丁大為 盧小齊 胡永兵 楊宗立 王威 張紅偉

(安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院,合肥 230601)

不同的神經(jīng)元之間具有異質(zhì)性,神經(jīng)元活動具有很大的差異,因此研究異質(zhì)神經(jīng)元之間的耦合越來越受到關(guān)注.本文將Hindmarsh-Rose 神經(jīng)元模型和Hopfield 神經(jīng)元模型經(jīng)過憶阻電磁感應(yīng)耦合,構(gòu)成一個新的神經(jīng)元模型.利用相圖、分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)圖和吸引盆,證明對于耦合強(qiáng)度和其他參數(shù),新的神經(jīng)元模型表現(xiàn)出不同吸引子共存現(xiàn)象.在保持相關(guān)參數(shù)不變時,通過改變初始狀態(tài),可以觀察到系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,包括不同周期的共存,周期與混沌現(xiàn)象的共存等.最后基于高級RISC 機(jī) (advanced RISC machine,ARM)的微控制單元 (micro control unit,MCU)實現(xiàn)了該神經(jīng)元模型,實驗結(jié)果表明理論分析的有效性.

1 引言

憶阻器是一種電阻或電導(dǎo)隨時間變化的電路元件,其描述了電荷和磁通量之間的關(guān)系,此外,磁控憶阻和荷控憶阻是憶阻器的主要表現(xiàn)形式[1].憶阻器由于可塑性和非易失記憶的特性,成為除了電阻、電感、電容以外的第4 個基本電路元件[2].當(dāng)憶阻器涉及神經(jīng)元回路時,各種憶阻器可用來模擬生物神經(jīng)突觸[3],作為耦合突觸表征兩個神經(jīng)元膜電位之間的電位差產(chǎn)生的感應(yīng)電流[4].

神經(jīng)元是組成神經(jīng)系統(tǒng)的基本單位[5],神經(jīng)元的放電活動在信息處理和用驚人算法開發(fā)人工智能[6,7]中起著重要作用.到目前為止,已經(jīng)構(gòu)建了從Hodgkin-Huxley(HH)模型[8]導(dǎo)出的各種簡化神經(jīng)元模型,如Morris-Lecar(ML)[9]、Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(HNN)[10]、二維和三維Hindmarsh-Rose.如今,單個神經(jīng)元模型自耦合或多個相同神經(jīng)元之間的耦合已經(jīng)有很多報道,Bao 等[11]在報道了2D HR 神經(jīng)元模型的基礎(chǔ)上,提出的憶阻器耦合HR 神經(jīng)元模型表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)現(xiàn)象.

事實上,不同的神經(jīng)元由于具有異質(zhì)性,神經(jīng)元活動也有很大差別[12,13].Wang 等[14]討論了耦合異質(zhì)神經(jīng)元中的隨機(jī)共振現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)?shù)漠愘|(zhì)神經(jīng)元耦合情況下,系統(tǒng)中會發(fā)生多個隨機(jī)共振.Han 等[15]研究了改進(jìn)的Hodgkin-Huxley 神經(jīng)元與伴有突觸延遲的異質(zhì)神經(jīng)元在各種條件下的同步.此外,Cheng 等[16]發(fā)現(xiàn),在耦合的異質(zhì)混沌Rulkov 神經(jīng)元中,改變第2 個神經(jīng)元參數(shù)會影響第1 個神經(jīng)元的放電模式.因此,研究異質(zhì)神經(jīng)元之間的耦合情況對于更準(zhǔn)確地模擬人類神經(jīng)元具有重要意義[17].不幸的是,在許多關(guān)于憶阻耦合神經(jīng)元的研究中,研究者都考慮了相鄰兩個相同神經(jīng)元的研究,而忽略了異質(zhì)神經(jīng)元的研究[18,19].

近年來,共存行為[20,21]已經(jīng)成為一個非常重要的研究課題并受到廣泛關(guān)注.共存行為是一種復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象,包括不同周期之間的共存、周期與混沌的共存、混沌與混沌的共存,其中周期現(xiàn)象反應(yīng)生物神經(jīng)元疾病,不同的周期對應(yīng)不同的神經(jīng)元疾病,混沌現(xiàn)象反應(yīng)生物正常的神經(jīng)元活動,不同周期的共存、周期與混沌現(xiàn)象的共存等現(xiàn)象可能是因為神經(jīng)元受到神經(jīng)調(diào)節(jié)劑的調(diào)節(jié),表現(xiàn)出不同的神經(jīng)元活動.在同一非線性系統(tǒng)中,不同初始狀態(tài)下包含不同種類的穩(wěn)定動力學(xué)行為[22].特別在不同初始條件下,包含3 個或更多不同狀態(tài)的吸引子共存,被稱為多穩(wěn)態(tài)[23].多穩(wěn)態(tài)意味著非線性系統(tǒng)中存在著豐富多樣的穩(wěn)定狀態(tài),這反映了大腦本身的特征,大量的電生理學(xué)實驗表明,在生物神經(jīng)元的電活動中存在多穩(wěn)態(tài)的放電模式[24,25],這種多穩(wěn)態(tài)行為可能是神經(jīng)元受到神經(jīng)調(diào)節(jié)劑的調(diào)節(jié),這對研究神經(jīng)元的動態(tài)記憶和信息處理有很多潛在的影響.從動力學(xué)角度揭示不同類型的多穩(wěn)態(tài)有助于深入理解多穩(wěn)態(tài)在大腦信息處理和認(rèn)知功能中的作用.

在上述工作的基礎(chǔ)上,本文提出了一種新的分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型.選擇一個Hindmarsh-Rose 神經(jīng)元模型和一個Hopfield 神經(jīng)元模型,兩個神經(jīng)元模型有很大差異.將所提出的分?jǐn)?shù)階正弦憶阻器和分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻器模擬神經(jīng)突觸引入到兩個異質(zhì)神經(jīng)元模型中,不僅考慮兩個神經(jīng)元之間的耦合情況,也考慮到單個神經(jīng)元的自耦合情況,建立了五維分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型,新的神經(jīng)元模型可以表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)現(xiàn)象.利用相圖、分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)圖和吸引盆,證明了對于耦合強(qiáng)度和其他參數(shù),該神經(jīng)元模型表現(xiàn)出不同吸引子共存現(xiàn)象.另一方面,在保持相關(guān)參數(shù)不變時,通過改變初始狀態(tài),可以觀察到系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,包括不同周期的共存,周期與混沌現(xiàn)象的共存等.最后通過 STM32 F750 實現(xiàn)了該電路,結(jié)果說明了理論分析的有效性.

2 分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型

2.1 分?jǐn)?shù)階定義

卡普托導(dǎo)數(shù)是求解分?jǐn)?shù)階微分方程[26]的常用方法之一,其D定義為

2.2 分?jǐn)?shù)階憶阻器

隨著憶阻器的發(fā)展,憶阻器的模型表達(dá)式越來越豐富,根據(jù)卡普托定義,具有正弦憶導(dǎo)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階憶阻器的數(shù)學(xué)形式為

其中v和i是憶阻器的輸入、輸出端口,ψ為內(nèi)部變量,k1和k2為電磁感應(yīng)強(qiáng)度,分?jǐn)?shù)階q滿足 0＜q＜1.憶導(dǎo)函數(shù)Wq(ψ)表示為

當(dāng)分?jǐn)?shù)階q=0.95 時,在保持參數(shù)α=1,β=1.25 的條件下,研究了在不同信號頻率和信號幅度下,憶阻器的動力學(xué)行為.當(dāng)選擇幅度為A、頻率為F的正弦電壓信V=Asin(2πFt)作為驅(qū)動源時,在頻率F=1 和初始狀態(tài)x(0)=1,用振幅A的不同值;以及振幅A=4 和初始狀態(tài)x(0)=1 用頻率F的不同值固定時,憶阻器相關(guān)的收縮磁滯回線分別如圖1(a),(b)所示.當(dāng)具有不同幅度和頻率的正弦信號驅(qū)動時,6 個收縮磁滯回線穿過電壓-電流平面中的原點.在圖1(b)中,隨著激勵頻率從0.4 kHz 增大到3 kHz,滯后波瓣面積逐漸減小.很明顯,當(dāng)頻率增大到無窮大時,收縮磁滯回線將趨向于單值函數(shù).顯然,所提出的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出憶阻器的特性.

圖1 分?jǐn)?shù)階憶阻器的磁滯回線 (a)F=1,不同的振幅;(b)A=4,不同頻率Fig.1.Hysteresis loop of fractional-order memristor: (a) Different amplitudes for F=1;(b) different frequencies for A=4.

2.3 分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型

由于不同神經(jīng)元之間的異質(zhì)性,異質(zhì)神經(jīng)元耦合的動力學(xué)現(xiàn)象更是豐富多彩.如今,對異質(zhì)神經(jīng)元之間的耦合研究的內(nèi)容還很少,為此將兩個不同的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型經(jīng)過憶阻電磁感應(yīng)耦合構(gòu)成一個新的神經(jīng)元模型,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2 所示,新的耦合神經(jīng)元模型如下:

圖2 耦合神經(jīng)元的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2.Topology of coupled neurons.

其中x表示Hindmarsh-Rosesh 神經(jīng)元膜電位,y表示Hindmarsh-Rosesh 神經(jīng)元的恢復(fù)變量,u表示Hopfield 神經(jīng)元的狀態(tài)向量.z和ψ表示憶阻器內(nèi)部狀態(tài)函數(shù).a,b,c,d,k3,k4為系統(tǒng)參數(shù),α,β,k2為憶阻參數(shù),設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)和憶阻參數(shù)為a=1,b=3,c=1,d=5,α=0.1,β=1.25,k2=0.35,k3=3.8,k4=1.9,k1為Hindmarsh-Rose神經(jīng)元的自耦合系數(shù),m為異質(zhì)神經(jīng)元之間的憶阻電磁感應(yīng)耦合系數(shù),電磁感應(yīng)電流IM由兩個相鄰神經(jīng)元之間的膜電位差感應(yīng)的,可以通過非理想磁通控制憶阻器來表征,分?jǐn)?shù)階閾值憶阻器產(chǎn)生的感應(yīng)電流IM表示為

2.4 分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元平衡點分析

模型(5)的平衡點可以由下式得到:

該耦合神經(jīng)元的平衡點E為

式中η為任意常數(shù),g(m)為確切的常數(shù),由于線平衡點的關(guān)系,該耦合神經(jīng)元模型有無數(shù)個平衡點.該耦合神經(jīng)元模型在平衡點E的雅可比矩陣J為

其中,h1=k1(0.1+1.25 sinη)+mtanh(-g(m)),h2=-mtanh(-g(m)),h3=-mg(m)[1-tanh2(-g(m)],h4=-1.9-mtanh(-g(m)),h5=-1+3.8[1-tanh2(g(m))]+mtanh(-g(m)).因此,系統(tǒng)平衡點的特征值是下列方程的解:

式中,σ1,σ2,σ3是關(guān)于參數(shù)m的函數(shù),且都為實數(shù).該耦合神經(jīng)元模型的五個特征值如下:

當(dāng)σ1,σ2與σ3取不同的值時,系統(tǒng)平衡點E的特征值情況如表1 所列.

根據(jù)Routh-Hurwrite 定理,在平衡點處的雅可比矩陣具有正實根,因此,該系統(tǒng)的平衡點全為不穩(wěn)定平衡點,該耦合神經(jīng)元模型是不穩(wěn)定系統(tǒng).

3 初始狀態(tài)不同的共存分岔現(xiàn)象

分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型表現(xiàn)出顯著的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定時,在不同初始條件下,該分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型包含3 種不同狀態(tài)的吸引子共存,通過分叉圖,以及對應(yīng)的相圖可以清晰地觀察到多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在.

3.1 分?jǐn)?shù)階憶阻耦合神經(jīng)元模型隨耦合系數(shù) m 變化的共存分岔

當(dāng)參數(shù)k1=1.25 時,選擇初始值(0 0 0 0–3),(0 0 3 1–3)和(0 0 3 0–3),分?jǐn)?shù)階憶阻電磁感應(yīng)耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型m的共存分岔和前兩個Lyapunov 指數(shù)如圖3 所示.圖3(a)中,紅色軌跡為初始值(0 0 0 0–3)的分叉圖,藍(lán)色軌跡為初始值(0 0 3 1–3)的分叉圖,洋紅色軌跡為初始值(0 0 3 0–3)的分叉圖.每個初始值對應(yīng)的前兩個 Lyapunov指數(shù)位于圖3(b).

圖3(a)中不同初始值的分叉圖表明神經(jīng)元模型的共存現(xiàn)象,當(dāng)初始條件為(0 0 0 0–3)時,系統(tǒng)(5)式從混沌現(xiàn)象開始過渡周期4,在經(jīng)過兩次反向倍分岔行為過渡到周期二和周期一放電,初始條件為(0 0 3 1–3)時,系統(tǒng)(5)式從周期一過渡到混沌區(qū)域然后進(jìn)入周期四放電,同樣在經(jīng)過兩次反向倍分岔行為到周期二和周期一放電,而當(dāng)初始條件為(0 0 3 0–3)時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)大部分區(qū)域內(nèi)處于周期一放電,只有在特定的區(qū)域內(nèi)發(fā)生跳躍,變?yōu)橹芷诙烹?與之對應(yīng)得前兩個 L yapunov 指數(shù)經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)與分叉圖吻合.

圖3 關(guān)于耦合系數(shù)m 的共存現(xiàn)象 (a)關(guān)于m 的分岔圖;(b)對應(yīng)前兩個 L yapunov 指數(shù)圖Fig.3.Coexistence of coupling coefficients: (a) Bifurcation diagram of the relationship;(b) corresponding to the first two exponential diagrams.

給定一些確定值m,在x-y平面上系統(tǒng)(5)的吸引子多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象如圖4 所示,其中藍(lán)色、紅色和洋紅色軌道的初始值分別表示(0 0 3 1–3),(0 0 0 0–3)和(0 0 3 0–3).同時,在圖4 中可以發(fā)現(xiàn),不同周期吸引子和混沌吸引子的共存以及不同周期吸引子的共存.特別地,不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的周期性吸引子和不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的混沌吸引子都出現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階憶阻器耦合的異質(zhì)神經(jīng)元中.

圖4 確定值 m,x-y 平面上的相圖 (a)m=0.015 ;(b)m=0.05;(c)m=0.215;(d) m=0.26Fig.4.Determination of values,phase diagrams on the x-y plane: (a)m=0.015;(b) m=0.05;(c) m=0.215;(d) m=0.2.

3.2 局部吸引子盆地

對于不同吸引子狀態(tài)共存現(xiàn)象,圖5 給出了分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元的吸引子共存的吸引子盆地.當(dāng)耦合強(qiáng)度m=0.22 時,給定不同k1的值,在 (x(0)y(0)ψ(0))=(10-5)時,給出了z(0)-u(0)初始平面的局部吸引盆如圖5(a),(b)所示.當(dāng)k1=1.5 時,可以清晰觀察到黃色和青色兩種顏色的共存見圖5(a),其中黃色代表周期二,青色代表周期一.當(dāng)k1=1.8 時,可觀察到綠色、黃色、青色3 種顏色的共存見圖5(b),其中綠色代表混沌狀態(tài),黃色代表周期四,青色代表周期一.通過比較圖5(a),(b),當(dāng)k1取不同值時,會改變分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元的吸引子共存現(xiàn)象.

圖5 k1 取不同值時 z(0)-u(0)初始平面的局部吸引盆 (a)k1=1.5;(b) k1=1.8Fig.5.Local attraction basin of the z(0)-u(0) initial plane with different values: (a) k1=1.5;(b) k1=1.8.

當(dāng)k1取不同值時,分?jǐn)?shù)階憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元的吸引子共存現(xiàn)象有較大差異,當(dāng)初值不同時可以由y-u平面的相圖觀察到不同狀態(tài)的吸引子共存現(xiàn)象如圖6 所示.當(dāng)k1=1.5 時,選取初值(1 0 1.5 0–5)以及(1 0 0 0–5)繪制y-u平面相圖,可以觀察到周期一的吸引子與周期二吸引子共存.當(dāng)k1=1.8 時,選取初值(1 0 1 0.6–5),(1 0 1.5 0–5)及(1 0–1 0–5)繪制y-u平面相圖,可以觀察到周期一吸引子、周期四吸引子以及混沌吸引子共存.

圖6 k1 取不同值時,y-u 平面的吸引子共存現(xiàn)象 (a)k1=1.5;(b) k1=1.8Fig.6.Coexistence of y-u plane attractors with different values: (a) k1=1.5;(b) k1=1.8.

4 憶阻耦合異質(zhì)神經(jīng)元模型的硬件實現(xiàn)

混沌系統(tǒng)的硬件實現(xiàn)是驗證該混沌系統(tǒng)可行性的重要方法之一.由于單片機(jī)使用廣泛且價格實惠,因此,本文使用STM32 F750 系列開發(fā)板對該混沌系統(tǒng)進(jìn)行硬件實現(xiàn).該實驗平臺使用一個雙蹤模擬示波器(GW INSTEK GOS-6021)捕獲單片機(jī)(STM32 H750/F750)所產(chǎn)生的模擬序列,最終在模擬示波器上顯示該序列.

圖7(a)顯示了程序流程圖.STM32 系統(tǒng)初始化后,設(shè)置系統(tǒng)的各種參數(shù)及初始值,然后開始迭代計算.將結(jié)果推入堆棧中,以便于下一次計算以調(diào)用結(jié)果.數(shù)據(jù)處理后的結(jié)果通過數(shù)據(jù)輸出.在實驗中,我們設(shè)置了與文章中所出現(xiàn)的參數(shù)以及初始值,STM32 實現(xiàn)硬件連接圖如圖7(b)所示,調(diào)試完成后,得到了系統(tǒng)的實驗相圖如圖8.比較圖8中MATLAB 數(shù)值仿真相圖與單片機(jī)實驗結(jié)果,可以得出結(jié)論,已經(jīng)成功地完成了該混沌系統(tǒng)的單片機(jī)硬件實現(xiàn).

圖7 (a) STM32 實現(xiàn)的編程流程;(b) STM32 實現(xiàn)的實驗平臺Fig.7.(a) STM32 realized programming flow;(b) STM32 realized experimental platform.

圖8 部分參數(shù)的 MATLAB 仿真圖和單片機(jī)實驗結(jié)果 (a)—(d) MATLAB 仿真圖;(e)—(h)單片機(jī)實驗結(jié)果Fig.8.Simulation diagram of some parameters and experimental results of MCU microcomputer: (a)–(d) Simulation diagram;(e)–(h) experimental results of single-chip microcomputer.

5 結(jié)論

本文研究了分?jǐn)?shù)階電磁感應(yīng)耦合異質(zhì)神經(jīng)元的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,將一個Hindmarsh-Rose 神經(jīng)元模型和一個Hopfield 神經(jīng)元模型經(jīng)過憶阻感應(yīng)耦合建立一個新的神經(jīng)元模型.在給定不同的初始條件時,憶阻電磁感應(yīng)耦合神經(jīng)元模型可以觀察到多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.利用相圖、分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)圖和吸引盆,證明了對于耦合強(qiáng)度和其他參數(shù),新的神經(jīng)元模型表現(xiàn)出多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,經(jīng)過MATLAB 數(shù)值模擬驗證了結(jié)果.最后,通過單片機(jī)實驗平臺對本文部分相圖進(jìn)行實現(xiàn),得到的實驗結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果一致.