陳添鳳，邱嘉旻，彭宏，陳曦，延英

（1 蘇州大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 蘇州 215006）（2 蘇州大學(xué)江蘇省先進光學(xué)制造技術(shù)重點實驗室教育部現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)重點實驗室省先進光學(xué)制造技術(shù)重點實驗室，江蘇 蘇州 215006）（3 蘇州大學(xué)數(shù)碼激光成像與顯示教育部工程研究中心，江蘇 蘇州 215006）

0 引言

近年來，在量子信息處理、量子計算、量子通信［1-4］等方面，對量子比特的相干操控引起廣泛關(guān)注。在量子系統(tǒng)中，相干操控最重要的一個目標(biāo)是對能量子態(tài)進行精確操控。但是，承載量子比特相干操控的物理系統(tǒng)通常都是不完美的，會受到退相干、頻率失諧、非共振激發(fā)，以及拉比頻率波動等因素的干擾和制約。因此，要實現(xiàn)精確的量子操控，需要盡可能地克服這些限制性因素的影響。目前，操控量子態(tài)常用的技術(shù)包括絕熱通道技術(shù)［5-6］、共振脈沖技術(shù)［7］，以及量子絕熱捷徑等。其中，絕熱通道技術(shù)對實驗中出現(xiàn)的參數(shù)波動具有較高的魯棒性，但是因為受到絕熱條件的限制，演化過程較慢，因此受退相干的影響較為嚴(yán)重；共振脈沖技術(shù)雖然有較快的演化速度，但是對參數(shù)波動的魯棒性較差。為了兼得高魯棒性和快速演化兩個特征，上海大學(xué)的陳璽教授提出了量子絕熱捷徑（Shortcut to Adiabaticity，STA）技術(shù)［8-10］。該技術(shù)的核心是以非絕熱方式（不需要滿足絕熱條件）來加速量子態(tài)的演化，同時保留了絕熱過程的魯棒性。

STA的實施方法主要有兩種，一種是基于劉易斯-里森菲爾德不變量（Lewis-Riesenfeld Invariant，LRI）理論的逆向工程［11-14］，另一種是無躍遷量子驅(qū)動（Transitionless Quantum Driving，TQD）［15-17］。前者的思路是首先求出哈密頓量的不變量，然后基于LRI的瞬時本征態(tài)來構(gòu)建薛定諤方程的解，進而反解出系統(tǒng)的哈密頓量。后者的核心是在一個初始哈密頓量H0(t)上增加反絕熱耦合項，使得量子態(tài)在系統(tǒng)總哈密頓量的驅(qū)使下能非絕熱地沿著H0(t)的瞬時本征態(tài)進行演化。2010年，陳璽教授基于TQD提出僅在兩個基態(tài)能級之間使用微波場就可以實現(xiàn)快速布局?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移［17］，但是這個微波場在某些實驗中較難實施。為此，研究者在三能級系統(tǒng)中，考慮到在大頻率失諧情況下激發(fā)態(tài)沒有布局?jǐn)?shù)分布，因此可以將三能級系統(tǒng)簡化為一個有效二能級系統(tǒng)，并確保在初始和終止時刻量子態(tài)的布局?jǐn)?shù)與絕熱狀態(tài)時相同，基于TQD通過幺正變換，得到有效的哈密頓量，達到修改光脈沖的目的，實現(xiàn)了兩個量子比特能級之間的布局?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移［18-19］。還有很多研究工作假設(shè)在三能級系統(tǒng)中不存在頻率失諧問題（即共振模型），通過引入時間演化算符并結(jié)合逆向工程逆向求得哈密頓量，然后將此哈密頓量與初始哈密頓量進行對比獲得修改后的光脈沖，進而實現(xiàn)高魯棒性的量子態(tài)操控［18，20］。目前，這兩種技術(shù) 已 被 應(yīng) 用 于多種物理系統(tǒng) 中，如 囚 禁 離 子［21］、氮-空位（Nitrogen-Vacancy，NV）中心［22］、超導(dǎo)量子系統(tǒng)（Superconducting Quantum System）［5，23］，以及稀土離子（Rare-Earth Ions，REI）量子比特系統(tǒng)［13］等，實現(xiàn)了對某些參數(shù)波動具有較高魯棒性的量子操控。但是，這些工作大多僅關(guān)注量子操控的魯棒性，而沒有提及量子操控可能對系統(tǒng)帶來的不必要干擾激發(fā)，即對目標(biāo)量子比特進行操控的光脈沖可能會對鄰近的非共振的量子躍遷進行激發(fā)，從而對目標(biāo)量子比特造成干擾。例如在REI系統(tǒng)［24-27］，對目標(biāo)量子比特的操控會不可避免地對頻域內(nèi)臨近的其它量子躍遷或背景離子進行非共振激發(fā)［13］，進而對目標(biāo)量子比特造成干擾。又例如，超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)可以看作不等間距的量子諧振子，相鄰三個能級之間的躍遷頻率差值稱為非諧量［28-29］，對相鄰兩個能級的激發(fā)，會不可避免地激發(fā)其中一個到第三個能級的躍遷，為了減小這種干擾，一個方法是增大非諧量，但是付出的代價卻是降低量子比特的相干時間。因此，在類似這樣頻率緊密分布的系統(tǒng)中，要想取得高保真度的量子操控，不僅需要快速和高魯棒性的特征，還需要極低的非共振激發(fā)。

為了使量子操控具備上述三個特征，快速高效地制備量子比特的任意疊加態(tài)，課題組已基于LRI逆向工程理論［13，30］，結(jié)合光脈沖優(yōu)化方法，在三能級系統(tǒng)中創(chuàng)建了快速、具有高魯棒性和低非共振激發(fā)的量子操控，并將之應(yīng)用于REI系統(tǒng)中，得到了較好的結(jié)果。然而，在LRI理論中，首先需要構(gòu)造出哈密頓量的不變量，而在大多數(shù)系統(tǒng)中，不變量是未知的，構(gòu)造不變量的過程較復(fù)雜，會受到某些實驗系統(tǒng)的限制［9］。TQD與LRI在一定程度上是等效的，二者之間可以互相轉(zhuǎn)換［16］。因此，原則上基于TQD也可以創(chuàng)建滿足需求的量子操控。但是，在TQD方案中引入的反絕熱耦合項［17］，在很多情況下是直接耦合兩個量子比特能級（0和的微波脈沖，而在一些實驗系統(tǒng)中，這種微波場不容易實施或不適合使用［31］。比如，在稀土離子量子比特系統(tǒng)中，為了對量子比特進行有效的操控，首先需要通過光譜燒孔效應(yīng)創(chuàng)建一個零吸收窗口，然后再將一小部分（頻率分布寬度約170 kHz）稀土離子泵浦回透明窗口中作為量子比特［24］。在創(chuàng)建零吸收窗口時，必須使位于吸收窗口左側(cè)的稀土離子都處于態(tài)。若在量子操控中使用微波場，它會對這些離子在兩個量子比特能級和之間進行激發(fā)（這個躍遷的非均勻展寬非常非常小，可以忽略不計），導(dǎo)致部分離子會被泵浦到零吸收窗口中，對目標(biāo)量子比特造成干擾。因此，在稀土離子量子比特系統(tǒng)中不適合使用微波場。為此，福州大學(xué)夏巖教授課題組提出，基于一組含時輔助基矢來構(gòu)建時間演化算符，并結(jié)合逆向工程得到哈密頓量，進而通過約束基矢中的兩個含時參量之間的關(guān)系來消除哈密頓量中的反絕熱耦合項，在非絕熱狀態(tài)下實現(xiàn)了布局?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移［32］。

本文同樣基于TQD的逆向工程技術(shù)，通過合理設(shè)計時間演化算符，消除哈密頓量的反絕熱耦合項，同時去除額外的微波場；并將此理論方案應(yīng)用于頻域緊密分布的稀土離子量子比特系統(tǒng)中，在非絕熱光脈沖中引入多個新自由度參數(shù)，在不改變初始態(tài)和終止態(tài)的情況下，通過優(yōu)化這些自由度參數(shù)的取值來改善光脈沖的工作性能。一方面增加量子操控對頻率失諧量的魯棒性；另一方面，使量子操控在對目標(biāo)量子比特作用時，對臨近量子比特造成極低的干擾激發(fā)。同時，本方案是一個非絕熱過程，可大大縮短脈沖作用時間，降低退相干的可能性。

1 光脈沖的設(shè)計理論

圖1 一個Λ型三能級系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The schematic energy level diagram of a three-level system with Λ configuration

首先，基于兩個含時變量α(t)和β(t)，在基矢下假設(shè)一組正交歸一且完備的輔助態(tài)基矢，即

基于這組基矢，系統(tǒng)的時間演化算符可以構(gòu)建為［32］

由于U(t)U?(t)=I，參數(shù)γmn(t)需要滿足

式中，δmn是Kronecker Delta函數(shù)。在式（6）的約束下，可以借助另一個含時參量l(t)將γmn(t)表達出來，于是式（5）變?yōu)?/p>

由此得到系統(tǒng)的哈密頓量在輔助態(tài)基矢下的形式，即

至此，借助三個含時參量構(gòu)造出了時間演化算符，并逆向求解出系統(tǒng)的哈密頓量，通過約束三個含時參量之間的關(guān)系，在三能級系統(tǒng)中將兩個量子比特能級之間的直接耦合項去除掉。

結(jié)合式（1）、（10），可得到光脈沖Ωp，s(t)的表達形式為

這樣，基于兩個含時變量α(t)和β(t)得到了光脈沖的拉比頻率；對光脈沖的設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為構(gòu)建α(t)和β(t)的問題。另外，考慮到在實驗中，如果光脈沖振幅在時域中有急速變化，那么它必然會在頻域內(nèi)帶來多個冗余分量，可能對目標(biāo)量子態(tài)造成干擾。因此，光脈沖的振幅最好在起始和終止時刻都為零，即

這要求α(t)和β(t)滿足如下邊界條件

本文目標(biāo)是使哈密頓量H(t)驅(qū)動三能級系統(tǒng)在兩個量子比特態(tài)能級之間進行精確演化，將量子比特初始化到一個任意疊加態(tài)上。量子操控的精確度用保真度F來衡量，即

基于以上理論考慮一個最簡單的情況，即哈密頓量驅(qū)動系統(tǒng)沿著從初始態(tài)演化到目標(biāo)疊加態(tài)。即α(t)和β(t)必須在初始和終止時刻滿足如下邊界條件

考慮到式（13）以及高魯棒性和低非共振激發(fā)的要求，提出α(t)和β(t)為

式中，ak(k=1，2，3，4…)是不含時的常數(shù)，表征每個正弦函數(shù)的權(quán)重；C為一常數(shù)，其取值可以在滿足α(t)的邊界條件下進行選取，這里令C=0。式（17）和（18）所示α(t)和β(t)顯然滿足式（15）和（16）要求的邊界條件。為滿足邊界條件式（13），ak(k=1，2，3，4…)需要滿足

由式（19）、（20）可知，n個參數(shù)中（a1，a2，a3，a4，…an）仍然有n-2個自由度，這些自由度可以用來對光脈沖進行優(yōu)化。因為在不考慮頻率失諧和非共振激發(fā)的前提下，無論ak取何值，量子態(tài)都可以完美地沿著進行演化，達到目標(biāo)態(tài)。但是，在REI系綜量子比特系統(tǒng)中，系綜量子比特中的頻率失諧和光脈沖對附近量子比特的非共振激發(fā)都會降低量子操控的保真度，借助這些自由度可以優(yōu)化光脈沖的工作性能，實現(xiàn)高保真度的量子操控。

在式（19）和（20）中，n的取值原則上可以無限大，這樣提供更多的空間去調(diào)節(jié)光脈沖的工作性能，但是n越大，相應(yīng)正弦波的頻率就越高，而在實際應(yīng)用中，正弦波的頻率可能會受到所使用儀器設(shè)備的時間精度的限制。因此考慮n=4的情況，即值得指出的是，前文所述理論方案考慮的是哈密頓量驅(qū)動系統(tǒng)沿著演化的情況，但事實上，對于所述初始態(tài)和目標(biāo)態(tài)，哈密頓量也可驅(qū)動系統(tǒng)沿著另外一個路徑演化，即沿，實現(xiàn)既定的量子操控。此時，式（5）所示的時間演化算符應(yīng)該調(diào)整為相應(yīng)地，式（15）和（16）也要發(fā)生改變，但是，逆向設(shè)計的基本原理保持不變。但是，系統(tǒng)不可能沿進行演化，因為要求態(tài)上的布局?jǐn)?shù)時時刻刻為零，這點在使用兩個光場間接地對兩個量子比特能級進行耦合時是不可能實現(xiàn)的。

2 數(shù)值模擬

將理論方案應(yīng)用于REI系統(tǒng)中（Pr3+：Y2SiO5），考察是否可以創(chuàng)建快速、高魯棒性和低非共振激發(fā)的量子操控。REI系統(tǒng)具有長達6 h的量子比特相干時間［24-27］，是一個有競爭力的量子計算硬件的測試體，而且晶體材料的制作工藝成熟，可以直接采購。在REI系統(tǒng)中，極少量的Pr3+以隨機摻雜的方式取代硅酸釔晶體中的釔離子。研究者通常選取Pr3+基態(tài)中兩個超精細(xì)能級作為量子比特，這兩個能級之間的耦合通過各自與激發(fā)態(tài)之間的光學(xué)躍遷來實現(xiàn)，相關(guān)的能級系統(tǒng)都可以看做一個三能級型系統(tǒng)。在這樣的系統(tǒng)中實現(xiàn)精確的量子操控，除了快速以外，還需要滿足兩個條件：1）量子操控對表征量子比特的數(shù)十億個鐠離子（稱為系綜量子比特）具有同等效果的激發(fā)，即對約170 kHz（半高全寬）的頻率失諧量具有高魯棒性［24］；2）由于晶體中原子密度極高，所以在目標(biāo)量子比特躍遷頻率附近（≥3.5 MHz）存在著大量的非共振Pr3+離子，稱為背景離子。這就要求量子操控對這些背景離子盡可能地不要有任何激發(fā)，即量子操控必須具有足夠低的非共振激發(fā)［25］。

圖2 光脈沖拉比頻率和量子態(tài)布局?jǐn)?shù)隨時間的演化情況Fig.2 Time evolution of the Rabi frequencies of the pulses and the population of the quantum state

2.1 高魯棒性

為了考察上述光脈沖對于REI系綜量子比特中頻率失諧量Δ的魯棒性，在三能級耦合微分方程中引入了頻率失諧量，并考察了在脈沖終止時刻，量子比特達到目標(biāo)量子態(tài)的保真度對頻率失諧量Δ之間的依賴關(guān)系，結(jié)果如圖3所示。在±170 kHz頻率失諧范圍內(nèi)，設(shè)計的光脈沖對系綜量子比特的平均操控保真度為99.86%，比文獻［13］中的結(jié)果（99.79%）略高，說明量子操控具有較好的魯棒性。作為對比，在ak的有效取值范圍內(nèi)隨機取了一組值：a1=-，a2=0，a3=0，a4=，此時光脈沖對系綜量子比特的平均操控保真度為98.23%。

圖3 獲得目標(biāo)態(tài)的保真度對頻率失諧的依賴關(guān)系Fig.3 Dependence of the fidelity of achieving the target stateon the frequency detuning

2.2 低非共振激發(fā)

除了對頻率失諧量的魯棒性以外，還關(guān)心光脈沖在對感興趣的量子比特進行操控時，是否會對其鄰近頻域的背景離子或其它量子比特造成非共振激發(fā)。即在理想情況下，如果不存在非共振激發(fā)，那么背景離子應(yīng)該保持在其初始狀態(tài)上的布局?jǐn)?shù)與頻率失諧量之間的依賴關(guān)系，結(jié)果如圖4所示。對于|Δ|=3.5 MHz處的量子比特離子，在態(tài)上上。為此，考察了在光脈沖結(jié)束時刻，量子態(tài)在能級的布局?jǐn)?shù)（藍(lán)色曲線）低于3%；隨著頻率失諧量的增加，在1態(tài)上的布局?jǐn)?shù)逐漸降低；在|Δ|≥5 MHz時，背景離子被非共振地激發(fā)到態(tài)上的概率低于1.45%。在3.5 MHz時的非共振激發(fā)概率比文獻［13］中結(jié)果（2.7%）略高，但是仍然在可接受的范圍內(nèi)，尤其是選擇能級間距更大的稀土離子作為工作物質(zhì)時，如Eu3+。

圖4 量子態(tài)在能級和上的布局?jǐn)?shù)對頻率失諧的依賴情況Fig.4 Dependence of population in levelandof the final stateon the frequency detuning

數(shù)值模擬結(jié)果表明，設(shè)計的光脈沖既對于系綜量子比特中存在的頻率失諧（≤170 kHz）具有高魯棒性，也對于位于目標(biāo)量子比特尋址頻率附近的（≥3.5 MHz）背景離子具有極低的非共振激發(fā)，符合REI系統(tǒng)對量子比特進行高保真度操控的需求。

3 實驗方案

圖2（a）所示的光脈沖在實驗中是切實可行的，可以通過連續(xù)激光和聲光調(diào)制器等設(shè)備來產(chǎn)生，實驗裝置示意圖如圖5所示。首先，使用任意波形發(fā)生器（AWG）生成兩個無線電脈沖（RF）信號，它們的振幅與式（11）所示拉比頻率成正比，位相與光脈沖的位相相同，即

圖5 實驗裝置圖Fig.5 The schematic experimental setup

式中，A為從光脈沖的拉比頻率Ωp，s到無線電信號振幅Ep，s的轉(zhuǎn)換系數(shù)，由實驗系統(tǒng)決定；E01是兩個量子比特能級和之間的能級差；h是普朗克常數(shù)。RF脈沖驅(qū)動聲光調(diào)制器（AOM），使之對入射的連續(xù)激光調(diào)制，這樣AOM輸出的一階偏折光束便是所需的光脈沖，其時長、振幅、位相等參數(shù)全部由AWG生成的RF信號決定。當(dāng)光束聚焦直徑為100 μm時，一階偏折光束的典型上升時間為數(shù)十納秒。因此，基于此系統(tǒng)可以生成如圖2（a）所示的光脈沖。

由式（23）、（11）、（17）和（18）可見，ak的取值決定了RF信號的波形。而在實驗中，每個AWG都有特定的時間分辨率和振幅分辨率，通過數(shù)值計算得到的最優(yōu)ak值，如果使RF信號的振幅變化太快，超過了AWG的時間分辨能力，或者ak中小數(shù)點后最后一個數(shù)位上的數(shù)值對應(yīng)的RF信號的振幅變化低于AWG的振幅分辨率，那么所生成的RF信號就會偏離理想波形，這種偏離會影響AOM的聲光調(diào)制作用強度，使得生成的光脈沖也偏離理想波形。因此，有必要考察操控保真度對ak在其最優(yōu)值附近的波動的依賴程度，這可以為實驗研究提供一些參考。鑒于本文給出的最優(yōu)值中，a1和a2遠(yuǎn)大于a3和a4，因此，有理由相信a1和a2對保真度的影響會更大，為此，考察了保真度對a1和a2波動的依賴關(guān)系（Δ=0），結(jié)果如圖6所示，圖中代表著a1和a2在最優(yōu)值附近的相對波動。在η1=±10%，η2=±10%區(qū)間內(nèi)，即圖中紅色點線方框內(nèi)，絕大部分情況下保真度仍大于99%。

圖6 在Δ=0下，保真度對a1和a2值波動的依賴關(guān)系Fig.6 Dependence of fidelity on the fractional fluctuation of a1 and a2 withΔ=0

4 與無躍遷量子驅(qū)動技術(shù)的對比

本文提出的理論方案，與傳統(tǒng)的無躍遷量子驅(qū)動方案相比，相似之處是二者都通過構(gòu)建時間演化算符逆向求解出系統(tǒng)的哈密頓量，且都涉及到兩個量子比特能級之間的直接耦合項，但存在著顯著差異。本文理論方案具有如下特征：1）量子態(tài)沿著輔助態(tài)進行演化，而不是初始哈密頓量的瞬時本征態(tài)。輔助態(tài)由兩個含時參量α(t)和β(t)來決定，在滿足邊界條件的情況下，α(t)和β(t)可以有多種選擇，使得輔助態(tài)具有更大的調(diào)節(jié)空間。2）通過逆向設(shè)計哈密頓量消除了微波場，不但可以簡化實驗裝置，而且可以為某些無條件或不適合使用微波場的實驗系統(tǒng)，如REI系統(tǒng)，帶來極大便利。更重要的是，采用本文方案消除掉0和1之間的直接耦合微波場，只需要使三個含時變量α(t)、β(t)和l(t)滿足關(guān)系式=0即可，不需要在其他任何方面付出代價。即式（5）所述時間演化算符提供了自由度，對于任意形式的α(t)和β(t)，總可以根據(jù)=0找到一個l(t)。但是，光脈沖的數(shù)目和具體形式如式（11）所示，卻不依賴于l(t)，所以不會受到任何影響。3）在含時參量中引入多個自由度，使哈密頓量的構(gòu)造具有更高的靈活性，可用來調(diào)節(jié)光與物質(zhì)相互作用的動力學(xué)行為。

5 結(jié)論

本文借助一組正交歸一的輔助態(tài)，構(gòu)建出時間演化算符，并由此逆向推出系統(tǒng)的哈密頓量；通過約束輔助態(tài)中的含時參量之間的關(guān)系，消除了哈密頓量中的微波場，簡化實驗操作步驟。同時通過在含時參量中引入多個自由度參數(shù)并對其值進行優(yōu)化，設(shè)計出了非絕熱的、對較小范圍（|Δ|≤170 kHz）的頻率失諧量具有高保真度，且對臨近量子比特（|Δ|≥3.5 MHz）具有較低非共振激發(fā)的量子操控光脈沖。將此理論方案應(yīng)用于REI量子系統(tǒng)中，數(shù)值模擬表明，該光脈沖可以操控系綜量子比特創(chuàng)建一個任意疊加態(tài)，平均操控保真度高于99.86%。

本文提出的理論方案不僅適用于稀土離子量子比特系統(tǒng)，也適用于其它任何依靠頻率尋址的量子系統(tǒng)，如氮-空位中心系統(tǒng)，超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)等。另外，還可以結(jié)合微擾理論，將此理論方案進行拓展，使量子操控在對頻率失諧量具有高魯棒性，對鄰近量子比特具有低非共振激發(fā)的前提下，進一步對拉比頻率波動也具有較高的魯棒性。克服這些物理限制性因素對量子操控的影響，對量子計算、量子糾錯以及量子通信等量子科技都具有積極的意義。

附錄

如引言中所述，期望量子操控能對REI系綜量子比特中存在的頻率失諧量具有高魯棒性，即在||Δ≤170 kHz時，保真度要盡可能地趨近于1；而對距離目標(biāo)量子比特約3.5 MHz以外的背景離子不產(chǎn)生干擾，即在||Δ≥3.5 MHz時，非共振激發(fā)要盡可能地低。為此，對式（17）中的參數(shù)ak進行優(yōu)化。采用的方法是對ak在其有效取值范圍內(nèi)進行掃描，考察量子操控在||Δ≤170 kHz范圍內(nèi)的保真度，以及在±3.5 MHz處的非共振激發(fā)。保真度越高，非共振激發(fā)越低，參數(shù)的取值就越優(yōu)越。

具體步驟為：

首先，式（21）和（22）限定了a3和a4必須在［-1，1］范圍內(nèi)，對于在此范圍內(nèi)的任意值，a1和a2都可以由此二元二次方程組求出。為了清晰地看到這兩個參數(shù)對量子操控保真度和非共振激發(fā)的影響。令Δ=170 MHz，對它們進行了掃描，保真度對a3和a4的依賴關(guān)系如圖7（a）所示；同時，在Δ=3.5 MHz處態(tài)上的布局?jǐn)?shù)P1對a3和a4的依賴關(guān)系如圖7（b）所示，P1越低，說明非共振激發(fā)越低。圖7（a）和7（b）的交疊區(qū)域是感興趣的參數(shù)空間，在此交疊區(qū)域中a3的取值范圍是［-0.07，0.14］。

圖7 光脈沖對系綜量子比特的操控保真度F以及對背景離子的非共振激發(fā)P1對a3和a4的依賴關(guān)系Fig.7 Dependence of the operational fidelity F over the ensemble qubit and the off-resonant excitation P1 of the background ions on a3 and a4

其次，為了在前一步得到的范圍內(nèi)對a3和a4的取值進行更精細(xì)的優(yōu)化，令a3=0.05，對a4在其有效取值范圍內(nèi)(a3?[-0.5，0.45])進行掃描，尋找出保真度F=0.99時對應(yīng)的頻率失諧量值Δ1和Δ2。由此可得出，保真度大于等于0.99的頻率失諧量范圍為。同時，考察頻率失諧量Δ=3.5 MHz時所對應(yīng)的非共振激發(fā)P1的值（從圖4可以看出，P1對于頻率失諧量呈對稱分布，因此這里只考慮了3.5 MHz時的情況），結(jié)果如圖8所示。理想的結(jié)果是在確保P1足夠小（例如＜3%）的前提下，Γ的值越大越好。從圖中看出，當(dāng)a4=-0.17時，Γ=0.38 MHz，P1=3.0%，量子操控兼具高魯棒性和低非共振激發(fā)的特性。此時，根據(jù)式（20）和（21）可以求出a1=-0.74836，a2=0.63918，即文中采用的最優(yōu)值。需要指出的是，最優(yōu)值有多種選擇，文中給出的只是一組。

圖8 保真度F≥0.9對應(yīng)的頻率失諧量區(qū)間Γ以及在Δ=3.5時態(tài)上的布局?jǐn)?shù)P1對a4的依賴關(guān)系Fig.8 Dependence of the range of the frequency detuningΓwith F≥0.99 and the population instate P1 withΔ=3.5 MHz on a4