祁 杰

(江蘇省鹽城中學(xué),224000)

在學(xué)習(xí)解析幾何時,常常會遇到有關(guān)面積的幾何問題,大多是給出一個標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形,通過建立笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為常見的代數(shù)問題來解決.但是由于笛卡爾坐標(biāo)系的特殊性,并非所有的題目都能簡便地解決,而仿射坐標(biāo)系的建系過程更方便學(xué)生理解和掌握,便于學(xué)生解決復(fù)雜圖形的面積問題.

一、相關(guān)基礎(chǔ)知識[1]

定義1笛卡爾坐標(biāo)系在仿射對應(yīng)(變換)下的像叫做仿射坐標(biāo)系.(x′,y′)叫做點P′的仿射坐標(biāo),記為P′(x′,y′).

定理1在仿射坐標(biāo)下,經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線方程為

定義2圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的量,稱為圖形的仿射不變量.

定理3兩條平行線段之比是仿射不變量.

推論兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量.

二、利用仿射坐標(biāo)系求圖形面積最值

①

評析正常先求出橢圓方程,設(shè)動點A(x0,y0),運用直線PA,PB的傾斜角互補求點A,B坐標(biāo),本題運算繁而難．運用仿射坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成為圓,既可降低難度,也便于面積表達,進一步求變換后的面積,從而給出原圖形的面積.

評析用設(shè)點法求解橢圓問題運算量大而且難以解決問題,用橢圓的參數(shù)方程會涉及雙變量,相對容易,但過程也不簡單.用仿射坐標(biāo)系將橢圓轉(zhuǎn)換為圓,再運用圓的參數(shù)方程,可優(yōu)化解題過程,進而解決問題.

三、利用仿射坐標(biāo)系求相關(guān)圖形面積

例3已知單位正三角形?ABC,W為平面ABC上一點,若線段CA，CB上分別存在點P，Q,使得WP=2WQ,且W,P,Q三點共線,則稱W為“好點”.若設(shè)AP=λ,AQ=μ(0<λ,μ<1),求所有“好點”構(gòu)成的平面區(qū)域的面積.

故由推論可得變換前的面積

評析本題若通過直角坐標(biāo)系求解,難于分析,比較棘手,運算量極大,同時由于高中數(shù)學(xué)方法局限性,無法大致描繪出其圖象.而通過仿射系,將抽象的“好點”曲線轉(zhuǎn)化為具體的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,進而求出“好點”構(gòu)成區(qū)域的面積,求解輕松,利于呈現(xiàn)性質(zhì),方便后續(xù)的分析研究.

仿射坐標(biāo)系建立了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的一種聯(lián)系,若能熟練運用仿射變換,不但可據(jù)本探源,同時可深入研究數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系,進而從更高的角度把握和理解教材.