蘇 籍,白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

非線性動(dòng)力學(xué)研究興起于上世紀(jì)60年代，從研究對(duì)象和方法上擴(kuò)展了當(dāng)代物理學(xué)的內(nèi)容，并從觀念上改變了人們對(duì)經(jīng)典物理決定論的認(rèn)識(shí). 將非線性動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)引入基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)力學(xué)的角度認(rèn)識(shí)物理系統(tǒng)，激發(fā)學(xué)生探索自然規(guī)律的興趣. 由于課時(shí)和背景知識(shí)的限制，這類實(shí)驗(yàn)的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)為使學(xué)生認(rèn)識(shí)典型的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象和規(guī)律，并了解動(dòng)力學(xué)的研究方法.

非線性動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象具有普適性，在不同的物理體系中都有體現(xiàn). 相比于力學(xué)系統(tǒng)，電學(xué)系統(tǒng)(混沌電路)具有穩(wěn)定性好、時(shí)間尺度短、便于調(diào)節(jié)控制參量和數(shù)據(jù)采集等優(yōu)點(diǎn)，在非線性動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究中具有更高的可行性. 最早驗(yàn)證費(fèi)根鮑姆關(guān)于倍周期分岔通往混沌道路普適性的實(shí)驗(yàn)就是在非線性電路上完成的[1]，該電路采用變?nèi)荻O管作為非線性元件. 基于非線性電阻的蔡氏電路(Chua’s circuit)則被廣泛應(yīng)用于科研和教學(xué)中[2]. 關(guān)于混沌電路的詳細(xì)介紹可以參考文獻(xiàn)[3-7].

上世紀(jì)90年代北京師范大學(xué)在本科教學(xué)中引入非線性動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，其中包括以磁環(huán)電感作為非線性元件的混沌電路[8-10]. 該電路含有3個(gè)繞組的特制變壓器，在電路中3個(gè)繞組分別接成直流偏置、無源RLC振子和驅(qū)動(dòng)RLC振子，如圖1所示. 選擇合適的參量，通過這個(gè)電路可以觀察到通過倍周期分岔到混沌的過程.

圖1 含有3個(gè)繞組的變壓器非線性電路

本文對(duì)該混沌電路進(jìn)行改進(jìn)：1)簡(jiǎn)化電路，省去無源RLC振子部分，同時(shí)使用商品共模電感替代特制變壓器，便于在教學(xué)中推廣；2)對(duì)電路進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，該模型可以復(fù)現(xiàn)大部分實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，從而加深學(xué)生對(duì)混沌電路原理的理解.

除了倍周期分岔和混沌，改進(jìn)的電路還可以出現(xiàn)陣發(fā)、激變、多吸引子共存等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，可以更好地應(yīng)用于基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué).

1 實(shí)驗(yàn)裝置

1.1 共模電感

共模電感本質(zhì)為1∶1的變壓器，如圖2所示，常用于濾除電源線的共模干擾. 由于一次和二次繞組的匝數(shù)相同，磁場(chǎng)強(qiáng)度H正比流過2個(gè)繞組的電流的代數(shù)和,即

圖2 共模電感電路

I(t)=I1(t)+I2(t) ，

(1)

根據(jù)電磁感應(yīng)原理，忽略漏磁，2個(gè)繞組的電壓為

(2)

其中，Φ(t)為繞組的總磁通量，等于磁環(huán)的磁通量與繞組匝數(shù)的乘積.對(duì)于線性電感，在任意時(shí)刻Φ和I都成正比，即Φ(t)=MI(t)，根據(jù)式(1)和式(2)，可以得到

(3)

其中，比例系數(shù)M為每個(gè)繞組的自感量或它們之間的互感量(忽略漏磁，則二者相等).但實(shí)際磁環(huán)材料存在飽和與磁滯現(xiàn)象，這是共模電感元件非線性的來源.值得注意的是，磁滯現(xiàn)象意味著Φ(t)與I在t時(shí)刻之前的變化歷史有關(guān)，一般不能寫成I(t)的單值函數(shù).

在一次繞組中通入交流周期電流I1(t)，測(cè)量二次繞組的開路電壓u2(t)，采用傅里葉變換計(jì)算其積分得到Φ(t).圖3所示為不同電流幅度 (頻率為750 Hz)的7條實(shí)測(cè)Φ-I關(guān)系曲線.

圖3 實(shí)測(cè)共模電感特性(插圖為曲線局部放大圖)

這些曲線經(jīng)過適當(dāng)?shù)臉?biāo)度后就是磁環(huán)材料的磁滯回線[11].從圖3中可以看出磁滯回線很窄，表明磁環(huán)為軟磁材料，而且mA量級(jí)的電流可以產(chǎn)生明顯的飽和現(xiàn)象[作為濾波元件時(shí)，I1(t)和I2(t)基本反相，I(t)很小].

1.2 實(shí)驗(yàn)電路

改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)電路如圖4所示，其中，E1為直流電源，E1/R1稱為偏置電流；E2為正弦信號(hào)發(fā)生器，輸出波形為激勵(lì)信號(hào)，其峰峰值記為Vpp.為了減小信號(hào)發(fā)生器的輸出阻抗，激勵(lì)信號(hào)需要經(jīng)過功率放大器(圖中未畫)再接入電路.

圖4 非線性RLC電路

實(shí)驗(yàn)中，用示波器通道1觀察R2兩端的電壓v2(t)(與回路電流成正比)，通道2觀察一次繞組的感應(yīng)電壓u1(t).在不嚴(yán)格的意義下，下文稱用XY方式顯示的曲線為軌跡圖.

2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與分析

典型非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，因此電路元件取值(在一定范圍內(nèi))并不影響實(shí)驗(yàn)效果.本節(jié)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是在R1=10 kΩ，R2=4.1 Ω，C=9.4 μF，E1=24 V，f=750 Hz時(shí)得到的.逐漸升高Vpp，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出與一維logistic映射相似的混沌帶與周期窗口相互嵌套的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[12]. 圖5所示為有代表性的軌跡圖(圖5由示波器保存的數(shù)據(jù)繪制).

2.1 通過倍周期分岔達(dá)到混沌

電阻和磁環(huán)(由于存在磁滯)都會(huì)把電能轉(zhuǎn)換為熱能，因此本實(shí)驗(yàn)電路是耗散系統(tǒng). 倍周期分岔是耗散系統(tǒng)中最常見的通往混沌的道路，圖5(a)～(f)體現(xiàn)了該過程. 理論上倍周期分岔可以一直進(jìn)行下去，由于信號(hào)源調(diào)節(jié)以及數(shù)據(jù)采集的精度有限，再加上電路噪聲的影響，實(shí)驗(yàn)上只看到了4次倍周期分岔.

(a)Vpp=167 mV,1周期 (b) Vpp=254 mV,2周期 (c) Vpp=521 mV,4周期 (d) Vpp=534 mV,8周期

2.2 周期窗口

繼續(xù)增大Vpp，電路出現(xiàn)一系列穩(wěn)定的周期軌道，如圖5(g)～(j)所示. 實(shí)驗(yàn)上可以找到周期數(shù)從3到10(相對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)周期)的初級(jí)(不是某個(gè)倍周期分岔的產(chǎn)物)周期軌道. 相反，每條初級(jí)周期軌道都會(huì)隨著Vpp的增大而發(fā)生倍周期分岔，從而形成一段規(guī)則運(yùn)動(dòng)的窗口. 相鄰的初級(jí)周期窗口之間為混沌帶.

圖5 (g)和5(j)都是5周期軌道，但是這2條軌道的特征存在明顯區(qū)別：前者的v2在1個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)了3個(gè)正向大尖峰和1個(gè)負(fù)向尖峰，而后者有4個(gè)正向尖峰和3個(gè)反向尖峰，具體如圖6所示.

(a)Vpp=593 mV

表1為部分代表性軌道以及特征. 表1中n*2m表示初級(jí)n周期軌道經(jīng)過m次倍周期分岔后的軌道.

表1 部分代表性軌道及特征(f=750 Hz)

2.3 陣發(fā)

當(dāng)Vpp不斷增加，系統(tǒng)最終會(huì)歸于如圖5(l)所示的1周期軌道. 此時(shí)如果降低Vpp，系統(tǒng)會(huì)連續(xù)返回如圖5(k)所示的混沌狀態(tài). 這里從規(guī)則變化到混沌的過程是通過陣發(fā)實(shí)現(xiàn)的. 陣發(fā)的特點(diǎn)是大部分時(shí)間軌道看起來是規(guī)則的，但偶爾會(huì)插入一段不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，如圖7所示.

圖7 陣發(fā)軌道的電流波形(Vpp=827 mV)

隨著Vpp趨向臨界值，規(guī)則片段(圖7插圖)的長(zhǎng)度趨于無窮，最終回到周期軌道. 事實(shí)上，每條初級(jí)周期軌道都是通過陣發(fā)的形式從混沌帶的邊緣產(chǎn)生，其中最后的陣發(fā)過程最為明顯.

2.4 激變

激變是有別于倍周期和陣發(fā)的另一種常見的通往混沌的道路[13]. 激變的含義：在參量接近閾值之前，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，而超過閾值后，原來的混沌軌道成為瞬態(tài)，最終會(huì)離開該區(qū)域，進(jìn)入相空間的另一部分. 與陣發(fā)不同的是，激變屬于全局分岔，當(dāng)掃描參量接近突變點(diǎn)時(shí)，激變的軌道一直保持無規(guī)則狀態(tài)，不會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間的規(guī)則片段.

在E1=12 V,f=650 Hz時(shí)可觀察到激變現(xiàn)象.逐漸增加Vpp，在Vpp=636 mV時(shí)系統(tǒng)還處于混沌狀態(tài)，如圖8和9(a)所示.當(dāng)Vpp=637 mV時(shí)，吸引子突變?yōu)橹芷谲壍?，如圖9(b)所示，表明Vpp在636～637 mV之間，電路發(fā)生了激變.此外，當(dāng)Vpp超過臨界值到達(dá)周期軌道之后，再逐漸減小Vpp，由上向下經(jīng)過突變點(diǎn)，周期軌道并不會(huì)立即變成混沌軌道，即激變是不可逆的. 繼續(xù)減小Vpp，周期軌道可以保持到Vpp= 610 mV，然后在Vpp= 609 mV時(shí)突變?yōu)榛煦畿壍?，時(shí)間波形圖和軌跡圖與圖8和圖9(a)相似.

圖8 激變前的混沌軌道(Vpp=636 mV)

(a)Vpp=636 mV

根據(jù)上述現(xiàn)象可以推出：如果Vpp在610～636 mV之間，電路存在2個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)(吸引子)：周期軌道和混沌吸引子. 事實(shí)上，如果施加擾動(dòng)(例如關(guān)閉信號(hào)源再迅速打開)，可以讓電路穩(wěn)態(tài)以一定概率在這2個(gè)吸引子之間跳轉(zhuǎn). 多吸引子同存是非線性系統(tǒng)中的常見現(xiàn)象.

最后需要說明的是，如果Vpp保持合適取值，連續(xù)降低激勵(lì)信號(hào)的頻率，也可以出現(xiàn)類似的分岔和突變現(xiàn)象.

3 理論分析

3.1 數(shù)學(xué)建模

圖10 實(shí)驗(yàn)與擬合的磁通量與電流關(guān)系

(4)

下面基于簡(jiǎn)化的共模電感模型分析電路.為方便起見，首先進(jìn)行無量綱化[14]，取I0=Φ0=C=1，因此電壓和角頻率為

其中1/ω0為時(shí)間的單位，電阻為

(5)

(6)

其中，Δ≡I1,ν≡R2.式(6)即為描述電路的簡(jiǎn)化微分方程.

3.2 模擬結(jié)果及分析

為了與圖5和表1的結(jié)果對(duì)比，在數(shù)值模擬中取Δ=0.55，ω=2.88.考慮到磁滯損耗以及功率放大器的輸出阻抗，ν略微高估為0.1，A為可調(diào)整參量.注意與A等效的Vpp表示為

Vpp=2AU0.

(7)

(a)A=0.600,1周期 (b) A=0.620,2周期 (c) A=0.755,4周期 (d) A=0.794,8周期

表2 簡(jiǎn)化模型代表性軌道及特征

模型與實(shí)驗(yàn)最明顯的區(qū)別是：隨著Vpp增大，模型中的1周期軌道經(jīng)過了1次突變(失穩(wěn)) 直接跳到2周期軌道，中間并沒有發(fā)生倍周期分岔. 然后從2周期軌道開始，發(fā)生了通過倍周期分岔到混沌的轉(zhuǎn)變. 實(shí)驗(yàn)上，雖然開始的2周期軌道[圖5(b)]和4周期軌道[圖5(c)]的形態(tài)相差很大，但在連續(xù)改變Vpp的過程中，軌道的形態(tài)變化是平滑且可逆的. 另外，對(duì)比表1和表2，可以發(fā)現(xiàn)模型和實(shí)驗(yàn)中相同動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的參量值也存在差距. 但是模型可以復(fù)現(xiàn)大部分實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 這表明僅考慮共模電感的飽和行為就可以解釋電路的主要非線性動(dòng)力學(xué)行為.

4 結(jié)束語

本文對(duì)包含非線性電感的混沌電路進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)電路進(jìn)行了簡(jiǎn)化建模. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)激勵(lì)幅度或頻率，該電路可以產(chǎn)生倍周期分岔、混沌帶中周期窗口、陣發(fā)、激變與多吸引子共存等典型的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 而數(shù)值仿真也發(fā)現(xiàn)忽略磁滯效應(yīng)的簡(jiǎn)化模型可以復(fù)現(xiàn)大部分實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象. 該電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制作成本低，易于在教學(xué)中使用，且動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象豐富，教學(xué)內(nèi)容選擇自由度大，可以作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的RLC串聯(lián)諧振電路的自然推廣.