類比和思辨的過程,培養(yǎng)了學生推理的嚴密性,發(fā)展了學生評價和質疑的能力.

問題6如圖7,當∠1=∠ABC時,連接BE,CD相交于點F,連接AF并延長交BC于點O,交DE于點M.

圖7

求證:OB=OC.

3.3 總結回顧

問題7結合圖8,說說本節(jié)課你應用了哪些知識?有哪些收獲和困惑?

圖8

教學說明:通過上述圖形的不斷特殊化,引導學生對基本圖形進行結構化處理,建立易于理解和遷移的圖式,同時將相似三角形的判定等知識點串聯(lián)在其中,有效提高了課堂效率,使得復習課同時具備了總結、應用和探究的功能,調動了學生的學習積極性,發(fā)展了學生的高階思維能力.

4 教學思考

4.1 一題一課,提升課堂教學效率

本節(jié)單元復習課區(qū)別于概念加例題的常規(guī)復習形式,采用了一題一課、一圖一課的形式,這種形式簡潔高效,兼顧了知識回顧和解決問題這兩個復習課的重點,節(jié)省了讀題審題的時間,減輕了學生課堂學習負擔,提高了探究意識和學習興趣;同時,探究過程兼顧不同學生的學習需求,使得不同的學生在一節(jié)課里可以得到不同的收獲.對于一題一課的設計,首先要選取一個好的母題,其來源可以是教材中的例題與習題,也可以是從中提煉出的基本圖形.母題需要與單元知識點密切相關,并能夠提供足夠的探究空間,使問題可以不斷生長,進而在解決問題過程中將單元知識點有序串聯(lián).

4.2 問題驅動,引領學生深度學習

本節(jié)課從一個基本圖形入手,回顧相似三角形的判定定理,之后題設條件漸次增加,在不斷變化的問題情境中,精心建構開放性問題,一步步特殊化基本圖形,結合變式和拓展,形成了由易到難的問題串.這樣的問題設計,知識的運用與生成是自然的,又是有跡可循的,學生容易理解.隨著問題的不斷推進,學生對知識點反復提取和加工,在綜合運用單元知識和思想方法解決挑戰(zhàn)性問題的過程中,經(jīng)歷了應用、質疑、反思、評價等多層次的高階思維,其思維層級逐漸提高,理解程度逐漸加深,學生在體驗中深刻理解了相似三角形的判定定理,也增強了正確運用判定定理的自覺性.

4.3 多維一體,推動數(shù)學知識結構化

數(shù)學復習課的目標是回顧知識、訓練思維、發(fā)展能力.本節(jié)課從知識的聯(lián)系出發(fā),把新課中分幾個課時研究的內容完整地放到一個單元復習課中,具有結構性、系統(tǒng)性、邏輯性,有助于構建思維導圖.在溫故知新環(huán)節(jié),依據(jù)知識的邏輯關系把零散的知識點構建成脈絡結構,學生可以系統(tǒng)了解知識的發(fā)生發(fā)展過程,進而理解單元知識,形成整體架構.在合作探究環(huán)節(jié),通過循序漸進的問題串,既回顧了單元知識點,又挖掘了其中蘊含的數(shù)學思想方法和解題策略,如分類思想、轉化思想,逆推法、正難則反的策略等,這正是優(yōu)化認知結構的關鍵.在總結回顧環(huán)節(jié),學生明確了本單元中一般圖形與特殊圖形的關系,形成了知識結構圖示,方便在使用時快速提取.從結構化思維的角度來說,單個知識點的復習是必要的,但更要注重知識之間的結構生成和數(shù)學思想方法的提煉,包括各個圖形的演變及其相互的聯(lián)系,學生在經(jīng)歷整理、練習、對比、辨析的過程中,可以更好地對數(shù)學知識進行再認識和結構化的學習.

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