王 菊 張 琥

(1.江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)，215000；2.北京外國語大學(xué)附屬蘇州灣外國語學(xué)校，215000)

數(shù)學(xué)學(xué)科中的情境分為課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境和生活實踐情境.高考命題指向是:以課程學(xué)習(xí)情境為檢驗基礎(chǔ)的量尺，以探索創(chuàng)新情境為區(qū)分甄選的手段，以生活實踐情境為拓展應(yīng)用的渠道.新情境問題是每年高考試題中的亮點之一.此類問題需要從新情境中提取有效信息并作答,考查基礎(chǔ)知識的遷移運用、分析解決實際問題的能力.本文精心選擇一組情境新、信息量大和有一定思維深度的題目分類討論其考查要點,以期對復(fù)習(xí)應(yīng)考有所幫助.

一、 數(shù)學(xué)文化

高考試題中對數(shù)學(xué)文化的考查,主要涉及中國古代數(shù)學(xué)名著,數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)家故事,或數(shù)學(xué)名題等.

例1(2021年全國乙卷理科)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測量海島的高.如圖1,點E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=( )

評析本題以魏晉時期我國數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景,讓學(xué)生充分感受我國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智.考查相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系和推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.解題關(guān)鍵是根據(jù)相似建立比例式,圍繞所求目標(biāo)進行轉(zhuǎn)化.

(A)C的蒙日圓的方程為x2+y2=3b2

(D)若矩形MNGH的四條邊均與C相切,則矩形MNGH面積的最大值為6b2

二、新定義(概念)

新定義(概念)問題是指在現(xiàn)有的運算法則和運算律的基礎(chǔ)上定義一種新的概念或運算規(guī)則或性質(zhì)等問題.新定義可以文字的形式出現(xiàn),也可以數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達式的形式出現(xiàn),有的甚至舉例說明.在高考中,有關(guān)新定義的考題偶爾會出現(xiàn),要么在小題的壓軸題中出現(xiàn),要么在解答題中出現(xiàn),主要考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等核心素養(yǎng).

例3(2021年北京卷)定義Rp數(shù)列{an}:對實數(shù)p,滿足:①a1+p≥0,a2+p=0;② ?n∈N*,a4n-1

(1)對于前4項2,-2,0,1的數(shù)列,可以是R2數(shù)列嗎?說明理由;

(2)若{an}是R0數(shù)列,求a5的值;

(3)是否存在p,使得存在Rp數(shù)列{an},對?n∈N*,Sn≥S10?若存在,求出所有這樣的p;若不存在,說明理由.

解析(1)由條件③ 結(jié)合題意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}矛盾,故前4項2,-2,0,1的數(shù)列,不可能是R2數(shù)列.

(3)令bn=an+p,由條件③可知:?m,n∈N*,bm+n=am+n+p∈{am+p+an+p,am+p+an+p+1}={bm+bn,bm+bn+1},由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n-1=a4n-1+p

評析根據(jù)新定義來解決問題,有時還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.透過現(xiàn)象看本質(zhì),考查的還是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的運用.

三、信息遷移

信息遷移題是由題干給出信息,要求考生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決新情境中的相關(guān)問題.此類試題材料新穎、構(gòu)思別致、有一定的思維量.考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、閱讀理解能力以及遷移創(chuàng)新能力.解題時要能利用外顯信息正確模仿遷移、排除干擾信息、挖掘隱含信息、注重聯(lián)想類比.

例4(2021年全國新高考Ⅱ卷)北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36 000 km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個球心為O,半徑r為6 400 km的球,其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1-cosα)(單位:km2),則S占地球表面積的百分比約為( )

(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%

評析本題考查U的近似計算,充分理解題中的計算方法是解題的關(guān)鍵,考查推理能力與運算求解能力,屬中檔題.

四、高等數(shù)學(xué)知識

在高考試卷中,以高等數(shù)學(xué)知識為背景的試題時有出現(xiàn),涉及到的高等數(shù)學(xué)知識主要有歐拉公式、極限思想、特征函數(shù)、高斯函數(shù)、函數(shù)的凹凸性、洛必達法則、不動點定理等.這類問題主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

例6(2016年全國卷)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg 99]=1.

(1)求b1,b11,b101;

(2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和.

解析(1)設(shè){an}的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通項公式為an=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.

所以數(shù)列{bn}的前1 000項和為1×90+2×900+3×1=1 893.

例7在三維空間中,定義向量的外積:a×b叫做向量a與b的外積,它是一個向量,滿足下列兩個條件:①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b和a×b構(gòu)成右手系(即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致,如圖2所示)；②a×b的模|a×b|=|a|·|b|sin〈a,b〉(〈a,b〉表示向量a,b的夾角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有以下四個結(jié)論,正確的有( )

高考中引入新情境試題,就是要求重視數(shù)學(xué)文化知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)閱讀能力的提升.在復(fù)習(xí)中,通過高考真題來充分挖掘教材中的圖片、表格、閱讀材料等信息,自主提出問題,熟悉試題的考查要求,掌握試題的設(shè)計意圖、設(shè)問角度、呈現(xiàn)形式.

情境的創(chuàng)設(shè)是基于生活實際,接近真實情境.需要多閱讀與數(shù)學(xué)有關(guān)的報刊雜志,不斷提高自己對情境材料的信息提取、圖表的分析與數(shù)據(jù)處理能力,要能從問題情境中蘊涵的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想等角度全面剖析,強化信息獲取與解讀能力,構(gòu)建系統(tǒng)的、從低階到高階的問題思維鏈,逐步提升分析問題、解決問題的能力.

試題的情境與已有知識經(jīng)驗具有一定的間隙,這就需要進行知識重構(gòu),從而使知識“活起來”,同時有利于自主選擇解答路徑與方法,并能有效地調(diào)動智力和非智力因素.新情境試題在促進知識的建構(gòu)、培育學(xué)科素養(yǎng)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面,都具有積極的引導(dǎo)作用.在復(fù)習(xí)中,應(yīng)加強對新情境試題的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練.