趙玉葉
(江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué) 215228)
中考數(shù)學(xué)試題由專家組精心命制而成,而數(shù)學(xué)壓軸題歷來在數(shù)學(xué)中考中占有舉足輕重的地位.有些試題看似超乎尋常,實則抽絲剝繭后都能尋到基本的“知識源”,擁有很深的基礎(chǔ)性和生命力.GeoGebra數(shù)學(xué)軟件(簡稱GGB)具有動態(tài)、交互、開放、共享、簡單、易用等特點,可以創(chuàng)建開放的探究環(huán)境,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,實現(xiàn)靜態(tài)向動態(tài)教學(xué)的轉(zhuǎn)變.本文基于GGB軟件分析2021年連云港中考數(shù)學(xué)27題這道動點軌跡壓軸題,旨在對其解法進(jìn)行分析并給出一些初步的思考,從思路摸索中感悟模型的根源,從猜想驗證中體驗本質(zhì)的提煉,從可視化探究中思考問題的推廣,實現(xiàn)壓軸題的“尋源”與“顯流”.
在數(shù)學(xué)興趣小組活動中,小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動.
圖1
(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一點,且AE=1,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,如圖1.求CF的長.
(2)如圖1,△ABC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一個動點,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,在點E從點C到點A的運動過程中,求點F所經(jīng)過的路徑長.
(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形,M是高CD上的一個動點,小亮以BM為邊作等邊三角形BMN,如圖2.在點M從點C到點D的運動過程中,求點N所經(jīng)過的路徑長.
圖2 圖3
(4)正方形ABCD的邊長為3,E是邊CB上的一個動點,在點E從點C到點B的運動過程中,小亮以B為頂點作正方形BFGH,其中點F,G都在直線AE上,如圖3.當(dāng)點E到達(dá)點B時,點F,G,H與點B重合.則點H所經(jīng)過的路徑長為,點G所經(jīng)過的路徑長為.
第(1)小題是典型的全等三角形模型——“手拉手”模型.我們很容易證明△BAE≌△BCF(SAS),求得CF=AE=1.
下面主要探討第(2)~(4)小題.
2.1 動點軌跡:模型歸納
后三小題考查的是動點的軌跡問題.初中數(shù)學(xué)中的動點軌跡有兩種模型:直線型、圓弧型.受函數(shù)圖象畫法三步驟的指引,解決動點軌跡問題可以分為三步:(1)畫圖,取3個特殊位置(一般是起點、中點、終點);(2)連線,判斷曲直;(3)求解,求動點路徑的線段長或弧長.
圖4 圖5
圖6
2.2 圖形變換:本質(zhì)提煉
上述常規(guī)解法需要畫圖確定動點的軌跡,所以比較費時費力.如果從圖形變換的角度去思考動點軌跡的問題,往往可以發(fā)現(xiàn)從動點軌跡與主動點軌跡是有關(guān)聯(lián)的.本題所有圖形運動的實質(zhì)都是旋轉(zhuǎn)加位似,共同特征是正多邊形共頂點.在這樣的圖形變換下都會形成“手拉手”模型.
如圖7所示,第(3)小題中由圍繞點B的四條“拉手線”BA=BC,BM=BN,就能找到△BAM≌△BCN(SAS).所以點N的運動軌跡長等于點M的運動軌跡長DC.同理,如圖8所示,第(4)小題中由圍繞點B的四條“拉手線”BA=BC,BF=BH,能找到△BAF≌△BCH(SAS),也就是點C,G,H三點共線.于是在Rt△ACG中,點G在以AC為直徑的圓上,在Rt△BCH中,點H在以BC為直徑的圓上.
圖7 圖8
解題的成功要依靠正確思路的選擇,要從最接近它的方向攻克.解初中的幾何題理所應(yīng)當(dāng)提倡“以圖為綱,按圖索跡”.對于動點軌跡問題,我們可以從局部去分析動點的軌跡模型,判斷直線型或圓弧型;也可以從整體出發(fā)關(guān)注圖形變換(平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、位似).點動成線,線藏于形,解題時雙管齊下,方可使思路并蒂開花.
數(shù)學(xué)家波利亞指出:“當(dāng)你找到第一個蘑菇后,要環(huán)顧四周,因為它們總是成堆生長的.”在進(jìn)行完上述探究過程后,學(xué)生對本題的動點軌跡和圖形變換有了一定的認(rèn)識與掌握,此時教師可以利用信息技術(shù)工具,向?qū)W生展示點的動態(tài)運動,并對其他特殊動點和一般化圖形作進(jìn)一步推廣.下文探究“按圖索GGB”的可視化拓展,利用GGB展開探索.
圖9 圖10 圖11
3.2 探:探索其他的動點
問題1-1第(2)小題中等邊三角形BEF的各邊中點形成了怎樣的軌跡?
圖12
先利用GGB探究:輸入等邊三角形ABC→在邊AC上任取一點E→連結(jié)BE,輸入等邊三角形BEF→輸入中點K,N,H→分別選擇中點K,N,H關(guān)于動點E的軌跡.如圖12,可發(fā)現(xiàn)各邊中點的軌跡也是線段.
證明中位線NI中位線HM易證明△BCD是等邊三角形,則菱形ABDC的中位線KL
問題1-2若將第(2)小題中等邊三角形ABC和等邊三角形BEF都換成一般三角形,那么第三個頂點的軌跡會有怎樣的變化?
圖13
先利用GGB探究:輸入任意三角形ABC→在邊AC上任取一點D→連結(jié)BD,標(biāo)記∠BCD為α→順時針旋轉(zhuǎn)△BCD,旋轉(zhuǎn)角為α→作位似三角形BED→選擇點E關(guān)于動點D的軌跡.如圖13,可以發(fā)現(xiàn)點E的軌跡不再與AB邊平行,但保持直線型軌跡.
問題1-3若將第(2)小題中等邊三角形ABC和等邊三角形BEF都換成一般三角形,那么各邊中點的軌跡會有怎樣的變化?
圖14
先利用GGB探究:輸入中點H,M,L→分別選擇中點H,M,L關(guān)于動點D的軌跡.如圖14,可發(fā)現(xiàn)各邊中點的軌跡也是線段.
證明中位線LJ中位線MK中位線HI
問題2若將第(3)小題的中點D換成一般位置的點,其軌跡會有怎樣的變化?
圖15
先利用GGB探究:輸入等邊三角形ABC→在邊AB上任取一動點D→連結(jié)CD,在邊CD上任取一動點E→連結(jié)BE,輸入等邊三角形BEF→選擇點F關(guān)于動點E的軌跡.如圖15,拖動點D可發(fā)現(xiàn)點F的起點G隨之運動,終點H保持不變,軌跡依舊呈現(xiàn)直線型.拖動點E,點F隨之在線段GH上運動.
證明根據(jù)BD=BG,利用“手拉手”模型,我們?nèi)菀鬃C明△BDE≌△BGF(SAS),所以點F的軌跡長GH等于點E的軌跡長CD.
問題3若將第(4)小題中動點E從邊BC換到直線BC上,那么點G與H的軌跡會怎樣變化?
圖16
證明在Rt△ACG中,點G在以AC為直徑的圓上;在Rt△BCH中,點H在以BC為直徑的圓上.
數(shù)學(xué)解題總是從分析已知元素和未知元素開始,二者的關(guān)聯(lián)越不明顯,就越值得探究.本道中考壓軸題難度較大,區(qū)分度明顯,學(xué)生很難觀察出從動點與主動點的直接聯(lián)系,更難將軌跡和圖形變換分析出來.但運用GGB,學(xué)生能夠直觀地“看到”動點間的聯(lián)系和要求的動點軌跡.具象化地展示試題的完成和拓展可以幫助學(xué)生認(rèn)清試題本質(zhì)、理解數(shù)學(xué)問題,有助于其養(yǎng)成反思的好習(xí)慣,落實“低起點,高落點”的目標(biāo).
中考數(shù)學(xué)命題十分重視回歸教材、重視基本知識,而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,形成正確的解題思路和看題觀點,這是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本源[1].弗賴登塔爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)知識不是教出來的,而是研究出來的.”學(xué)生解決問題的能力何嘗不是如此呢?只有親歷問題的探索過程、鍛煉科學(xué)的思維方式,才能在實踐中逐步具備豐富的策略方法.教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)適時、適量地使用信息化平臺,能夠突破數(shù)學(xué)“難以意會,無法言傳”的障礙,真正做到“教懂、教活、教深”[2],引導(dǎo)學(xué)生將更多精力集中在高層次的數(shù)學(xué)思考上,實現(xiàn)有意義的解題教學(xué),促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.