范思晨 楊帆 阮軍

1) (中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心,西安 710600)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

3) (中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710600)

藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的電磁場(chǎng)為回音壁模式時(shí)具有極低的介質(zhì)損耗.本文采用徑向-軸向模式匹配法,理論分析了藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的場(chǎng)模式分布,分析了諧振頻率與諧振體幾何尺寸的關(guān)系;其次,基于有限元分析仿真了藍(lán)寶石圓柱體內(nèi)場(chǎng)分布情況;研制了三維轉(zhuǎn)動(dòng)位移臺(tái),采用磁環(huán)/探針耦合的方式激發(fā)藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的回音壁電磁場(chǎng),測(cè)量了諧振體表面的S 參數(shù),由此確定了諧振體內(nèi)的回音壁模式參數(shù),得到諧振器的無載Q 值為94000.利用該諧振體可制成低相位噪聲的微波振蕩器.

1 引言

藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的電磁場(chǎng)為回音壁模式時(shí)具有極低的介質(zhì)損耗[1],由此制成的振蕩器具有超低相位噪聲和較高中短期頻率穩(wěn)定度等特性[2,3],在原子頻率標(biāo)準(zhǔn)[4?7]、暗物質(zhì)探測(cè)[8,9]、量子計(jì)算[10,11]、甚長(zhǎng)基線干涉儀[12,13]和深空探測(cè)[14,15]等領(lǐng)域有重要應(yīng)用.藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的電磁場(chǎng)模式與振蕩器品質(zhì)因子Q存在確定的函數(shù)關(guān)系[16,17],直接影響著振蕩器的相位噪聲,因此確定藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的電磁場(chǎng)分布是實(shí)現(xiàn)高性能振蕩器的先決條件.由于回音壁模式的電磁場(chǎng)絕大部分分布在藍(lán)寶石內(nèi)部,并不能直接利用探針測(cè)量其分布,一般多采用模式匹配法[18?21],計(jì)算特定模式的諧振頻率和藍(lán)寶石內(nèi)部的電磁場(chǎng)分布,或者應(yīng)用軟件仿真方法來確定電磁場(chǎng)分布,很少進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

本文設(shè)計(jì)并研制了裝配雙端磁環(huán)/探針的精密轉(zhuǎn)動(dòng)位移臺(tái),激勵(lì)產(chǎn)生了藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的回音壁模式電磁場(chǎng),同時(shí)獲得了藍(lán)寶石諧振體外的電磁場(chǎng)分布,通過與模式匹配法理論計(jì)算和微波軟件仿真結(jié)果進(jìn)行比較,從而確定了藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的回音壁模式電磁場(chǎng)參數(shù).

2 藍(lán)寶石諧振體的電磁場(chǎng)模式結(jié)構(gòu)

藍(lán)寶石是各向異性的單晶體材料,對(duì)于圓柱形藍(lán)寶石,它的晶軸(C軸)與z軸平行,平行于晶軸方向的相對(duì)介電常數(shù)為ε//,垂直于晶軸方向的相對(duì)介電常數(shù)為εr和εθ.實(shí)驗(yàn)中藍(lán)寶石尺寸為直徑54.21 mm,高30.00 mm,藍(lán)寶石柱體的一端有一個(gè)直徑10.00 mm,高22.00 mm 的小圓柱體用于將藍(lán)寶石固定在腔內(nèi).在292 K 時(shí),藍(lán)寶石的相對(duì)介電常數(shù)ε⊥=9.39,ε//=11.576.

2.1 理論研究

介質(zhì)諧振體理論分析方法有介質(zhì)波導(dǎo)法[22]、徑向模式匹配法[23]、軸向模式匹配法[24],本文采用Tabor 和Mann[19]提出的徑向與軸向結(jié)合的模式匹配方法.

徑向匹配得到以下超越方程[25]:

在這里,

其中,Jm為m階第一類貝塞爾函數(shù),Km為m階第二類修正貝塞爾函數(shù),kE是平行于c軸的介質(zhì)傳播常數(shù),kH是垂直于c軸的介質(zhì)傳播常數(shù),β是軸向傳播常數(shù),kout是外徑向傳播常數(shù),k0是自由空間波數(shù).

軸向匹配可以得到:

利用上述兩個(gè)方程即可求得藍(lán)寶石諧振體工作在回音壁模式的諧振頻率.

2.2 藍(lán)寶諧振體內(nèi)的電磁場(chǎng)仿真分析

有限元方法可以仿真藍(lán)寶石諧振體內(nèi)的電磁場(chǎng)分布情況[26?28].利用三維電磁場(chǎng)仿真軟件CST Studio Suite 建立仿真模型,使用本征模求解器仿真藍(lán)寶石晶體工作在回音壁模式下的場(chǎng)分布,仿真模型如圖1(a)所示.分別對(duì)藍(lán)寶石諧振體和空氣區(qū)域進(jìn)行不同的網(wǎng)格剖分,求解數(shù)值精度為10–9,迭代次數(shù)為6.當(dāng)藍(lán)寶石介質(zhì)工作在WGH15,0,0模式時(shí),電磁場(chǎng)的能量密度分布如圖1(b)和圖1(c)所示.圖1(b)中,圓柱體為藍(lán)寶石柱,外部為空氣,電磁能量被限制在藍(lán)寶石晶體邊界靠近空氣的地方,在方位角上呈現(xiàn)花瓣形狀,具有周期性.

圖1 WGH15,0,0 模式仿真 (a) 有限元模型網(wǎng)格填充剖面圖;(b)電場(chǎng)方位角向分布;(c) 磁場(chǎng)徑向分布Fig.1.WGH15,0,0: (a) Mesh filling section of finite element model;(b) azimuth distribution of electric field;(c) radial distribution of the magnetic field.

2.3 藍(lán)寶石諧振體的電磁場(chǎng)分布實(shí)驗(yàn)測(cè)量

通過近場(chǎng)探測(cè)的方法確定藍(lán)寶石柱腔內(nèi)的微波模式場(chǎng)分布,測(cè)試裝置如圖2 所示.

圖2 測(cè)量WGH 模式共振頻率裝置示意圖Fig.2.Schematic diagram of measuring WGH mode resonance frequency device.

矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀作為微波產(chǎn)生和探測(cè)的裝置,使用主動(dòng)型氫鐘作為其時(shí)鐘參考.矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀端口1 發(fā)射的微波通過固定的磁環(huán)耦合進(jìn)樣品,在內(nèi)部和表面形成回音壁模式的諧振器電磁場(chǎng).用磁環(huán)或探針對(duì)樣品表面電磁場(chǎng)進(jìn)行探測(cè),磁環(huán)和探針天線通過精密位移臺(tái)(分辨率0.01 mm)和轉(zhuǎn)動(dòng)臺(tái)(分辨率0.01°)固定,接收端可沿軸向(z)、徑向(ρ)和方位角(θ)方向調(diào)節(jié).可移動(dòng)的磁環(huán)或天線連接到矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀端口2 作為微波接收端,測(cè)量S參數(shù)隨空間的變化情況.調(diào)節(jié)臂2 的軸向高度,可以確定WGH 模式軸向數(shù);將臂3 探針沿徑向移動(dòng),可以確定徑向數(shù);將臂2 繞藍(lán)寶石樣品旋轉(zhuǎn),觀測(cè)S21變化的周期性變化,可以確定方位角數(shù).

3 結(jié)果分析和討論

3.1 藍(lán)寶石諧振體回音壁模式分析

利用上述測(cè)量裝置對(duì)WGH15,0,0模近場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量,并與有限元仿真電磁場(chǎng)強(qiáng)度絕對(duì)值進(jìn)行對(duì)比,如圖3 所示,其中黑線表示有限元仿真法電磁場(chǎng)強(qiáng)度絕對(duì)值,紅線表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量S21值.圖3(a)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度方位角向分布,磁環(huán)繞方位角方向S21測(cè)量值和有限元法的磁場(chǎng)強(qiáng)度絕對(duì)值變化趨勢(shì)基本符合,在方位角上電磁場(chǎng)強(qiáng)度具有周期性,每12°為一個(gè)周期,故m=15 .圖3(b)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度軸向分布,磁環(huán)位置在軸向上高度變化激勵(lì)的S21值與有限元法的磁場(chǎng)強(qiáng)度絕對(duì)值較一致,在軸向上p=0.圖3(c)表示電場(chǎng)強(qiáng)度徑向分布,探針位置在徑向上變化激勵(lì)的S21值與有限元法的電場(chǎng)強(qiáng)度絕對(duì)值趨勢(shì)一致,在徑向上電場(chǎng)強(qiáng)度具有對(duì)稱性,n=0.

圖3 WGH15,0,0 模式電磁場(chǎng)強(qiáng)度 (a) 磁場(chǎng)強(qiáng)度方位角向分布;(b) 磁場(chǎng)強(qiáng)度軸向分布;(c)電場(chǎng)強(qiáng)度徑向分布Fig.3.Electromagnetic field intensity of WGH15,0,0: (a) Cross-section distribution of magnetic field intensity;(b) axial cross-section distribution of magnetic field intensity;(c) cross-section distribution of electric field intensity diameter.

3.2 藍(lán)寶石諧振體諧振頻率分析

實(shí)驗(yàn)中,采用磁耦合方式激發(fā)和探測(cè).圖4 中,紅線為通過模式匹配法計(jì)算出的WGHm,0,0模式諧振頻率,藍(lán)線為有限元分析法得到的WGHm,0,0模式諧振頻率,綠線為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的WGHm,0,0模式諧振頻率.理論計(jì)算、有限元法仿真和實(shí)際測(cè)量得到的頻率值基本符合.

圖4 WGHm,0,0 模式理論頻率和測(cè)量頻率的比較Fig.4.Comparison of theoretical and measured frequencies of WGHm,0,0 models.

WGHm,0,0模式測(cè)量的諧振頻率與方位角模式數(shù)呈線性關(guān)系,與理論計(jì)算值和有限元分析結(jié)果一致.表1 給出理論計(jì)算、有限元仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的諧振頻率,并且計(jì)算得到精度.分析可得,有限元仿真得到的精度 Δf/f＜0.06%,實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果得到的精度 Δf/f＜0.02 %.

表1 m=10—19 的諧振頻率Table 1.Resonant frequency of m=10–19.

圖5 中,測(cè)量帶寬為300 MHz,激發(fā)探頭和探測(cè)磁環(huán)之間的夾角為180°.WGH15,0,0附近存在多個(gè)雜散模,在形成振蕩環(huán)路時(shí),容易跳頻.圖3中,WGH15,0,0在方位角方向上存在周期性,當(dāng)激發(fā)磁環(huán)和探測(cè)磁環(huán)之間的夾角為180°時(shí),所有模態(tài)都被激發(fā).改變可移動(dòng)磁環(huán)在方位角方向上的位置,將其固定在WGH15,0,0最大場(chǎng)位置,此時(shí)磁環(huán)沿諧振體軸旋轉(zhuǎn)=12°,激發(fā)磁環(huán)和探測(cè)磁環(huán)之間的夾角為168°,WGH15,0,0模式不受影響,且雜散模式被有效抑制,測(cè)試結(jié)果如圖5 中綠線所示.

圖5 室溫下WGH15,0,0 模式磁環(huán)不同位置的S21 參數(shù)Fig.5.S21 at different positions of WGH15,0,0 mode magnetic rings in samples at room temperature.

當(dāng)激發(fā)磁環(huán)和探測(cè)磁環(huán)之間的夾角為168°時(shí),利用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀ZVB14 對(duì)藍(lán)寶石諧振體的S參數(shù)進(jìn)行測(cè)量,結(jié)果如圖6 所示,測(cè)量帶寬為2 MHz.紅線為S12,綠線為S21,其中f0=9891754142 Hz,Δf=124041 Hz,根據(jù)QL=可得,QL≈8×104,故Q0=≈9.4×104.

圖6 室溫下樣品的WGH15,0,0 模式S 參數(shù)Fig.6.WGH15,0,0 mode S parameters of samples at room temperature.

3.3 諧振腔頻率-溫度敏感度分析

溫度是影響藍(lán)寶石諧振體的諧振頻率的主要因素.其頻率-溫度敏感度(TCF)[29]如下:

式中,

pe⊥和pe//分別為垂直于晶軸方向和平行于晶軸方向的電場(chǎng)填充因子,pD和pL分別為回音壁模式諧振頻率對(duì)藍(lán)寶石柱直徑和高度變化的敏感度,αε⊥和αε//分別為垂直于晶軸方向和平行于晶軸方向的介電常數(shù)溫度系數(shù),αD和αL分別為垂直于晶軸方向和平行于晶軸方向的熱膨脹系數(shù).

分別加入微擾 ΔD和 ΔL,通過模式匹配法和有限元分析法分別求得此時(shí)的 Δf.圖7 給出藍(lán)寶石諧振體直徑(D)和高度(L)變化對(duì)回音壁模式WGH15,0,0諧振頻率的影響.改變藍(lán)寶石柱直徑D(mm)得到諧振頻率隨直徑的變化關(guān)系,根據(jù)pD=可得,pD≈0.973 .保持藍(lán)寶石柱直徑不變,改變高度H(mm)得到諧振頻率隨高度的變化關(guān)系,根據(jù)pL=可得,pL≈0.027.可以看出諧振頻率隨直徑變化的敏感度大于隨高度變化的敏感度.

圖7 WGH15,0,0 諧振頻率與樣品尺寸關(guān)系 (a) 諧振頻率與直徑變化的關(guān)系;(b) 諧振頻率與高度變化的關(guān)系Fig.7.Relationship between resonant frequency and sample size: (a) Relation between resonant frequency and diameter change;(b) relation between resonant frequency and height variation.

分別加入微擾 Δε⊥和 Δε//,通過模式匹配法和有限元分析法分別求得此時(shí)的 Δf.圖8 給出了藍(lán)寶石回音壁模式WGH15,0,0諧振頻率與相對(duì)介電常數(shù)的關(guān)系.改變藍(lán)寶石垂直于晶軸的相對(duì)介電常數(shù)得到諧振頻率隨ε⊥的變化關(guān)系,根據(jù)pe⊥=可得,pe⊥≈0.032.保持藍(lán)寶石垂直于晶軸的相對(duì)介電常數(shù)不變,改變平行于晶軸的相對(duì)介電常數(shù),得到諧振頻率隨ε//的變化關(guān)系,根據(jù)pe//=可得,pe//≈0.96 .諧振頻率隨平行于晶軸的相對(duì)介電常數(shù)變化的敏感度大于隨垂直于晶軸的相對(duì)介電常數(shù)變化的敏感度.

圖8 WGH15,0,0 諧振頻率與相對(duì)介電常數(shù)的關(guān)系 (a) 諧振頻率與 ε⊥ 的關(guān)系;(b) 諧振頻率與 ε// 的關(guān)系Fig.8.Relation between resonant frequency and relative permittivity: (a) Relation between resonant frequency and ε⊥ ;(b) relation between resonant frequency and ε//.

對(duì)于WGH15,0,0模,TCF 近似為結(jié)果表明,藍(lán)寶石諧振體工作在WGH15,0,0回音壁模式的頻率-溫度敏感度主要與平行于晶軸方向的介電常數(shù)溫度系數(shù)和垂直于晶軸方向的熱膨脹系數(shù)有關(guān).

圖9 給出垂直于晶軸的介電常數(shù)和平行于晶軸的介電常數(shù)與溫度的關(guān)系[30].在低溫下,介電常數(shù)對(duì)溫度的敏感度小,隨溫度的變化趨勢(shì)較緩慢;當(dāng)溫度升高到一定值時(shí),介電常數(shù)對(duì)溫度的敏感度逐漸增大,隨溫度的變化趨勢(shì)較快.圖9 中藍(lán)線表示當(dāng)溫度為292 K 時(shí)加入微擾 ΔT,分別求得此時(shí)的 Δε⊥與 Δε//.改變溫度得到介電常數(shù)隨溫度的變化關(guān)系.根據(jù)αε⊥=可得,αε⊥≈91.07×10-6K-1.根據(jù)αε//=可得,αε//≈133.03×10-6K-1.

圖9 溫度對(duì)相對(duì)介電常數(shù)的影響 (a) ε⊥ 與溫度的關(guān)系;(b) ε// 與溫度的關(guān)系Fig.9.Influence of temperature and relative permittivity: (a) Relationship between ε⊥ and temperature;(b) relationship between ε//and temperature.

圖10 給出垂直于晶軸的熱膨脹系數(shù)和平行于晶軸的熱膨脹系數(shù)與溫度的關(guān)系[31].圖中藍(lán)線表示在溫度為20—350 K 時(shí),垂直于晶軸的熱膨脹系數(shù)和平行于晶軸的熱膨脹系數(shù)與溫度關(guān)系的擬合曲線:

圖10 溫度對(duì)熱膨脹系數(shù)的影響 (a) αD 與溫度的關(guān)系;(b) αL 與溫度的關(guān)系Fig.10.Influence of temperature and thermal coefficient of expansion: (a) Relationship between αD and temperature;(b) relationship between αL and temperature.

當(dāng)溫度是292 K 時(shí),根據(jù)(5)式可得,αD=5.12×10-6,αL=5.90×10-6.比較可知,介電常數(shù)溫度系數(shù)對(duì)溫度的敏感度比熱膨脹系數(shù)約大10 倍,因此,藍(lán)寶石諧振體工作在WGH 回音壁模式時(shí),頻率-溫度敏感度主要與平行于晶軸方向的介電常數(shù)溫度系數(shù)有關(guān).根據(jù)(4)式可得,當(dāng)溫度為292 K時(shí),藍(lán)寶石諧振體工作在WGH 回音壁模式的頻率-溫度敏感度約為 71.64×10-6.因此,為了使藍(lán)寶石諧振體有較高的中短期頻率穩(wěn)定度,需要采用精密的溫控技術(shù)或者對(duì)頻率-溫度敏感度進(jìn)行補(bǔ)償.

4 結(jié)論

本文以藍(lán)寶石諧振體為基礎(chǔ),通過理論分析和模擬仿真,對(duì)藍(lán)寶石諧振體工作在WGH15,0,0模式下的尺寸、結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì).理論計(jì)算了藍(lán)寶石諧振體高度和直徑以及相對(duì)介電常數(shù)對(duì)諧振頻率的影響.通過對(duì)藍(lán)寶石諧振體進(jìn)行耦合測(cè)試與調(diào)節(jié),最終實(shí)現(xiàn)了藍(lán)寶石諧振體的諧振頻率為9.891 GHz,無載Q值為94000,由此可制成具有低相位噪聲特性的微波振蕩器.