周登舉 ZHOU Deng-ju；王韋棋 WANG Wei-qi

（安徽工業(yè)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，馬鞍山 243032）

0 引言

熱軋是鋼鐵生產(chǎn)過(guò)程中最重要的工序之一，直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量。加熱爐是熱軋工序的輔助設(shè)備，也是熱軋階段的瓶頸環(huán)節(jié)，對(duì)鋼坯實(shí)現(xiàn)連續(xù)熱軋起到重要的調(diào)節(jié)作用。因此，加熱爐和熱軋的調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題一直是學(xué)者和專家們研究的重點(diǎn)內(nèi)容。目前，相關(guān)研究主要集中于加熱爐調(diào)度、熱軋調(diào)度和加熱爐-熱軋集成調(diào)度三個(gè)方面。

關(guān)于加熱爐調(diào)度研究，楊[1]等認(rèn)為加熱爐調(diào)度是在軋制計(jì)劃和連鑄出坯計(jì)劃已確定的前提下，決定鋼坯在加熱爐區(qū)的加工路徑。其目標(biāo)通常為燃料消耗最小[2，3]、住爐時(shí)間最小[3]等。

關(guān)于熱軋調(diào)度問(wèn)題的研究，Liu[4]等將其歸納為多旅行商問(wèn)題，Chen[5]等則將其描述為車輛路徑問(wèn)題。熱軋調(diào)度的目標(biāo)大多為最小化跳躍懲罰成本[6]和最小化軋制單元數(shù)量[7]。文獻(xiàn)[4]在前人研究的基礎(chǔ)上，將噸鋼能耗考慮進(jìn)去，建立了以最小化噸鋼能耗和最小化軋制單元數(shù)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型。

近年來(lái)，加熱爐-熱軋集成調(diào)度逐漸成為研究熱點(diǎn)，學(xué)者們紛紛提出集成調(diào)度模型的建模方法，如文獻(xiàn)[8]分析了加熱爐對(duì)熱軋生產(chǎn)的影響，抽取板坯標(biāo)準(zhǔn)住爐時(shí)間和出爐溫度這兩個(gè)關(guān)鍵因素，建立了熱軋板坯軋制計(jì)劃的整數(shù)規(guī)劃模型、文獻(xiàn)[9]將問(wèn)題建模為兩個(gè)耦合的子問(wèn)題，分別用于求解軋制計(jì)劃和加熱爐調(diào)度方案。目標(biāo)函數(shù)有最大化熱裝比[9]、最小化住爐時(shí)間[9]等。

從現(xiàn)有的研究中可以看出，單獨(dú)的加熱爐和熱軋調(diào)度缺乏整體性考量，求出的調(diào)度方案無(wú)法兼顧多工序工藝約束和設(shè)備資源約束。而現(xiàn)有加熱爐-熱軋集成調(diào)度研究中，假設(shè)條件通常過(guò)于理想化，如軋機(jī)不允許空轉(zhuǎn)等待、不考慮加熱爐容量限制等。本文充分考慮軋制階段工藝約束和設(shè)備資源約束，以鋼坯的總完工時(shí)間最小、總住爐時(shí)間最小和軋機(jī)總待機(jī)時(shí)間最小為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并提出改進(jìn)的NSGA-II算法對(duì)模型進(jìn)行求解。本文的主要貢獻(xiàn)如下：

①模型方面：考慮加熱爐容量約束；考慮實(shí)際生產(chǎn)中的工藝約束，允許軋機(jī)短暫待機(jī)；通過(guò)添加最小化軋機(jī)待機(jī)時(shí)間為目標(biāo)，盡可能減少軋機(jī)待機(jī)的時(shí)間。

②算法方面：根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，設(shè)計(jì)多層編碼的染色體用以表征問(wèn)題的解；根據(jù)染色體中存在實(shí)數(shù)編碼的特點(diǎn)設(shè)計(jì)多點(diǎn)復(fù)合交叉的交叉策略；通過(guò)引入沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊確保解的可行性。

1 問(wèn)題描述

本文針對(duì)一類典型的熱軋生產(chǎn)線展開(kāi)研究，每條生產(chǎn)線包含一臺(tái)加熱爐和一臺(tái)軋機(jī)。熱軋前，待軋制的鋼坯先進(jìn)入加熱爐加熱，達(dá)到額定加熱時(shí)間才允許出爐，鋼坯出爐后立即通過(guò)輥道運(yùn)送至軋機(jī)進(jìn)行軋制。其中，額定加熱時(shí)間是指鋼坯達(dá)到額定軋制溫度所需的最短加熱時(shí)間。軋制過(guò)程中，將鋼種、規(guī)格等屬性相同或相近的鋼坯組成批次集中軋制，使用同一套軋輥軋制的鋼坯稱為一個(gè)軋制單元。加熱爐-熱軋階段的工藝流程如圖1所示。

圖1 加熱爐-熱軋階段工藝流程圖

加熱爐-熱軋區(qū)間生產(chǎn)調(diào)度需要同時(shí)考慮加熱爐和軋機(jī)的工藝約束，兩者相互影響、相互制約。因此，為進(jìn)一步提高設(shè)備利用率和生產(chǎn)效率、降低加熱爐能耗，在編制加熱爐-熱軋集成調(diào)度方案時(shí)，需考慮如下工藝約束和設(shè)備資源約束。

①加熱爐和軋機(jī)一一對(duì)應(yīng)，可將有對(duì)應(yīng)關(guān)系的加熱爐和軋機(jī)視為一體，稱為生產(chǎn)線；

②同一軋制單元的鋼坯僅可由一條生產(chǎn)線加工；

③軋不同軋制單元時(shí)，軋機(jī)需停機(jī)換輥；

④鋼坯有額定加熱時(shí)間和最大住爐時(shí)間，鋼坯實(shí)際住爐時(shí)間不得少于額定加熱時(shí)間，也不得大于最大住爐時(shí)間；

⑤鋼坯的入爐順序、出爐順序和軋制順序須保持一致，且與軋制單元計(jì)劃中鋼坯的加工順序相同；

⑥一臺(tái)加熱爐可同時(shí)加工多塊鋼坯，但不可超出容量限制，當(dāng)加熱爐裝滿時(shí)須等待鋼坯出爐，爐中有空位的情況下才能裝入新的鋼坯；

⑦由于軋機(jī)待機(jī)造成的損失較大，生產(chǎn)中要求軋機(jī)待機(jī)的時(shí)間不超過(guò)一個(gè)上限值。

2 問(wèn)題建模

2.1 符號(hào)定義

為了方便描述模型，定義如下符號(hào)：

2.1.1 參數(shù)

i，j：軋制單元索引，i，j∈{0，1，…，n，n+1}，其中，0和n+1表示虛擬軋制單元，n表示軋制單元總數(shù)；

k：生產(chǎn)線索引，k∈{1，2，…，m}，其中m表示生產(chǎn)線總數(shù)；

Ωi：軋制單元i中的鋼坯集合；

Ω：所有軋制單元中的鋼坯集合；Ω=Ω1∪Ω2∪…∪Ωn

l：鋼坯索引，l∈Ω；

ail：鋼坯l在軋制單元i中的加工序號(hào)；

pil：軋制單元i中鋼坯l在加熱爐中的額定加熱時(shí)間；

wil：軋制單元i中鋼坯l在加熱爐中的最大住爐時(shí)間；

qil：軋制單元i中鋼坯l的軋制時(shí)間；

Si：軋制單元i的開(kāi)軋時(shí)間；

Qi：軋制單元i的軋制時(shí)間；

rilk：若軋制單元i中鋼坯l在生產(chǎn)線k上的加熱爐中加熱，則rilk=1，否則rilk=0；

β：鋼坯從加熱爐到軋機(jī)的運(yùn)輸時(shí)間；

δ：同爐相鄰鋼坯的最小入爐時(shí)間間隔；

ε：軋機(jī)允許的最大待機(jī)時(shí)長(zhǎng)；

φ：相鄰兩個(gè)軋制單元之間的軋機(jī)換輥時(shí)間；

Ck： 生產(chǎn)線k上加熱爐的容量上限；

γ（ilt）：若，則為1，否則為0；

ρ（k，t）：表示t時(shí)刻加熱爐k中鋼坯的數(shù)量；

T：全部鋼坯加熱完成的最大時(shí)間；

U：一個(gè)足夠大的正數(shù)。

2.1.2 決策變量

xik：若軋制單元i在生產(chǎn)線k上加工，則xik=1，否則xik=0；

yijk：若軋制單元i和j均在生產(chǎn)線k上加工，且j緊隨i之后進(jìn)行加工，則yijk=1，否則yijk=0；

2.2 數(shù)學(xué)模型

爐容受限的加熱爐-熱軋集成調(diào)度的數(shù)學(xué)模型如下：

目標(biāo)函數(shù)（1）最小化總完工時(shí)間；目標(biāo)函數(shù)（2）最小化鋼坯總住爐時(shí)間；目標(biāo)函數(shù)（3）最小化軋機(jī)總待機(jī)時(shí)間；約束（4）每個(gè)軋制單元只能分配到一條生產(chǎn)線上加工；約束（5）所有軋制單元有且僅有一個(gè)前序軋制單元和一個(gè)后繼軋制單元；約束（6）虛擬軋制單元0被安排在每條線的第一位；約束（7）虛擬軋制單元n+1被安排在每條生產(chǎn)線的最后一位；約束（8）在相同軋機(jī)上連續(xù)加工的兩個(gè)軋制單元，后者開(kāi)工時(shí)間要大于前者完工時(shí)間加軋機(jī)換輥時(shí)間；約束（9）鋼坯軋制開(kāi)始時(shí)間等于出爐時(shí)間加上加熱爐到軋機(jī)的運(yùn)輸時(shí)間；約束（10）軋制單元的開(kāi)軋時(shí)間即為單元中第一塊鋼坯的開(kāi)軋時(shí)間；約束（11）軋制單元的軋制時(shí)間等于單元中最后一塊鋼坯軋制完工時(shí)間減去軋制單元的開(kāi)軋時(shí)間；約束（12）同一軋制單元內(nèi)的相鄰兩塊鋼坯，入爐的時(shí)間間隔必須大于等于最小入爐時(shí)間間隔；約束（13）鋼坯實(shí)際住爐時(shí)間應(yīng)在額定加熱時(shí)間至最大住爐時(shí)間范圍內(nèi)；約束（14）同一軋制單元內(nèi)的相鄰兩塊鋼坯，后者開(kāi)工時(shí)間要大于前者完工時(shí)間和軋機(jī)待機(jī)時(shí)間不能過(guò)長(zhǎng)；約束（15）加熱爐中同時(shí)加熱的鋼坯數(shù)不可超出容量限制；約束（16）決策變量取值約束。

3 求解算法

加熱爐-熱軋集成調(diào)度問(wèn)題作為NP-hard問(wèn)題，短時(shí)間無(wú)法獲得最優(yōu)解，一般使用智能優(yōu)化算法獲取滿意解。NSGA-II是常見(jiàn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法，但考慮到模型中加熱爐容量限制，傳統(tǒng)的NSGA-II算法獲得的解不完全可行。因此，本文通過(guò)引入沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊對(duì)不可行的解進(jìn)行修復(fù)。

3.1 個(gè)體編碼和初始解

染色體采用三段實(shí)數(shù)編碼形式，由軋制單元所在生產(chǎn)線編號(hào)、鋼坯的開(kāi)始加熱時(shí)間和開(kāi)始軋制時(shí)間組成，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可表示如下：

其中，N為軋制單元個(gè)數(shù)，Mi為軋制單元i中鋼坯的個(gè)數(shù)，第一段數(shù)組中FurnaceNo(1×N)是通過(guò)隨機(jī)數(shù)為各軋制單元指派加工的生產(chǎn)線編號(hào)；第二段數(shù)組中BilletStartHeat(1×N×Mi)是鋼坯開(kāi)始加熱時(shí)間，第三段數(shù)組中BilletStartRoll(1×N×Mi)是鋼坯開(kāi)始軋制時(shí)間。如個(gè)體[1，2；[0，2，4]，[4，6，8]；[120，122，124]，[124，126，128]]。該個(gè)體表達(dá)了兩個(gè)軋制單元被分派到兩條生產(chǎn)線加工，每個(gè)軋制單元中包含三塊鋼坯。

3.2 選擇、交叉和變異算子

采用輪盤賭方式進(jìn)行選擇操作，采用多點(diǎn)復(fù)合交叉方式進(jìn)行交叉操作，采用均勻變異方式進(jìn)行變異操作。

3.3 適應(yīng)度函數(shù)和停止準(zhǔn)則

適應(yīng)度函數(shù)采用本文所求目標(biāo)函數(shù)。停止準(zhǔn)則采用給定種群的最大迭代次數(shù)。

3.4 沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊

3.4.1 沖突檢測(cè)

首先定義加熱爐剩余資源能力函數(shù)R（k，t）：

R（k，t）表示t時(shí)刻加熱爐k的剩余資源能力，若R（k，t）＜0，則表示t時(shí)刻加熱爐k的資源負(fù)荷量超過(guò)爐容，違背爐容約束式（15），存在資源沖突。

若初始調(diào)度方案中，軋制單元i中的鋼坯l被指派到加熱爐k上加工，且入爐時(shí)間為說(shuō)明鋼坯l的加工時(shí)間違背加熱爐的容量約束，則鋼坯l為沖突鋼坯。

3.4.2 修復(fù)方法

為消解沖突，需為沖突鋼坯重新指定開(kāi)始加熱時(shí)間。定義lk∈{1，2，…，Nk}，lk和Nk分別表示在生產(chǎn)線k上加熱爐加工的鋼坯索引及鋼坯總數(shù)，鋼坯lk在初始調(diào)度方案中給定的入爐時(shí)間和出爐時(shí)間分別為鋼坯lk經(jīng)調(diào)整后入爐時(shí)間和出爐時(shí)間分別為為生產(chǎn)線k上加熱爐的最早可用時(shí)間。

Step2：約束檢查。

3.5 算法步驟

下面介紹改進(jìn)NSGA-II算法求解步驟。其中：iter表示算法的迭代次數(shù)，maxIter是算法最大迭代次數(shù)，Pop表示種群，sonPop表示子代種群，popSize表示種群規(guī)模，Pc表示交叉概率，Pm表示變異概率。

Step1：隨機(jī)生成初始不完全解，執(zhí)行沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊獲得初始種群Pop。

Step2：初始化參數(shù)，包括種群規(guī)模popSize、最大進(jìn)化代數(shù)maxIter、交叉概率Pc、變異概率Pm、當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)iter=1。

Step3：判斷是否已經(jīng)生成第一代子群，如果iter=1，轉(zhuǎn)Step4，否則轉(zhuǎn)Step5。

Step4：對(duì)父代種群進(jìn)行非支配排序，再執(zhí)行選擇、交叉、變異操作，最后執(zhí)行沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊，獲得子代種群sonPop，更新進(jìn)化代數(shù)iter=iter+1。返回Step3。

Step5：將父代種群Pop和子代種群sonPop合并，對(duì)合并后的種群進(jìn)行快速非支配排序，再計(jì)算擁擠度距離，最后選出popSize個(gè)個(gè)體組成新的父代種群Pop。

Step6：對(duì)新的父代種群進(jìn)行選擇、交叉、變異操作，再執(zhí)行沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊，獲得新的子代種群。

Step7：判斷迭代終止條件，如果iter>maxIter，則算法終止，否則更新進(jìn)化代數(shù)iter=iter+1，返回Step3。

4 應(yīng)用案例

采用某鋼廠生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其生產(chǎn)配置為2臺(tái)軋機(jī)對(duì)應(yīng)2臺(tái)加熱爐。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和專家經(jīng)驗(yàn)設(shè)置加熱爐到軋機(jī)運(yùn)輸時(shí)間為20s、軋機(jī)換輥時(shí)間為60min，加熱爐最小入爐時(shí)間間隔為10s，軋機(jī)最大待機(jī)時(shí)長(zhǎng)為10min、加熱爐容量為（12，14）。根據(jù)問(wèn)題規(guī)模設(shè)置算法種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)為100，交叉概率0.7，變異概率為0.1。

選取一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。如表1所示是樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)信息，包括軋制單元編號(hào)、鋼坯的額定加熱時(shí)間、鋼坯的軋制時(shí)間、軋制單元中鋼坯數(shù)量等信息。經(jīng)過(guò)算法求解得到調(diào)度方案的甘特圖，如圖2所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)兩條產(chǎn)線的產(chǎn)能負(fù)荷分配均勻，軋機(jī)出現(xiàn)待機(jī)的情況較少。

圖2 加熱爐-熱軋集成調(diào)度甘特圖

表1 相關(guān)的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)

5 結(jié)論

加熱爐-熱軋集成調(diào)度是一類復(fù)雜的組合優(yōu)化問(wèn)題。本文考慮實(shí)際生產(chǎn)中存在的加熱爐容量限制約束，分析了國(guó)內(nèi)某鋼廠熱軋生產(chǎn)線的特點(diǎn)，以鋼坯為調(diào)度對(duì)象，以提高生產(chǎn)效率和設(shè)備利用率、降低能耗為目的，建立了加熱爐-熱軋集成調(diào)度的多目標(biāo)模型。針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)設(shè)計(jì)改進(jìn)NSGA-II算法，通過(guò)引入沖突檢測(cè)-修復(fù)模塊保證解可行。結(jié)果表明，本文所提出的調(diào)度方法符合生產(chǎn)實(shí)際，能夠有效降低加熱爐能耗，提高軋機(jī)利用率。對(duì)降低鋼鐵企業(yè)的生產(chǎn)成本、提高生產(chǎn)效率、均衡生產(chǎn)負(fù)荷具有顯著意義。