朱懷念，黃思涵，黃佳怡，黃永豪

（廣東工業(yè)大學 經(jīng)濟學院, 廣東 廣州, 510520）

曖昧性(ambiguity)描述的是市場主體在做出決策時，經(jīng)濟環(huán)境所具有的不確定性，有別于經(jīng)典金融理論中風險的概念，曖昧不確定性無法在事前用唯一的先驗概率測度來描述。曖昧性的概念最早由Knight[1]提出，他將經(jīng)濟環(huán)境的不確定性區(qū)分為風險和Knight不確定性兩類。之后，Ellsberg[2]在其研究中又將Knight不確定性重新命名為曖昧性。此后，曖昧性被廣泛引入到投資決策、市場均衡及資產(chǎn)定價的理論研究中，參見文獻[3-5]。

再保險作為保險公司分散經(jīng)營風險、控制保險責任的重要手段，在整個保險運營體系中占據(jù)非常重要的地位。同時，為了提高盈利、確保償付能力，保險公司會將其盈余投資到金融市場。因而投資與再保險決策在保險實務(wù)中備受重視，逐漸受到越來越多專家學者的關(guān)注，曖昧厭惡的概念也被引入到投資與再保險問題中，產(chǎn)生了許多研究成果，例如Yi等[6]、Zeng等[7]、Zheng等[8]、Huang等[9]、Li等[10]建立了參數(shù)曖昧環(huán)境下的魯棒最優(yōu)投資與再保險優(yōu)化模型，利用隨機控制理論得到了魯棒最優(yōu)策略。

近年來，自Liu和Pan[11]做出了包含衍生品投資的研究以來，已有部分學者展開了包含衍生品交易的最優(yōu)投資與再保險問題研究。王蕾和顧孟迪[12]在Black-Scholes模型的假設(shè)下研究了包含衍生品交易的最優(yōu)投資與再保險問題。傅毅等[13]在假設(shè)風險資產(chǎn)服從CEV模型的條件下，探討了保險公司的投資對象中包含歐式看漲期權(quán)的最優(yōu)投資和比例再保險決策問題。Xue等[14]則在Heston隨機波動率模型下，討論了包含衍生品交易的最優(yōu)投資與再保險決策問題，這些研究表明，衍生品交易可以顯著提高保險公司的效用水平。

雖然上述文獻為研究包含衍生品交易的投資與再保險問題提供了研究框架，但是這些文獻關(guān)注的重點要么局限在模型參數(shù)的曖昧性上，要么局限在包含衍生品的投資上，忽視了將二者結(jié)合起來研究。事實上，將模型參數(shù)的曖昧性與衍生品交易結(jié)合起來研究最優(yōu)投資問題的成果已經(jīng)出現(xiàn)，例如Escobar等[15]，Zeng等[16]，王佩等[17]在參數(shù)曖昧環(huán)境下討論了包含衍生品交易的最優(yōu)投資問題。但縱觀現(xiàn)有關(guān)于投資與再保險問題的相關(guān)研究中，同時考慮衍生品交易及參數(shù)曖昧的研究暫時還未見報道，因此本文在Xue等[14]、Escobar等[15]及Zeng等[16]的基礎(chǔ)上，研究同時考慮模型參數(shù)的曖昧性與衍生品交易情形下最優(yōu)投資與再保險決策問題，希望所得結(jié)果能為保險公司管理者的決策提供理論依據(jù)。

1 模型設(shè)定

令(?,F,F,P) 為一個完備概率空間，濾波F={Ft}t∈[0,T]滿 足一般條件，即，{Ft}t∈[0,T]右連續(xù)且P–完備，P是一現(xiàn)實概率測度。T<∞為一給定的有限常數(shù)，表示終端時刻。{Ft}t∈[0,T]表 示直到t時刻決策者可利用的所有信息。假定市場中沒有任何交易費用和稅收，交易亦可連續(xù)進行。

1.1 盈余過程

考慮一家在保險市場和金融市場同時進行交易的保險公司，該公司在保險市場上通過購買比例再保險來管理潛在風險，通過在金融市場投資來實現(xiàn)財富的保值增值。

參照Promislow和Young[18]，用擴散過程來近似描述保險公司的索賠C(t)，即

式中：a和b為正的常數(shù)，B0(t)是一維標準布朗運動。假設(shè)保險公司使用期望保費原理收取保費，即c0=(1+τ)a，其中，τ >0表示保險公司的安全負載。在不考慮再保險的情形下，保險公司的盈余R(t)可表示為

出于風險控制的需要，假設(shè)保險公司在t時刻向再保險公司購買了q(t)∈[0,1]比例的再保險。不失一般性，假設(shè)再保險公司亦以期望保費原理收取保費，則再保險公司收取的保費率可表示為c1=(1+?)(1?q(t))a，式中的? 為再保險公司的安全負載，滿足? ≥τ>0。因此，考慮再保險后保險公司的盈余Rq(t)可描述為

1.2 金融市場

保險公司除購買再保險外，還將其保險盈余投資于金融市場。參照Xue等[14]，假設(shè)有3種資產(chǎn)可供保險公司進行投資選擇：第一種為無風險資產(chǎn)(如銀行存款)，第二種是股票，第三種是以股票為標的資產(chǎn)的衍生品(如期權(quán))。假定無風險資產(chǎn)在t時刻的價格S0(t)滿足下述常微分方程

式(5) 和(6) 中，η 是擴散風險B1(t)的溢價，方差過程V(t)的 長期均值為μ >0， 均值回復速率κ >0，波動率為 σ >0。B1(t)和B2(t)是兩個相互獨立的一維標準布朗運動， ρ ∈[?1,1]為股票價格與波動率之間的相關(guān)系數(shù)。為了研究的簡便，假設(shè)B0(t)與B1(t)及B2(t)獨立。

參照Liu和Pan[11]、Zeng等[16]及Xue等[14]，假設(shè)衍生品在t時刻的價格為O(t)?O(t,S(t),V(t))，它依賴于標的股票的價格S(t) 及波動率V(t)，例如對一份到期日為 τ，執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)來說，O(t,S(t),V(t))=c(S(t),V(t);K,τ) ， 其中c是一個給定函數(shù)。利用It?引理和偏微分方程基本原理，可得O(t)滿足如下隨機微分方程

式 中：OS和OV分 別 表示O(t,S(t),V(t)) 關(guān) 于S(t) 和V(t)的一階偏導，ξ 是波動率風險B2(t)的溢價。

1.3 財富過程

考慮一個初始財富為x0>0的保險公司，對任意的t∈[0,T]， 令α (t)和 β(t) 分 別表示保險公司于t時刻投資在股票和衍生品上的財富，余下的全部投資在無風險資產(chǎn)上。于是，保險公司的投資與再保險策略可以記為 π (t)=(q(t),α(t),β(t))。 在策略π (t)下，保險公司的財富過程Xπ(t)可用下式來表示

2 魯棒優(yōu)化模型的構(gòu)建

在已有投資與再保險問題的研究中，大多數(shù)研究假設(shè)保險公司是曖昧中性(ambiguity neutral)的，而現(xiàn)實中的保險公司多為曖昧厭惡(ambiguity averse)的，因此，本文假設(shè)保險公司是曖昧厭惡的。該保險公司使用一個參考模型去描述風險過程及資產(chǎn)價格動態(tài)，基于模型參數(shù)的曖昧性(例如參數(shù)估計有誤差、市場的異常波動和數(shù)據(jù)采集不夠等多種原因造成)，曖昧厭惡的保險公司通過引入一系列替代模型來達到穩(wěn)健策略，并且替代模型和參考模型間的差異通過不同概率之間的測度轉(zhuǎn)換來反映。假定參考模型由概率測度P刻畫，某一替代模型由概率測度Q刻畫，兩者之間滿足P～Q，也就是測度P與Q之間是等價的，所以這一系列替代模型可以用概率測度集Q= {Q|Q～P}來刻畫。

在替換測度Q∈Q下，標準布朗運動B0(t)、B1(t)和B2(t)可表示為

相應地，在替換測度Q下，保險公司的盈余過程、股票價格、股票收益的方差及衍生品價格可分別表示為

(ii) 對任意的(t,x,v)∈[0,T]×R×R，方程(14) 存

γ>0為 保險公司的絕對風險厭惡系數(shù)，γ 越大表示保險公司越厭惡風險；D(P//Q)>0為懲罰項，用以表示對替換測度與參考測度之間的距離進行的懲罰。

3 魯棒最優(yōu)策略的推導

上節(jié)內(nèi)容勾勒了保險公司面臨參數(shù)曖昧下的魯棒優(yōu)化問題框架，接下來將借助動態(tài)規(guī)劃原理求解該魯棒優(yōu)化問題。為了文章嚴謹，首先給出魯棒優(yōu)化問題的驗證定理，然后再給出魯棒最優(yōu)策略的解析表達。

3.1 驗證定理

驗證定理確保了HJB方程(19) 的解確為值函數(shù)，定理的具體內(nèi)容如下。

定理1(驗證定理) 如果存在實值函數(shù)W(t,x,v)∈C1,2([0,T]×R×R)和 馬爾科夫控制( π?,??)∈Π×Θ，使得下述條件成立：

3.2 魯棒最優(yōu)策略

魯棒最優(yōu)策略的解析表達由下述定理2給出。

定理2 對魯棒優(yōu)化問題(15) ，假定保險公司采用式(16) 的指數(shù)效用函數(shù)，則HJB方程(19) 存在下述形式的解析表達

4 無衍生品交易情形下的魯棒最優(yōu)策略

為了比較衍生品交易的價值，本節(jié)討論無衍生品交易情形下保險公司的魯棒最優(yōu)投資與再保險決策。如果金融市場不包含衍生品交易，則最優(yōu)的投資策略等價于對擴散風險B1(t)的最優(yōu)風險敞口，且在測度Q下曖昧厭惡型保險公司的財富過程變?yōu)?/p>

下述定理給出了無衍生品交易情形下最優(yōu)策略及值函數(shù)的解析表達。

定理3 對無衍生品交易的魯棒優(yōu)化問題(46) ，HJB方程(47) 存在下述形式的解析表達

式中：

定理3的證明類似定理2，囿于篇幅所限，這里不再給出證明過程。

5 數(shù)值算例

表1 模型的基本參數(shù)Table 1 Base parameters of the model

5.1 最優(yōu)再保險策略的參數(shù)敏感性分析

由式(23) 可知，模型的最優(yōu)再保險策略q*受到參數(shù)a、b、r、 ?、γ及ω0的影響，因此本部分首先考察當a、b、r、 ?、γ和ω0發(fā)生變化時最優(yōu)再保險策略q*的變化規(guī)律，相關(guān)結(jié)果見圖1～圖3。

圖1揭示了索賠的期望值a和 波動率b對最優(yōu)再保險策略q*的影響。首先由圖1可以看出，最優(yōu)再保險策略q?關(guān)于a單調(diào)遞增。這可以解釋為：假設(shè)其他參數(shù)固定不變，a越大，保險公司基于期望保費原理收取的保費收入也就越多。就算較大的索賠期望本身代表著較大的賠付風險，但是基于期望保費原理收取的險資在滿足凈利的條件下，在面對大量的保單時，保險公司其實還是可以獲取較大收益的。所以保險公司一般會選擇較高的自留比例。其次，從圖1中還可以看出最優(yōu)再保險策略q?關(guān)于b單調(diào)遞減。這是因為b越大，反映出賠付額和賠付次數(shù)的變化范圍越大，意味著保險公司面臨了越大的賠付風險，因而保險公司出于分擔風險的目的，會購買更大比例的再保險，自己承擔較小的比例，即q*取值越小。

圖1 a和b對最優(yōu)再保險策略q＊的影響Fig.1 Effect of a and b on q＊

圖2描述了無風險利率r和再保險公司關(guān)于安全負載 ?對最優(yōu)再保險策略q?的影響。從圖2中可以看出，q?是r的減函數(shù)，是? 的增函數(shù)。這可以解釋為：首先，假設(shè)其他參數(shù)固定不變，r越大時，保險公司可將其盈余投資在無風險資產(chǎn)上獲得更大的收益，這使得保險公司有更多的資金去購買再保險，因而自留比例q?越小。其次，從再保險公司收取的保費c1=(1+?)(1?q)a的組成可以反映出，當其他相應的參數(shù)都不變時，再保險公司的安全負荷? 越大，保險公司所要支付的再保費也越高，由此保險公司就會在自身能承受的風險范圍內(nèi)采取盡量高的自留比例值，即再保險策略q?的取值越大。

圖2 r和? 對最優(yōu)再保險策略q＊的影響Fig.2 Effect of r and ? on q＊

圖3展示了風險厭惡系數(shù)γ 和曖昧厭惡系數(shù) ω0對最優(yōu)再保險策略值q?的影響?？梢钥闯鰍?關(guān)于γ 和ω0均單調(diào)遞減。這是因為γ 和 ω0越大，表明保險公司越厭惡風險和索賠的不確定性，因而會選擇將風險更多的分擔給再保險公司，自己留下較低的比例，即q?越小。

圖3 γ和ω0對最優(yōu)再保險策略q＊的影響Fig.3 Effect of γ and ω0 on q＊

5.2 最優(yōu)投資策略的參數(shù)敏感性分析

由式(25) 和(26) 可知，最優(yōu)投資策略α*和β*主要受到參數(shù)κ、σ、η、ξ、ω1及ω2的影響，因此接下來考察κ、σ、η、ξ、ω1與ω2的變動基于最優(yōu)投資策略α*和β*的變化，相關(guān)結(jié)果見圖4～圖9。

圖4和圖5揭示了曖昧厭惡系數(shù)ω1和ω2對最優(yōu)投資策略α*和β*的影響。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，α*和β*均關(guān)于ω1和ω2單調(diào)遞減。同股票上的投資頭寸α*相比，期權(quán)上的投資頭寸β*受ω1的影響較小。當ω1增加時，表示股票投資收益的不確定性增加，因而保險公司會購買較少頭寸的股票。β*隨ω2的變化趨勢可類似解釋，當ω2增加時，它會減少股票價格波動率的風險溢價，因而對一個風險厭惡的保險公司來說，期權(quán)的投資吸引力已變得越來越小，會引起在期權(quán)上的投資頭寸變小。

圖4 ω1與ω2對最優(yōu)投資策略α＊的影響Fig.4 Effect of ω1 and ω2 on α＊

圖5 ω1與ω2對最優(yōu)投資策略β＊的影響Fig.5 Effect of ω1 and ω2 on β＊

圖6和圖7描述了均值回復速度κ和收益率方差σ對最優(yōu)投資策略α*和β*的影響。從圖中可以看出，隨著κ的增加，α*和β*均跟著減小。因為ρ為負，股票收益的波動V(t) 和股票的價格S(t) 的運動變化方向相反，κ越大，V(t) 變化的波動相應抵消效用就越不明顯，這增加了股票價格下跌的風險，因而保險公司會減少在股票和期權(quán)上的持有頭寸。此外，從圖中還可以看出α*和β*均隨著σ的增加而減少，這是因為σ越大，投資股票的風險越大，因而保險公司則會減少在其股票和期權(quán)上的投資比例。

圖6 κ與σ對最優(yōu)投資策略α＊的影響Fig.6 Effect of κ and σ on α＊

圖7 κ與σ對最優(yōu)投資策略β＊的影響Fig.7 Effect of κ and σ on β＊

圖8和圖9刻畫了風險溢價因子η和ξ對最優(yōu)投資策略α*和β*的影響。首先從圖中可以看出，α*隨著η的增加而增加，而β*則幾乎不受η變化的影響。這是因為隨著η的增加，投資股票變得更加有利可圖，因而保險公司會增持在股票上的投資額。此外，從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，α*和β*均是ξ的減函數(shù)，因為當ξ變小時，投資期權(quán)的吸引力越來越小，這使得保險公司減少了在股票和期權(quán)上的投資，這與Xue等[14]得到的結(jié)論是一致的。

圖8 η與ξ對最優(yōu)投資策略α＊的影響Fig.8 Effect of η and ξ on α＊

圖9 η與ξ對最優(yōu)投資策略β＊的影響Fig.9 Effect of η and ξ on β＊

5.3 效用改進

最后研究衍生品交易對保險公司的效用改進情況。針對這種情形，通過對比考慮衍生品交易與不考慮衍生品交易兩種情況下保險公司的效用函數(shù)來計算效用改進。此時相應的效用改進函數(shù)可定義為

式中的J(t,x,v) 和J?(t,x,v)分別如式(20) 和(32) 所示。

圖10～圖11分別給出了ω1和ω2、κ和σ對效用改進的影響。

圖11 κ與σ對效用改進的影響Fig.11 Effect of κ and σ on utility improvement

圖10描述了曖昧厭惡系數(shù)ω1和ω2對效用改進UI的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著ω1和ω2的增加，UI呈單調(diào)遞減的趨勢。因為隨著曖昧厭惡系數(shù)的增大，保險公司對參考模型持有越大的不確定性，因而考慮期權(quán)交易可以更大地增加保險公司的效用，這與Zeng等[16]的結(jié)論是一致的。

圖10 ω1與ω2對效用改進的影響Fig.10 Effect of ω1 and ω2 on utility improvement

圖11刻畫了均值回復速度κ和波動率方差σ對效用改進UI的影響?？梢钥闯鯱I隨κ單調(diào)遞減而隨σ單調(diào)遞增。這是因為從股票價格波動的方差過程可以看出，較大的κ和較小的σ意味著股票價格波動的方差過程具有較小的不確定性。這使得保險公司面臨著較小的波動率風險，因而效用改進UI關(guān)于κ單調(diào)遞減，關(guān)于σ單調(diào)遞增。

6 結(jié)語

本文在考慮模型參數(shù)曖昧環(huán)境下，研究了含衍生品交易的魯棒最優(yōu)投資與再保險決策問題。假定保險公司的風險過程用近似擴散過程描述，保險公司通過購買比例再保險來轉(zhuǎn)移索賠風險，并將其盈余投資于由無風險資產(chǎn)、風險股票和以股票為標的資產(chǎn)的衍生品3種資產(chǎn)構(gòu)成的金融市場中。針對具有指數(shù)效用函數(shù)的保險公司構(gòu)建了相應的魯棒優(yōu)化決策模型，利用動態(tài)規(guī)劃方法得到了與優(yōu)化問題相對應的HJB方程，然后求解HJB方程得到了最優(yōu)投資與再保險策略及值函數(shù)的解析表達式。進一步，結(jié)合數(shù)值仿真算例討論了模型主要參數(shù)變動如何影響最優(yōu)投資與再保險策略及效用改進相關(guān)動態(tài)行為。通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，進行衍生品交易能夠顯著提高保險公司的效用水平，且隨著風險資產(chǎn)價格變化波動率的增加而增加；此外，與不考慮曖昧厭惡性相比，保險公司決策者越厭惡曖昧性(表現(xiàn)為曖昧厭惡系數(shù)的增加)，該效用水平增加得越多，這在一定程度上為保險公司涉足衍生品交易決策提供了理論支持。進一步的研究工作可以從以下幾個方面進行考慮：一是考慮更為一般的隨機波動率模型，如4/2隨機波動率模型，在此基礎(chǔ)上研究最優(yōu)投資與比例再保險策略。二是考慮均值?方差準則，結(jié)合決策的時間一致性要求研究均衡投資與比例再保險策略。三是考慮市場競爭的情形，構(gòu)建兩家乃至多家保險公司之間的非零和投資與再保險博弈模型，利用隨機控制理論求得博弈的Nash均衡策略。