劉一宣，譚宜家

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福州350108)

矩陣的保持問題一直是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域，具有廣泛的應(yīng)用背景，在微分方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中具有重要的作用．關(guān)于域上矩陣的保持問題已取得了大量的研究成果(參見文獻(xiàn)[1-14])．2017年，張國(guó)庭與趙顯貴[15]研究了一般交換環(huán)上的矩陣保持問題，所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1-3]的結(jié)論；進(jìn)而文獻(xiàn)[16]探討了整環(huán)上全矩陣空間和上三角矩陣空間保持逆矩陣的函數(shù)，將文獻(xiàn)[4]的結(jié)論推廣到整環(huán)上. 最近，文獻(xiàn)[17]研究了交換環(huán)上保持行列式的函數(shù)，給出了交換環(huán)上上三角矩陣空間、對(duì)稱矩陣空間以及全矩陣空間中保持行列式的函數(shù)的具體形式，拓廣與改進(jìn)了文獻(xiàn)[5]的結(jié)論. 本文在上述基礎(chǔ)上探討交換整環(huán)上矩陣空間保持相似關(guān)系和對(duì)稱矩陣空間保持合同關(guān)系的函數(shù)，分別獲得了保持相似關(guān)系和保持合同關(guān)系的函數(shù)的形式，所得結(jié)果推廣與改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]的結(jié)論.由于交換整環(huán)中的非零元不一定可逆，本文的結(jié)論和證明與文獻(xiàn)[6]有所不同.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，Mn(R)和Sn(R)分別表示R上n階矩陣空間和n階對(duì)稱矩陣空間，GLn(R)表示R上所有n階可逆矩陣組成之集.對(duì)于任意A,B∈Mn(R)，若存在P∈GLn(R)，使得PAP-1=B，則稱矩陣A與B相似，記為A～B.對(duì)于任意A,B∈Sn(R)，若存在P∈GLn(R)，使得PAPT=B，則稱矩陣A與B合同.對(duì)于R上的方陣A與B，我們用A⊕B表示A與B的直和.

設(shè)f為環(huán)R到自身的映射(或函數(shù))，對(duì)于任意A=(aij)∈Mn(R)，定義f(A)=(f(aij)).那么可得到Mn(R)到自身的一個(gè)映射f∶A|→f(A)=(f(aij)).

定義1.1 設(shè)f為環(huán)R到自身的一個(gè)映射(或函數(shù)).如果對(duì)于Mn(R)中任意兩個(gè)相似的矩陣A與B，均有f(A)與f(B)相似，則稱f為矩陣空間Mn(R)的保持相似關(guān)系的函數(shù)；如果對(duì)于Sn(R)中任意兩個(gè)合同的矩陣A與B，均有f(A)與f(B)合同，則稱f為對(duì)稱矩陣空間Sn(R)的保持合同關(guān)系的函數(shù).

定義1.2 設(shè)η為環(huán)R到自身的映射.如果對(duì)于任意a,b∈R，均有η(a+b)=η(a)+η(b)，η(ab)=η(a)η(b)，則稱η是R的一個(gè)自同態(tài).

設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，A∈Mn(R)，我們用detA表示A的行列式.對(duì)于R上的m×n矩陣A，任取A的k行k列(k≤m,k≤n)，位于這些行與列的交叉處的元素(不改變?cè)氐奈恢?所構(gòu)成的k階矩陣的行列式稱為A的一個(gè)k階子式[18].

設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，A∈Mn(R)，λ是環(huán)R上的一個(gè)未定元.稱deg(λIn-A)為矩陣A的特征多項(xiàng)式，記為χA(λ)，這里In表示n階單位矩陣[19].

定義1.3[18]設(shè)R是一個(gè)交換整環(huán)，A是R上的一個(gè)m×n矩陣.如果A中存在一個(gè)r階子式不為0，而A的所有r+1階子式(如果存在的話)全為0，那么r稱為A矩陣的秩，記為r(A).

類似于域上矩陣的結(jié)論，我們有

引理1.1 設(shè)R是一個(gè)交換環(huán), 那么

1)R上任意兩個(gè)相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式；

引理1.2 設(shè)R是一個(gè)交換整環(huán),那么

1)R上任意兩個(gè)相似的矩陣具有相同的秩；

2)R上任意兩個(gè)合同的對(duì)稱矩陣具有相同的秩.

2 主要結(jié)論

定理2.1 設(shè)R是一個(gè)交換整環(huán)，n≥3,f∶R→R是一個(gè)映射，且當(dāng)f(1)≠0時(shí)f(1)可逆.則f為矩陣空間Mn(R)的保持相似關(guān)系的函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為下列兩種形式之一：

(ⅰ)f≡c，其中c∈R；

(ⅱ)f=cδ，其中c∈R且c≠0，δ為R的非零自同態(tài).

證明充分性

(ⅰ)假設(shè)f≡c，其中c∈R，那么對(duì)于任意x∈R,均有f(x)=c.于是對(duì)于任意A,B∈Mn(R)，均有f(A)=f(B)，顯然f(A)與f(B)相似.

(ⅱ)假設(shè)f=cδ，其中c∈R,c≠0，δ為R的非零自同態(tài).對(duì)于任意A,B∈Mn(R)，如果A與B相似，則存在P∈GLn(R)，使得A=PBP-1，于是

f(A)=cδ(A)=cδ(PBP-1)=cδ(P)δ(B)δ(P-1)=δ(P)(cδ(B))δ(P-1)=δ(P)f(B)δ(P-1)

下證δ(P)∈GLn(R)，并且δ(P)-1=δ(P-1).

由P∈GLn(R)知PP-1=In，于是δ(In)=δ(PP-1)=δ(P)δ(P-1).因?yàn)棣臑镽上的非零自同態(tài)，所以δ(1)≠0.進(jìn)一步，δ(1)=δ(12)=δ(1)2，于是δ(1)=1(因?yàn)镽為整環(huán)).又因?yàn)棣?0)=0，所以δ(In)=In，從而δ(P)∈GLn(R)并且δ(P)-1=δ(P-1).于是f(A)與f(B)相似.

必要性：分兩種情況進(jìn)行討論.

情況2：f(0)=0.如果對(duì)于任意x∈R，都有f(x)=0，則f=0.此時(shí)f滿足條件(ⅰ).

f(x)f(y)=f(1)f(xy)

現(xiàn)令f(1)=c，δ=c-1f(注：當(dāng)f(1)≠0時(shí)f(1)可逆).那么由f(x+y)=f(x)+f(y)和f(x)f(y)=f(1)f(xy)，得c-1f(x+y)=c-1f(x)+c-1f(y)，c-1f(x)c-1f(y)=c-1f(xy)，即δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，δ(xy)=δ(x)·δ(y).又因?yàn)棣?1)=c-1f(1)=1≠0，所以δ為R的非零自同態(tài)，此時(shí)f滿足條件(ⅱ).證畢.

定理2.2 設(shè)R是一個(gè)交換整環(huán)，n≥3,f∶R→R是一個(gè)映射，且當(dāng)f(1)≠0時(shí)f(1)可逆.則f為對(duì)稱矩陣空間Sn(R)的保持合同關(guān)系的函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為下述兩種形式之一：

(ⅰ)f≡c，其中c∈R；

(ⅱ)f=cδ，其中c∈R,c≠0，δ為R的非零自同態(tài).

證明充分性

(ⅰ)假設(shè)f≡c，其中c∈R，那么對(duì)于任意x∈R,均有f(x)=c.于是對(duì)于任意A,B∈Sn(R)，均有f(A)=f(B)∈Sn(R)，顯然f(A)與f(B)合同.

(ⅱ)假設(shè)f=cδ，其中c∈R,c≠0，δ為R上的非零自同態(tài).對(duì)于任意A,B∈Sn(R)，顯然f(A),f(B)∈Sn(R).如果A與B合同，那么存在P∈GLn(R)，使得A=PBPT，這里PT表示矩陣P的轉(zhuǎn)置.于是

f(A)=cδ(A)=cδ(PBPT)=cδ(P)δ(B)δ(PT)=δ(P)(cδ(B))δ(P)T=δ(P)f(B)δ(P)T.

由定理1.1的證明知，δ(P)∈GLn(R).于是f(A)與f(B)合同.

必要性：分兩種情況進(jìn)行討論.

情況2：f(0)=0.如果對(duì)于任意x∈R，都有f(x)=0，則f=0.此時(shí)f滿足條件(ⅰ).

f(x)f(y)=f(1)f(xy)

此時(shí)f(x+y)=f(x)+f(y).

當(dāng)f(x)=0,f(y)≠0時(shí)，類似可證f(x+y)=f(x)+f(y).

當(dāng)f(x)=f(y)=0時(shí)，f(F)=On，所以f(E)=On.此時(shí)f(x+y)=0=f(x)+f(y).

綜上所述，對(duì)于任意x,y∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y).

現(xiàn)令f(1)=c，δ=c-1f(注：當(dāng)f(1)≠0時(shí)f(1)可逆).那么由f(x+y)=f(x)+f(y)和f(x)f(y)=f(1)f(xy)，得c-1f(x+y)=c-1f(x)+c-1f(y)，c-1f(x)c-1f(y)=c-1f(xy)，即δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，δ(xy)=δ(x)·δ(y).又因?yàn)棣?1)=c-1f(1)=1≠0，所以δ為R的非零自同態(tài)，因此f滿足條件(ⅱ).證畢.

由于任何域是交換整環(huán)，并且域上任何非零元均可逆，任何非零自同態(tài)均為單自同態(tài)，所以由定理2.1和定理2.2分別可得

推論2.1[6，定理1.1] 設(shè)F是一個(gè)域,n≥3,f∶F→F是一個(gè)映射.則f為矩陣空間Mn(F)的保持相似關(guān)系的函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為下列兩種形式之一：

(ⅰ)f為常函數(shù)；

(ⅱ)存在0≠c∈F及域F的單自同態(tài)δ，使得為f=cδ.

推論2.2 設(shè)F為域,n≥3,f∶F→F是一個(gè)映射.則f為對(duì)稱矩陣空間Sn(F)的保持合同關(guān)系的函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為下列兩種形式之一：

(ⅰ)f為常函數(shù)；

(ⅱ)存在0≠c∈F及域F的單自同態(tài)δ，使得為f=cδ.

注2.1 推論2.2改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]中的定理2.