徐建軍, 王碩昌

(東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318)

0 引 言

分形理論可有效處理許多復(fù)雜的非線性模型, 并且對(duì)比其他傳統(tǒng)模型, 例如灰色預(yù)測(cè)模型、 ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average)模型、 BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、 模糊預(yù)測(cè)模型、 插值預(yù)測(cè)模型、 回歸預(yù)測(cè)模型等, 其不需要訓(xùn)練, 也不存在結(jié)果不收斂的現(xiàn)象。李昂儒等[1]利用分形插值函數(shù)獲取相鄰樣本的局部信息, 再使用多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)維度對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行估計(jì)。關(guān)學(xué)忠等[2]通過經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD: Empirical Mode Decomposition)對(duì)原始分解, 再通過分形插值函數(shù)分別進(jìn)行預(yù)測(cè), 最后將預(yù)測(cè)結(jié)果同BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對(duì)比, 證明了EMD-分形預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度更高。肖瑤[3]提出了一種應(yīng)用于離散電力采樣數(shù)據(jù)的分形特征值計(jì)算方法, 并且通過對(duì)盒維數(shù)逆運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了對(duì)負(fù)荷的預(yù)測(cè)。趙飛[4]通過計(jì)算電力系統(tǒng)短期負(fù)荷的分維數(shù)和Kolmogorov熵, 證明了相同空間狀態(tài)下的電力系統(tǒng)負(fù)荷具有分形的特征, 并且通過線性回歸方法進(jìn)行局部擬合預(yù)測(cè)未來幾天內(nèi)電力系統(tǒng)負(fù)荷。高金蘭等[5-6]設(shè)計(jì)了一種基于VMD-IWOA-LSSVM(Variational Mode Decomposition-Improved Whale Optimization Algorithm-Least Square Supprt Vector Machine)的短期負(fù)荷預(yù)測(cè)模型, 通過變分模態(tài)分解對(duì)原始負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行分解, 再輸入到通過鯨魚算法優(yōu)化后的最小二乘支持向量機(jī)模型中, 提高了負(fù)荷預(yù)測(cè)的精度。

分形函數(shù)系統(tǒng)是以分形理論為基礎(chǔ)， 通過映射函數(shù)尋求吸引子曲線達(dá)到預(yù)測(cè)的目的。李小燕[7]通過分形插值函數(shù)選取相似日對(duì)實(shí)測(cè)日進(jìn)行氣象預(yù)測(cè), 在選取參考日的數(shù)據(jù)對(duì)實(shí)測(cè)日的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸, 進(jìn)一步提高了預(yù)測(cè)精度。李萌[8]通過設(shè)置調(diào)整參數(shù)和不斷更新迭代初始點(diǎn)對(duì)分形插值函數(shù)進(jìn)行修正, 使其能對(duì)中長(zhǎng)期電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。關(guān)學(xué)忠等[9]利用分型理論中的拼貼定理和分形插值函數(shù)對(duì)各個(gè)分解序列進(jìn)行合理預(yù)測(cè)。李如琦等[10]通過灰色關(guān)聯(lián)法選取相似日的數(shù)據(jù), 通過數(shù)據(jù)的特點(diǎn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段, 在利用分形插值函數(shù)對(duì)分段數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和擬合。劉映等[11]通過改進(jìn)垂直因子的分形插值函數(shù)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分析, 通過小波分析確定分形插值點(diǎn), 這種分析方法有效提高了預(yù)測(cè)精度。目前所有的根據(jù)分形理論預(yù)測(cè)負(fù)荷的方法都存在分形曲線復(fù)雜、 噪音數(shù)據(jù)過多、 擬合過度的問題。為解決上述問題, 筆者建立了一種基于VMD(Variational Mode Decomposition)-分形理論的短期電力負(fù)荷預(yù)測(cè)模型, 通過對(duì)原始負(fù)荷序列進(jìn)行分解, 降低噪聲序列的影響, 使分形預(yù)測(cè)曲線更為平滑, 預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確性更高。

1 分形插值函數(shù)定理

分形插值函數(shù)是通過其本身數(shù)據(jù)所含有的規(guī)律進(jìn)行插值[12]， 生成迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS: Iterative Function System)，該系統(tǒng)滿足壓縮映射定理和拼貼定理[13]。

對(duì)一個(gè)給定的數(shù)據(jù)集{(xi,yi)∈R2,i=0,1,2,…,N}, 其在R2內(nèi)有以下的放射變換IFS{R2:ωi,i=1,2,…,N},ωi是下式的仿射變換。

(1)

其中ai、ci、ei、fi為待求參數(shù),di為自由參數(shù), 通常表示插值曲面的光滑程度。則放射變換的函數(shù)端點(diǎn)必須滿足

(2)

迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS通過仿射變換生成的分形插值函數(shù)(FIS: Fractal Interpolation System)端點(diǎn)條件經(jīng)過整理后可得

(3)

2 模型建立

筆者提出了一種新的預(yù)測(cè)模型, 該模型通過變分模態(tài)分解(VMD)對(duì)基準(zhǔn)日的負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行分解, 分解成趨勢(shì)項(xiàng)、 擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)、 噪音項(xiàng)(IMF2,IMF3,IMF4)。通過對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)的數(shù)據(jù)曲線進(jìn)行重標(biāo)極差法分析, 確定是否具有分形的特征。通過趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)的曲線特征計(jì)算垂直尺度因子, 建立迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS: Iterative Function System)分別對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)、 擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)、 噪音項(xiàng)(IMF2,IMF3,IMF4)進(jìn)行迭代計(jì)算, 再相加, 最終得到預(yù)測(cè)結(jié)果。筆者選取美國(guó)大西洋電力公司(Atlantic Electric Power Company)提供的負(fù)荷數(shù)據(jù)。

VMD-分形理論的算法實(shí)現(xiàn)過程如圖1所示。

圖1 基于VMD-分形理論短期負(fù)荷預(yù)測(cè)模型Fig.1 Short-term load forecasting model based on VMD-fractal theory

VMD的目的是將原始復(fù)雜的電力負(fù)荷信號(hào)曲線分解為K個(gè)調(diào)幅調(diào)頻子信號(hào), 通過維納濾波去噪, 初始化有限帶寬參數(shù)α和中心角頻率, 獲得K個(gè)估計(jì)的中心角頻率ωK, 利用交替方向乘子法更新各模態(tài)參數(shù)以及中心頻率, 并將各個(gè)模態(tài)解調(diào)到相應(yīng)基頻帶, 最終達(dá)到各個(gè)模態(tài)估計(jì)帶寬之和最小的目的[14-15]。

原始負(fù)荷序列分解過程如下。

1) 對(duì)每個(gè)模態(tài)函數(shù)uk(t), 采用Hilbert進(jìn)行變換計(jì)算相應(yīng)的解析信號(hào), 其單側(cè)頻譜如下

(4)

其中*為卷積運(yùn)算符,δ(t)為狄拉克函數(shù), {uk},{ωk}分別為對(duì)應(yīng)的第k個(gè)子信號(hào)對(duì)應(yīng)的模態(tài)分量和中心頻率。

2) 模態(tài)函數(shù)uk(t)和所對(duì)應(yīng)的中心頻率ωk的指數(shù)項(xiàng)e-jωkt混疊, 將頻譜調(diào)整到要對(duì)應(yīng)的基頻帶頻譜

(5)

3) 由強(qiáng)調(diào)信號(hào)的高斯平滑法估計(jì)帶寬, 求解約束函數(shù)條件的變分函數(shù)

(6)

其中f為原始信號(hào), {uk}={u1,…,uk}, {ωk}={ω1,…,ωk}。

4) 采用二次懲罰因子α和拉格朗日算子λ(t),表達(dá)式如下

(7)

5) 采用交替算子法解決上述問題, 二次優(yōu)化問題的解為

(8)

6) 同上述過程, 中心頻率的更新公式為

(9)

將2021年9月3日作為基準(zhǔn)日進(jìn)行電力負(fù)荷的VMD分解, 如圖2所示。

圖2 VMD負(fù)荷分解結(jié)果Fig.2 The result of VMD load sequence decomposition

為減少分形迭代函數(shù)的波動(dòng)性, 增加負(fù)荷預(yù)測(cè)的精度, 要對(duì)各個(gè)模態(tài)量進(jìn)行判斷其是否具有迭代的價(jià)值。由圖2可知, 趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)不具備周期性特征而且上下波動(dòng)幅值很大, 具有整體的特征且周期性特征不明顯。所以采用分形迭代的方式對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)進(jìn)行進(jìn)一步的預(yù)測(cè), 而噪聲項(xiàng)(IMF2、IMF3、IMF4)具有明顯的周期性特征且幅值較小, 預(yù)期迭代效果不好, 所以作為噪聲序列和趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)預(yù)測(cè)的結(jié)果相加。對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行重標(biāo)極差法檢驗(yàn), 驗(yàn)證是否有分形的特征。

重標(biāo)極差法是對(duì)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)性進(jìn)行分析, 其一般步驟如下。

對(duì)時(shí)間序列{xt,t=0,1,2,…,N}, 設(shè)EN為時(shí)間序列的均值,X(t,N)為該序列的累積離差,R(N)為該序列的極差,S(N)為標(biāo)準(zhǔn)差, 則有

(10)

(11)

(12)

則R(N)/S(N)為重標(biāo)極差, 即為

(R/S)N=cNH

(13)

其中H為Hurst指數(shù),c為正常數(shù), 與參數(shù)N無關(guān)。時(shí)間序列中的Hurst指數(shù)H和分形維數(shù)D滿足：H+D=2。

圖3、 圖4中的曲線斜率分別代表了趨勢(shì)項(xiàng)的Hurst指數(shù)和擾動(dòng)項(xiàng)的Hurst指數(shù)。趨勢(shì)項(xiàng)的Hurst指數(shù)為0.923 416, 擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)的Hurst指數(shù)為0.934 246, 0.5

圖3 趨勢(shì)項(xiàng)的R/S分析 圖4 擾動(dòng)項(xiàng)的R/S分析 Fig.3 R/S analysis of trend term Fig.4 R/S analysis of disturbance term

通過研究趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)曲線特征, 取趨勢(shì)項(xiàng)曲線導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)作為插值點(diǎn), 擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)的插值點(diǎn)和趨勢(shì)項(xiàng)相互對(duì)應(yīng)。筆者借鑒了文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]的方法, 根據(jù)趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)的插值區(qū)間計(jì)算出壓縮尺度因子, 計(jì)算方法如下。

1) 將趨勢(shì)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)根據(jù)曲線波動(dòng)趨勢(shì)找到極值點(diǎn), 將極值點(diǎn)作為插值點(diǎn)并且劃分插值區(qū)間。

2) 將所有插值區(qū)間所在序列的第1個(gè)數(shù)據(jù)和最后序列的最后一個(gè)數(shù)據(jù), 組成一個(gè)數(shù)據(jù)量為N+1的插值點(diǎn)集。

3) 通過每個(gè)插值區(qū)間的第1個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)做一條直線, 令d為插值區(qū)間序列中剩余點(diǎn)到直線距離的最大值。

4) 對(duì)每個(gè)插值區(qū)間所在序列都進(jìn)行上述操作, 得到的集合為{ui}。通過

(14)

計(jì)算垂直尺度因子。

5) 求出每個(gè)插值區(qū)間所在序列的dq, 垂直壓縮因子就是所有dq的算術(shù)平均值。通過上述步驟求得壓縮尺度因子分別為0.68和0.73。建立迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS), 如圖5、 圖6所示。

圖5 趨勢(shì)項(xiàng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)曲線 圖6 擾動(dòng)項(xiàng)(IMF1)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)曲線 Fig.5 Trend item forecast data curve prediction data curve Fig.6 Perturbation(IMF1) term

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖7是VMD-分形預(yù)測(cè)模型、 分形預(yù)測(cè)模型、 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型[18-19]的對(duì)比圖。通過圖7可清晰地看到VMD-分形預(yù)測(cè)模型比分形預(yù)測(cè)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)效果好。表1是2021年9月4日的預(yù)測(cè)結(jié)果, 從表1中可以看出VMD-分形預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差較分形預(yù)測(cè)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差小。其中經(jīng)過計(jì)算VMD-分形預(yù)測(cè)模型的MAPE(Mean Absolute Percentage Error)為2.244 55%, 分形預(yù)測(cè)模型的MAPE為5.246 5%, BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的MAPE為6.083 7。VMD-分形預(yù)測(cè)模型的MAPE比分形預(yù)測(cè)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型降低了5%左右, 證明了VMD-分形預(yù)測(cè)模型比分形預(yù)測(cè)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果更好。

圖7 3種預(yù)測(cè)模型和實(shí)際值的比較Fig.7 Comparison of three prediction models and actual values

表1 3種模型預(yù)測(cè)值

4 結(jié) 語

筆者針對(duì)傳統(tǒng)的分形預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn), 通過變分模態(tài)分解對(duì)復(fù)雜的負(fù)荷數(shù)據(jù)處理, 并且加入了根據(jù)插值區(qū)間計(jì)算尺度因子的方法, 提出了一種新的VMD-分形預(yù)測(cè)模型。通過與傳統(tǒng)分形預(yù)測(cè)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行對(duì)比, 結(jié)果表明VMD-分形預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度更高, 預(yù)測(cè)曲線更貼合實(shí)際負(fù)荷曲線。綜上所述, VMD-分形預(yù)測(cè)模型在短期電力負(fù)荷預(yù)測(cè)中較傳統(tǒng)分形預(yù)測(cè)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型更具有優(yōu)勢(shì)。