李 響，蔡明杰，徐興興，周紹國(guó)，焦元辰

(1.水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(三峽大學(xué))，湖北宜昌 443002；2.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北宜昌 443002；3.三峽大學(xué)國(guó)際文化交流學(xué)院，湖北宜昌 443002)

隨著工程領(lǐng)域?qū)Y(jié)構(gòu)被動(dòng)安全防護(hù)問(wèn)題的日益重視，碰撞問(wèn)題已經(jīng)成為現(xiàn)代工程領(lǐng)域的一個(gè)重要的研究課題。對(duì)碰撞過(guò)程中結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究和分析并設(shè)計(jì)出具有更高抗沖擊性能的吸能緩沖結(jié)構(gòu)，具有十分重要的工程意義。蜂窩結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕，比強(qiáng)度、比剛度高，吸能緩沖性能優(yōu)越等眾多特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車船舶、裝甲防護(hù)等重要領(lǐng)域，因此對(duì)其沖擊特性進(jìn)行研究是十分重要的。近期研究表明[1-2]：在設(shè)計(jì)過(guò)程中引入含功能性基元，在微觀尺度和宏觀尺度上對(duì)材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造設(shè)計(jì)，創(chuàng)造超材料性能的復(fù)合材料，將使材料的宏觀物性大為提升。ARIGA等[3]使用納米尺度的單元通過(guò)各種組合選擇來(lái)生產(chǎn)功能材料，由簡(jiǎn)單單位組分富勒烯(C60和C70)零維單元進(jìn)行組合轉(zhuǎn)換成一維結(jié)構(gòu)、二維形態(tài)、三維圖案，甚至更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)，從而形成具有巨大形態(tài)變種的材料，擁有更廣泛應(yīng)用空間。楊德慶等[4]同樣使用功能基元拓?fù)浞椒ㄔO(shè)計(jì)零泊松比(ZPR)功能超材料，通過(guò)有限元方法驗(yàn)證了該功能基元的零泊松比效應(yīng)，并分析超材料試件的靜、動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明其具有更好的承載特性?；豉i等[5]基于鹿角骨單位結(jié)構(gòu)特征設(shè)計(jì)出了一種仿生薄壁管，并確定了該新型仿生薄壁管耐撞性的最優(yōu)層數(shù)。單個(gè)胞元對(duì)性能的提升有限，將胞元按照相同或不同的形式在空間中進(jìn)行堆垛排列，形成一種序構(gòu)，該序構(gòu)可有序或無(wú)序，亦或?qū)蛹?jí)，其引發(fā)基元間的耦合，可對(duì)性能有更大的提升。而恰恰蜂窩胞元是功能基元的典型結(jié)構(gòu)。RODERIC[6]對(duì)層級(jí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了定義，認(rèn)為將層級(jí)結(jié)構(gòu)引入到輕質(zhì)多孔蜂窩結(jié)構(gòu)中形成層級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)，具有提高多孔材料強(qiáng)度與能量吸收性能的優(yōu)點(diǎn)。AJDARI等[7]對(duì)具有自相似組織特性的層級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)力學(xué)性能進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)一級(jí)和二級(jí)蜂窩比同質(zhì)量的傳統(tǒng)蜂窩在剛度方面均有較大提升。SUN等[8-9]對(duì)層級(jí)三角形薄壁管的沖擊力學(xué)性能進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)層級(jí)設(shè)計(jì)對(duì)薄壁管的抗沖擊特性有較大提升。由“功能基元+仿生序構(gòu)”，蜂窩胞元組成的蜂窩超材料結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出特殊的力學(xué)性能和應(yīng)用前景，使得其逐漸成為未來(lái)輕量化、功能化材料/結(jié)構(gòu)的理想選擇。

“仿生學(xué)”的概念于1960年在美國(guó)第1次仿生學(xué)討論會(huì)上被正式提出，通過(guò)研究生物結(jié)構(gòu)、功能以及系統(tǒng)之間的相互作用來(lái)為工程技術(shù)領(lǐng)域提供相關(guān)的參考和指導(dǎo)。MILWICH等[10]由植物莖稈結(jié)構(gòu)受到啟發(fā)，提出了結(jié)構(gòu)輕量化仿生設(shè)計(jì)原理。SPECK[11]根據(jù)植物莖稈的中空結(jié)構(gòu)提出了變剛度設(shè)計(jì)的思想，以此實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化。ZOU等[12]根據(jù)竹子內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了仿竹薄壁管，研究表明，該新型仿生薄壁管相對(duì)于傳統(tǒng)薄壁管具有優(yōu)越的能量吸收性能。ZHU等[13]對(duì)羊角的力學(xué)性能進(jìn)行理論分析以及對(duì)羊角微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀測(cè)，創(chuàng)新性設(shè)計(jì)了具有良好耐撞性能的仿生管。LI等[14]提出一種仿蓮藕填充薄壁管結(jié)構(gòu)(LFT)，經(jīng)過(guò)分析和研究，該仿生薄壁管結(jié)構(gòu)具有很高的能量吸收效率，能夠提高車輛在正面碰撞載荷下的碰撞性能。HUANG等[15]以螳螂、蝦、螯結(jié)構(gòu)為原型，設(shè)計(jì)了一種仿生多胞薄壁管，采用LS-DYNA有限元分析軟件建立多胞管多工況沖擊下的有限元模型，并對(duì)其耐撞性進(jìn)行優(yōu)化。郭婷等[16]根據(jù)甲殼蟲外殼設(shè)計(jì)出了仿甲殼蟲芯柱并對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，利用有限元方法研究?jī)?yōu)化后模型的耐撞性和抗沖擊特性，同時(shí)與傳統(tǒng)圓管進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明優(yōu)化后的模型吸收能量更多，壓縮載荷更加穩(wěn)定，抗沖擊性能更好，可將其應(yīng)用在結(jié)構(gòu)防撞性和能量吸收裝置中。白中浩等[17]受甲蟲鞘翅微觀結(jié)構(gòu)啟發(fā)，提出了一種仿生微圓結(jié)構(gòu)汽車吸能盒，發(fā)現(xiàn)該新型仿生微圓結(jié)構(gòu)具有更加優(yōu)越的耐撞性?；豉i等[5]基于鹿角骨單位結(jié)構(gòu)特征設(shè)計(jì)出了一種梯度仿生薄壁管，并確定了該新型仿生薄壁管耐撞性最優(yōu)層數(shù)。生物材料結(jié)構(gòu)是自然進(jìn)化的結(jié)果，其在某些方面展現(xiàn)出獨(dú)特的力學(xué)性能和優(yōu)勢(shì)，因此對(duì)生物結(jié)構(gòu)材料進(jìn)行分析研究和仿生設(shè)計(jì)對(duì)于材料結(jié)構(gòu)功能一體化設(shè)計(jì)具有非常重要的參考價(jià)值和工程意義。

本文基于前期[18-21]研究基礎(chǔ)，采用仿生原理和功能基元序構(gòu)的設(shè)計(jì)思想，創(chuàng)新性提出一種新型形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，并對(duì)其面外沖擊特性進(jìn)行分析，研究了層級(jí)因子、結(jié)構(gòu)參數(shù)、胞元數(shù)目對(duì)該新型蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊特性的影響，為設(shè)計(jì)出具有更強(qiáng)抗沖擊力學(xué)性能的蜂窩材料提供理論依據(jù)和參考。

1 形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新構(gòu)型

1.1 仿生創(chuàng)新設(shè)計(jì)

如圖1所示鹿角骨骼微觀結(jié)構(gòu)，在鹿角骨骼中存在大量并行排列的微圓結(jié)構(gòu)，這些微圓結(jié)構(gòu)被稱為骨單位，骨單位主要由不同半徑的同心圓骨板層層黏結(jié)而成。鹿角作為一種生物材料，具有高強(qiáng)度、剛度、韌性以及抗沖擊的能力，而這些性質(zhì)又密切相關(guān)于其獨(dú)特的微觀結(jié)構(gòu)[22]，因此，鹿角骨骼中微圓結(jié)構(gòu)與鹿角整體優(yōu)良的力學(xué)性能以及抗沖擊能力密切相關(guān)。傳統(tǒng)六邊形蜂窩的動(dòng)、靜態(tài)力學(xué)性能已有大量研究，因此，在傳統(tǒng)六邊形蜂窩的基礎(chǔ)上，利用鹿角骨骼中的特殊微圓結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新性設(shè)計(jì)出一種形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)。根據(jù)對(duì)鹿角骨骼基本特征的提取以及相應(yīng)的演化設(shè)計(jì)，本文所設(shè)計(jì)的形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩胞元結(jié)構(gòu)如圖2所示，其主要包括零級(jí)胞元(見圖2 a))、一級(jí)胞元(見圖2 b))、二級(jí)胞元(見圖2 c))。其中零級(jí)胞元為正六邊形，一級(jí)胞元?jiǎng)t是在零級(jí)胞元的6個(gè)頂點(diǎn)向中心延伸并加入微圓結(jié)構(gòu)形成的層級(jí)胞元結(jié)構(gòu)，二級(jí)胞元是在一級(jí)胞元微圓結(jié)構(gòu)內(nèi)進(jìn)行更進(jìn)一步地層級(jí)設(shè)計(jì)形成的一種更高層級(jí)的胞元結(jié)構(gòu)，以此類推。形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩夾芯由上述不同層級(jí)的胞元結(jié)構(gòu)通過(guò)周期性排列而成，蜂窩級(jí)數(shù)與零級(jí)胞元內(nèi)圓形結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

圖1 鹿角骨骼微觀結(jié)構(gòu)

圖2 形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩單胞結(jié)構(gòu)

1.2 幾何尺寸

自相似層級(jí)類蜂窩胞元結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)尺寸如圖3所示，其主要包括零級(jí)胞元、一級(jí)胞元、二級(jí)胞元。首先，3種層級(jí)的胞元結(jié)構(gòu)最外沿均為正六邊形，且其胞壁長(zhǎng)度均為l；零級(jí)蜂窩胞元壁厚記為t0，一級(jí)蜂窩和二級(jí)蜂窩分別記為t1和t2；一級(jí)胞元內(nèi)部的微圓結(jié)構(gòu)半徑記為r1，二級(jí)胞元中的二級(jí)微圓結(jié)構(gòu)的半徑記為r2,同時(shí)文中所有蜂窩夾芯沿面外方向的厚度均記為h，且尺寸關(guān)系滿足l=2r1=4r2。

圖3 形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩單胞結(jié)構(gòu)尺寸

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及討論

2.1 有限元模型建立及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用ABAQUS/Explicit顯式動(dòng)力學(xué)模塊建立的形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)面外沖擊有限元數(shù)值計(jì)算模型如圖4所示，該模型具體由上、下剛性面板以及中間蜂窩夾芯3部分組成。計(jì)算過(guò)程中對(duì)下剛性板進(jìn)行固定約束，對(duì)上剛性板分別施加10，20和30 m/s的恒定沖擊速度。模型中對(duì)蜂窩夾芯采用四節(jié)點(diǎn)縮減積分殼單元S4R單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，厚度方向設(shè)置5個(gè)積分點(diǎn)，剛性板則采用實(shí)體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為了同時(shí)保證計(jì)算精度和效率，將蜂窩網(wǎng)格大小設(shè)置為0.3 mm，剛性板網(wǎng)格大小設(shè)置為0.5 mm。蜂窩與剛性板之間的接觸設(shè)定為通用接觸，其中靜摩擦系數(shù)和動(dòng)摩擦系數(shù)分別置為0.3和0.2。蜂窩基體材料選用鋁合金AA3003-H18，其力學(xué)性能具體如下：密度ρs=2 700 kg/m3，彈性模量Es=69 GPa，屈服應(yīng)力σs=115.8 MPa，泊松比為0.33。3種蜂窩胞壁長(zhǎng)度l均取5 mm,蜂窩面外厚度h均取24 mm。蜂窩結(jié)構(gòu)壁厚尺寸在2.4節(jié)討論。為了驗(yàn)證面外沖擊有限元數(shù)值計(jì)算模型的準(zhǔn)確性，對(duì)零級(jí)蜂窩進(jìn)行面外沖擊數(shù)值模擬。

圖4 面外沖擊有限元數(shù)值計(jì)算模型

圖5為數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比[23]，由圖5可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，證明了有限元數(shù)值計(jì)算模型的可靠性。

圖5 零級(jí)蜂窩面外沖擊有限元數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)對(duì)比[23]

2.2 耐撞性評(píng)價(jià)指標(biāo)

夾層結(jié)構(gòu)的主要耐撞性指標(biāo)包括總吸收能量(EA)、比吸能(SEA)、峰值碰撞力(PCF)、平均碰撞力(MCF)以及載荷效率(CFE)等。SEA是指結(jié)構(gòu)單位質(zhì)量的吸能率，是最關(guān)鍵的吸能效率指標(biāo)，其可表示為

(1)

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量；EA表示結(jié)構(gòu)在塑性變形過(guò)程中的總吸收能量，其方程為

(2)

式中：d為有效壓縮位移；F(x)為沖擊過(guò)程瞬態(tài)沖擊力。PCF和MCF與乘員的安全密切相關(guān)。CFE為平均載荷與碰撞峰值載荷的比值，具體可表示為

(3)

(4)

其中CFE越高，表示載荷穩(wěn)定性就越高。

2.3 數(shù)值模擬

如圖6所示，蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)在受到?jīng)_擊載荷時(shí)典型的壓潰力-應(yīng)變曲線，包含了具有明顯不同特征的4個(gè)階段：階段Ⅰ為線彈性階段，蜂窩芯層發(fā)生彈性變形；階段Ⅱ?yàn)樗苄郧冃坞A段，此階段蜂窩芯層坍塌，發(fā)生失效；階段Ⅲ為應(yīng)力平臺(tái)區(qū)，是蜂窩芯材的主要能量吸收區(qū)，經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)和仿真研究證明，應(yīng)力平臺(tái)區(qū)越長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)的能量吸收效果越好；階段Ⅳ為密實(shí)化階段，蜂窩芯層壓縮變形逐漸積累，直至密實(shí)化，此時(shí)結(jié)構(gòu)的變形增量減小，結(jié)構(gòu)整體能量吸收效率降低。

圖6 沖擊載荷作用下典型的壓潰力-應(yīng)變曲線

2.3.1 等相對(duì)密度

圖7 形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩夾芯拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)代表單元體示意圖

為保證蜂窩整體截面積相等，即等相對(duì)密度。經(jīng)計(jì)算，此時(shí)，零級(jí)、一級(jí)和二級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)壁厚如表1所示。由表1中的不同層級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)壁厚數(shù)值得到的各級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)模型如圖8所示。

表1 不同層級(jí)蜂窩壁厚

圖8 等相對(duì)密度形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩模型

2.3.2 變形模式

圖9反映了不同層級(jí)蜂窩在等相對(duì)密度條件下，其面外沖擊速度作用下的變形模式。由圖9 a)可以看出，在10 m/s沖擊速度作用下，3種層級(jí)的蜂窩均是從遠(yuǎn)離沖擊板的一端開始發(fā)生壓潰變形；由圖9 b)和圖9 c)可知，當(dāng)沖擊速度為20 m/s和30 m/s時(shí)，起始變形區(qū)域開始向沖擊端轉(zhuǎn)移，這是慣性效應(yīng)增強(qiáng)導(dǎo)致的結(jié)果。三者之間最為明顯的差異是折疊波長(zhǎng)會(huì)隨蜂窩層級(jí)的改變而發(fā)生變化，從數(shù)值模擬結(jié)果來(lái)看，折疊波長(zhǎng)會(huì)隨蜂窩層級(jí)的提升而變短，波長(zhǎng)越短，壓縮就會(huì)更加充分，結(jié)構(gòu)能量吸收效率就會(huì)越高。同時(shí)，也可以發(fā)現(xiàn)，在不同速度沖擊載荷作用下，不同層級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)的壓縮變形過(guò)程均很穩(wěn)定，滿足工程領(lǐng)域?qū)ξ軜?gòu)件的基本需求。

圖9 層級(jí)蜂窩在不同沖擊速度作用下的變形模式

2.3.3 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與能量吸收特性

圖10為不同層級(jí)蜂窩在等相對(duì)密度條件下受到面外沖擊載荷時(shí)的壓縮反力-位移曲線。由圖10可以看出，在不同沖擊速度作用下，平臺(tái)壓縮反力隨著蜂窩層級(jí)的提升而提升，但并不明顯。雖然峰值碰撞力有所增大，但是由圖11、圖12可以看出，其載荷效率及比吸能仍然隨著層級(jí)的增加而增加。尤其在10 m/s沖擊速度作用下，CFE及SEA的提升受層級(jí)因子影響最為明顯。在10 m/s沖擊速度作用下，一級(jí)蜂窩和二級(jí)蜂窩的載荷效率相比于零級(jí)蜂窩分別提升21%和40%，比吸能分別提升11%和28%。層級(jí)設(shè)計(jì)可以有效提升蜂窩結(jié)構(gòu)的比吸能和載荷效率。

圖10 不同層級(jí)蜂窩的壓縮反力-位移曲線

圖11 不同層級(jí)蜂窩的載荷效率對(duì)比

圖12 不同層級(jí)蜂窩的比吸能對(duì)比

2.4 等壁厚

當(dāng)一級(jí)、二級(jí)蜂窩與零級(jí)蜂窩壁厚相等時(shí)，3種蜂窩結(jié)構(gòu)壁厚為t0=t1=t2=0.1 mm。圖13表示不同層級(jí)蜂窩在壁厚均為0.1 mm時(shí)的有限元模型。

圖13 等壁厚形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩模型

2.4.1 變形模式

圖14反映了不同層級(jí)蜂窩在等壁厚條件下，其面外沖擊速度作用下的變形模式。層級(jí)蜂窩分別在10，20和30 m/s速度沖擊載荷作用下的變形模式，與等相對(duì)密度條件下的變形模式基本相同。由圖14 a)可以看出，在10 m/s沖擊速度作用下，3種層級(jí)的蜂窩均是從遠(yuǎn)離沖擊板的一端開始發(fā)生壓潰變形；由圖14 b)和圖14 c)可知，當(dāng)沖擊速度為20 m/s和30 m/s時(shí)，起始變形區(qū)域開始向沖擊端轉(zhuǎn)移。由于本研究中壁厚尺寸選取的局限性，在2種壁厚條件下，其變形模式基本相同。

圖14 層級(jí)蜂窩在不同沖擊速度作用下的變形模式

2.4.2 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與能量吸收特性

圖15為不同層級(jí)蜂窩在等壁厚面外沖擊速度作用下的壓縮反力-位移曲線。由圖15可以看出，在不同沖擊速度作用下，平臺(tái)壓縮反力會(huì)隨著蜂窩層級(jí)的提升而急速提升，雖然峰值碰撞力有所增大，但是由圖16、圖17可以看出，其CFE及SEA還是隨著層級(jí)的增加而增加并且效果是十分顯著的。在10 m/s沖擊速度作用下，一級(jí)蜂窩和二級(jí)蜂窩的載荷效率相比于零級(jí)蜂窩分別提升77%和115%，比吸能分別提升72%和116%。

圖15 不同層級(jí)蜂窩的壓縮反力-位移曲線

圖16 不同層級(jí)蜂窩的載荷效率對(duì)比

圖17 不同層級(jí)蜂窩的比吸能對(duì)比

通過(guò)對(duì)等相對(duì)密度以及等壁厚2種情況下的形內(nèi)自相似類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)進(jìn)行沖擊載荷狀態(tài)下的數(shù)值模擬，可以得到以下結(jié)論：蜂窩結(jié)構(gòu)受層級(jí)影響，其能量吸收效率以及比吸能會(huì)隨著層級(jí)的提高而提高，層級(jí)設(shè)計(jì)可以有效提升蜂窩結(jié)構(gòu)的能量吸收性能。

3 有限元模型的理論驗(yàn)證

采用簡(jiǎn)化的超折疊單元理論建立形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)面外壓縮理論模型[24]。該理論認(rèn)為當(dāng)薄壁結(jié)構(gòu)受到面外沖擊載荷作用時(shí)，系統(tǒng)能量保持守恒。外力做功被薄壁結(jié)構(gòu)以彎曲能和延展能的形式散耗，對(duì)于一個(gè)完整的折疊單元，存在以下表達(dá)式：

Pm×2H×k=Ub+Um，

(5)

式中：Pm為壓縮過(guò)程中的平均壓縮力；2H表示折疊波長(zhǎng)度；k為單個(gè)折疊單元實(shí)際壓縮長(zhǎng)度與總長(zhǎng)度的比值，其范圍在0.7～0.8之間[25]；Ub和Um分別為一個(gè)折疊單元在壓縮過(guò)程中耗散的彎曲吸能和延展吸能。圖18 a)為折疊單元發(fā)生壓縮時(shí)折疊波形成示意圖，由圖18 a)可知一個(gè)折疊波形成時(shí)，會(huì)產(chǎn)生3條塑性鉸鏈，折疊單元的彎曲能可通過(guò)三塑性鉸鏈的彎曲能求和得到，即

圖18 基本折疊單元變形模式

(6)

(7)

Ub=2πM0L。

(8)

對(duì)于具有多個(gè)折疊單元的薄壁結(jié)構(gòu)，總延展能為所有折疊單元延展能的總和，具體可表示為

Um=NMm，

(9)

式中：N為折疊單元的數(shù)目；Mm為單個(gè)折疊單元的延展能。

在零級(jí)蜂窩中存在2種折疊單元，分別是1型單元和2型單元，其具體結(jié)構(gòu)如圖19所示。

圖19 零級(jí)蜂窩中的折疊單元示意圖

對(duì)于1型單元，其延展能可表示為[24]

(10)

對(duì)于2型單元，其延展能則可表示為[20]

(11)

對(duì)于具有n×n胞元排列的零級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)，其總延展能可表示為

Um0=N1M1+N2M2，

(12)

式中

(13)

因此，零級(jí)蜂窩的總延展能可表示為

(14)

零級(jí)蜂窩截面總長(zhǎng)度L0可表示為

L0=(3n2+2.5n+0.5)l，

(15)

則零級(jí)蜂窩總彎曲能可表示為

Ub0=2πM0L0。

(16)

將式(14)、式(16)代入式(5)，得

(17)

根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)條件，有

(18)

根據(jù)式(18)可推導(dǎo)出H的表達(dá)式：

(19)

將式(19)代入式(17)，可求得

(20)

若蜂窩軸向長(zhǎng)度為d，當(dāng)其充分壓縮時(shí)，結(jié)構(gòu)總能量吸收可表示為

(21)

結(jié)構(gòu)比吸能可表示為

(22)

一級(jí)蜂窩中存在4種折疊單元，4種折疊單元分別如圖20所示。

圖20 一級(jí)蜂窩中的折疊單元示意圖

對(duì)于3型單元，其延展能可表示為

(23)

對(duì)于4型單元其延展能則可表示為

(24)

對(duì)于5型單元其延展能則可表示為

(25)

對(duì)于6型單元其延展能則可表示為[17]

(26)

對(duì)于具有n×n胞元排列的一級(jí)蜂窩，其總延展能可表示為

(27)

式(27)中

(28)

此時(shí)，一級(jí)蜂窩的總延展能可表示為

(29)

一級(jí)蜂窩截面總長(zhǎng)度可表示為

L1=(3n2+2.5n+0.5)l+(n2-0.5n+0.5)(π+3)l，

(30)

則一級(jí)蜂窩總彎曲能可表示為

Ub1=2πM0L1，

(31)

(32)

若蜂窩軸向長(zhǎng)度為d，當(dāng)其充分壓縮時(shí)，結(jié)構(gòu)總能量吸收可表示為

(33)

結(jié)構(gòu)比吸能可表示為

(34)

在二級(jí)蜂窩中，存在5種折疊單元，其具體結(jié)構(gòu)如圖21所示。

圖21 二級(jí)蜂窩中的折疊單元示意圖

對(duì)于7型折疊單元，其延展能可表示為

(35)

對(duì)于具有n×n胞元排列的二級(jí)蜂窩，其總延展能可表示為

(36)

式中

N7=6n2-3n+3。

(37)

此時(shí)，二級(jí)蜂窩的總延展能可表示為

(38)

二級(jí)蜂窩截面總長(zhǎng)度可表示為

(39)

則二級(jí)蜂窩總彎曲能可表示為

Ub2=2πM0L2。

(40)

可求得

(41)

若蜂窩軸向長(zhǎng)度為d，當(dāng)其充分壓縮時(shí)，結(jié)構(gòu)總能量吸收可表示為

(42)

結(jié)構(gòu)比吸能可表示為

(43)

對(duì)于N級(jí)蜂窩，截面總長(zhǎng)度為

(44)

因此，總彎曲能可表示為

UbN=2πM0LN。

(45)

總延展能可表示為

(46)

可求得

(47)

若蜂窩軸向長(zhǎng)度為d，當(dāng)其充分壓縮時(shí)，結(jié)構(gòu)總能量吸收可表示為

(48)

結(jié)構(gòu)比吸能可表示為

(49)

為了驗(yàn)證上述理論模型的正確性，將零級(jí)蜂窩相關(guān)參數(shù)代入式(20)中可求得Pm=1.77 kN。將理論計(jì)算和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可得到如圖22所示的曲線圖。從圖中可以看出，理論計(jì)算與數(shù)值模擬整體吻合良好，只是在沖擊過(guò)程后半段誤差略有增大，這是因?yàn)樵跊_擊過(guò)程后半段，蜂窩失穩(wěn)導(dǎo)致平臺(tái)壓縮反力下降造成的。不過(guò)從整體來(lái)看，以上誤差均在可接受范圍內(nèi)，證明上述理論模型具有較高的可靠性，可為后續(xù)研究提供理論基礎(chǔ)。

圖22 零級(jí)蜂窩面外沖擊數(shù)值模擬結(jié)果與理論計(jì)算對(duì)比

4 結(jié)構(gòu)尺寸和胞元數(shù)目對(duì)形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩面外沖擊特性的影響

基于上述理論模型，研究了胞元壁厚t、胞壁長(zhǎng)度l以及胞元數(shù)目n對(duì)形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)面外沖擊平均壓縮反力和比吸能的影響，結(jié)果如圖23、圖24所示。由圖23可知，在面外沖擊載荷作用下，不同層級(jí)蜂窩結(jié)構(gòu)平均壓縮反力會(huì)隨胞壁長(zhǎng)度和胞元壁厚的增大而增大，并且胞元壁厚的影響會(huì)更加顯著。由圖24可以看出，不同層級(jí)蜂窩的比吸能會(huì)隨蜂窩壁厚的增大而增大，隨胞壁長(zhǎng)度的增大而不斷減小。這2種情況并不矛盾，胞壁長(zhǎng)度以及胞元壁厚的增大均會(huì)導(dǎo)致沖擊過(guò)程中壓縮反力的提升，但是二者的影響效果并不相同。

圖23 結(jié)構(gòu)尺寸和胞元數(shù)目對(duì)不同層級(jí)蜂窩面外壓縮反力的影響

圖24 結(jié)構(gòu)尺寸和胞元數(shù)目對(duì)不同層級(jí)面外沖擊比吸能的影響

圖25反映了在特定結(jié)構(gòu)尺寸下，胞元數(shù)目對(duì)不同層級(jí)蜂窩比吸能的影響。由圖25可以看出，胞元數(shù)目對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)的比吸能是有較大影響的，并且隨著胞元數(shù)目的增大，不同層級(jí)蜂窩比吸能開始收斂為一個(gè)穩(wěn)定值。在相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下，胞元數(shù)目為20的零級(jí)蜂窩、一級(jí)蜂窩、二級(jí)蜂窩的比吸能相比于單胞的零級(jí)蜂窩、一級(jí)蜂窩、二級(jí)蜂窩分別提升30.0%，28.1%和17.0%。同時(shí)，從圖24中也可以看出蜂窩層級(jí)對(duì)結(jié)構(gòu)比吸能的影響，當(dāng)胞元數(shù)目為20時(shí)，一級(jí)蜂窩的比吸能較零級(jí)蜂窩提升36.9%，二級(jí)蜂窩的比吸能較一級(jí)蜂窩提升24.7%。綜上所述，結(jié)構(gòu)尺寸以及胞元數(shù)目均會(huì)對(duì)形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩面外沖擊性能產(chǎn)生較大影響，其中增大胞元壁厚、減小胞壁長(zhǎng)度以及增加胞元數(shù)目均能使結(jié)構(gòu)的比吸能得到較為明顯的提升。

圖25 特定尺寸下胞元數(shù)目對(duì)層級(jí)蜂窩比吸能的影響

5 結(jié) 論

由生物材料鹿角受到啟發(fā)，在傳統(tǒng)六邊形的基礎(chǔ)上，融合鹿角骨骼中的微圓結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新性設(shè)計(jì)了一種形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)。首先，建立了傳統(tǒng)六邊形蜂窩，以及一、二級(jí)層級(jí)蜂窩在面外方向上恒定速度沖擊的有限元模型。利用數(shù)值模擬和理論相結(jié)合的方法對(duì)其面外沖擊特性進(jìn)行了分析和研究，并得到了如下結(jié)論。

1)在面外沖擊載荷作用下，對(duì)等相對(duì)密度及等壁厚2種結(jié)構(gòu)條件下的蜂窩結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行數(shù)值模擬，形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)相較于傳統(tǒng)蜂窩結(jié)構(gòu)有更高的能量吸收率以及載荷效率。

2)基于簡(jiǎn)化的超折疊理論建立了形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)面外沖擊理論模型，驗(yàn)證了該理論模型的可靠性，可為該新型蜂窩在工程應(yīng)用中的耐撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論參考。

3)通過(guò)數(shù)值模型，進(jìn)一步探究了蜂窩結(jié)構(gòu)尺寸和胞元數(shù)目對(duì)其面外沖擊性能的影響。結(jié)構(gòu)參數(shù)和胞元數(shù)目對(duì)形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩面外沖擊性能影響較大，其中增大蜂窩壁厚、減小胞壁長(zhǎng)度以及增加胞元數(shù)目均能使結(jié)構(gòu)的比吸能得到有效提升。

4)結(jié)構(gòu)的比吸能會(huì)隨著胞元數(shù)目的增加而增大，但是當(dāng)胞元數(shù)目增加到一定規(guī)模時(shí)，結(jié)構(gòu)的比吸能會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。

層級(jí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可有效提高蜂窩結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能，對(duì)于形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)而言，在不同方向上具有不同的力學(xué)性能，未來(lái)還需對(duì)該類蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)力學(xué)性能進(jìn)行研究，以及對(duì)形內(nèi)自相似層級(jí)類蜂窩結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) ，使之在特定的尺寸條件下具有更優(yōu)越的力學(xué)性能參數(shù)，使整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量更輕，為結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)提供一種新思路。